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1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$D$在边$AC$上,且$DE⊥ AC$交$BC$于点$E$.
(1)求证:$△ CDE ∽ △ CBA$;
(2)若$AB=6$,$BC=8$,$E$是$BC$中点,求$DE$的长.
(1)求证:$△ CDE ∽ △ CBA$;
(2)若$AB=6$,$BC=8$,$E$是$BC$中点,求$DE$的长.
答案
(1)$\because DE ⊥ AC, ∠ B=90°, \therefore ∠ CDE=90° = ∠ B$. 又$\because ∠ C = ∠ C$, $\therefore △ CDE ∽ △ CBA$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=6,BC=8,\therefore AC= \sqrt{BC^2+AB^2} = 10$.
$\because E$是$BC$中点,$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=4. \because △ CDE ∽ △ CBA, \therefore \dfrac{DE}{BA}=\dfrac{CE}{CA}$,即$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{4}{10},DE=\dfrac{4×6}{10}=2.4$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=6,BC=8,\therefore AC= \sqrt{BC^2+AB^2} = 10$.
$\because E$是$BC$中点,$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=4. \because △ CDE ∽ △ CBA, \therefore \dfrac{DE}{BA}=\dfrac{CE}{CA}$,即$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{4}{10},DE=\dfrac{4×6}{10}=2.4$.
解析
【分析】
(1)要证明两个三角形相似，可通过两角对应相等的判定定理推导。观察可知△CDE和△CBA有公共角∠C，再结合已知的两个直角相等，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2)先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度，再根据E是BC中点求出CE的长，最后利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例的性质，代入数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because DE ⊥ AC$，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ CDE=90° = ∠ B$，
又$\because ∠ C$是两个三角形的公共角，即$∠ C=∠ C$，
$\therefore △ CDE ∽ △ CBA$。
(2)解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$\because E$是$BC$中点，
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×8=4$，
由(1)知$△ CDE ∽ △ CBA$，根据相似三角形对应边成比例可得：$\dfrac{DE}{BA}=\dfrac{CE}{CA}$，
将$AB=6$，$CE=4$，$CA=10$代入得：$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{4}{10}$，
解得$DE=\dfrac{4×6}{10}=2.4$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$DE$的长为$2.4$（或$\dfrac{12}{5}$）
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的基础应用习题，核心是准确找到三角形的对应角和对应边，熟练掌握相似的判定方法、性质以及勾股定理即可顺利解答，是巩固相似基础的典型题目。
【难度系数】
0.8
(1)要证明两个三角形相似，可通过两角对应相等的判定定理推导。观察可知△CDE和△CBA有公共角∠C，再结合已知的两个直角相等，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2)先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度，再根据E是BC中点求出CE的长，最后利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例的性质，代入数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because DE ⊥ AC$，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ CDE=90° = ∠ B$，
又$\because ∠ C$是两个三角形的公共角，即$∠ C=∠ C$，
$\therefore △ CDE ∽ △ CBA$。
(2)解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$\because E$是$BC$中点，
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×8=4$，
由(1)知$△ CDE ∽ △ CBA$，根据相似三角形对应边成比例可得：$\dfrac{DE}{BA}=\dfrac{CE}{CA}$，
将$AB=6$，$CE=4$，$CA=10$代入得：$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{4}{10}$，
解得$DE=\dfrac{4×6}{10}=2.4$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$DE$的长为$2.4$（或$\dfrac{12}{5}$）
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的基础应用习题，核心是准确找到三角形的对应角和对应边，熟练掌握相似的判定方法、性质以及勾股定理即可顺利解答，是巩固相似基础的典型题目。
【难度系数】
0.8
2. 已知:如图,点 D,F 在△ABC 边 AC 上,点 E 在边 BC 上,且$ DE//AB,CD^2=CF·CA.$
(1)求证:EF//BD;
(2)如果 AC·CF=BC·CE,求证$:BD^2=DE·BA.$
＞＞进一步挑战进阶专题:P95 专题11
(1)求证:EF//BD;
(2)如果 AC·CF=BC·CE,求证$:BD^2=DE·BA.$
＞＞进一步挑战进阶专题:P95 专题11
答案
(1)$\because DE// AB,\therefore \dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}.\because CD^2=CF· CA ,\therefore \dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CF}{CD},\therefore \dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CF}{CD},\therefore EF// BD$.
(2)$\because AC · CF = BC · CE,\therefore \dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CF}$. 又$∠ C = ∠ C, \therefore △ CEF ∽ △ CAB,\therefore ∠ CEF = ∠ A$.
$\because EF// BD,\therefore ∠ CEF = ∠ EBD,\therefore ∠ EBD = ∠ A$.
$\because ED// AB,\therefore ∠ EDB = ∠ DBA, 且 ∠ EBD = ∠ A,\therefore △ ABD ∽ △ BDE$, $\therefore \dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{BD},\therefore BD^2 = DE · BA$.
(2)$\because AC · CF = BC · CE,\therefore \dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CF}$. 又$∠ C = ∠ C, \therefore △ CEF ∽ △ CAB,\therefore ∠ CEF = ∠ A$.
$\because EF// BD,\therefore ∠ CEF = ∠ EBD,\therefore ∠ EBD = ∠ A$.
$\because ED// AB,\therefore ∠ EDB = ∠ DBA, 且 ∠ EBD = ∠ A,\therefore △ ABD ∽ △ BDE$, $\therefore \dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{BD},\therefore BD^2 = DE · BA$.
解析
【分析】
(1) 要证EF//BD，可通过平行线分线段成比例的逆定理推导：先由DE//AB得到线段比例关系，再将已知的等积式$CD^2=CF·CA$变形为比例式，通过等量代换得到对应线段成比例，即可判定平行。
(2) 要证$BD^2=DE·BA$，可转化为证明$\frac{BD}{DE}=\frac{AB}{BD}$，即证$△ ABD ∽ △ BDE$：先将已知等积式$AC·CF=BC·CE$变形，结合公共角证$△ CEF ∽ △ CAB$得到角相等，再结合(1)的结论和DE//AB的条件，推导得到两组对应角相等，即可证明三角形相似，最后变形比例式得到结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// AB$，由平行线分线段成比例定理得$\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}$。
$\because CD^2=CF·CA$，等式变形得$\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CF}{CD}$，
$\therefore \dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CF}{CD}$，由平行线分线段成比例的逆定理得$EF// BD$。
(2) 证明：
$\because AC·CF=BC·CE$，等式变形得$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CF}$，
又$\because ∠C=∠C$（公共角），由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得$△ CEF ∽ △ CAB$，
$\therefore ∠CEF=∠A$。
$\because EF// BD$（已证），由两直线平行同位角相等得$∠CEF=∠EBD$，
$\therefore ∠EBD=∠A$。
$\because ED// AB$，由两直线平行内错角相等得$∠EDB=∠DBA$，
在$△ ABD$和$△ BDE$中，$\begin{cases}∠A=∠EBD \\∠DBA=∠EDB \end{cases}$，由两角对应相等的两个三角形相似，得$△ ABD ∽ △ BDE$，
$\therefore \dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{BD}$，交叉相乘得$BD^2=DE·BA$。
【答案】
(1) $EF// BD$得证；
(2) $BD^2=DE·BA$得证。
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的基础综合题，核心是掌握等积式和比例式的互化方法，能结合已知条件寻找角、边的等量关系完成推导，对巩固相似三角形的基础应用有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
(1) 要证EF//BD，可通过平行线分线段成比例的逆定理推导：先由DE//AB得到线段比例关系，再将已知的等积式$CD^2=CF·CA$变形为比例式，通过等量代换得到对应线段成比例，即可判定平行。
(2) 要证$BD^2=DE·BA$，可转化为证明$\frac{BD}{DE}=\frac{AB}{BD}$，即证$△ ABD ∽ △ BDE$：先将已知等积式$AC·CF=BC·CE$变形，结合公共角证$△ CEF ∽ △ CAB$得到角相等，再结合(1)的结论和DE//AB的条件，推导得到两组对应角相等，即可证明三角形相似，最后变形比例式得到结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// AB$，由平行线分线段成比例定理得$\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}$。
$\because CD^2=CF·CA$，等式变形得$\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CF}{CD}$，
$\therefore \dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CF}{CD}$，由平行线分线段成比例的逆定理得$EF// BD$。
(2) 证明：
$\because AC·CF=BC·CE$，等式变形得$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CF}$，
又$\because ∠C=∠C$（公共角），由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得$△ CEF ∽ △ CAB$，
$\therefore ∠CEF=∠A$。
$\because EF// BD$（已证），由两直线平行同位角相等得$∠CEF=∠EBD$，
$\therefore ∠EBD=∠A$。
$\because ED// AB$，由两直线平行内错角相等得$∠EDB=∠DBA$，
在$△ ABD$和$△ BDE$中，$\begin{cases}∠A=∠EBD \\∠DBA=∠EDB \end{cases}$，由两角对应相等的两个三角形相似，得$△ ABD ∽ △ BDE$，
$\therefore \dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{BD}$，交叉相乘得$BD^2=DE·BA$。
【答案】
(1) $EF// BD$得证；
(2) $BD^2=DE·BA$得证。
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的基础综合题，核心是掌握等积式和比例式的互化方法，能结合已知条件寻找角、边的等量关系完成推导，对巩固相似三角形的基础应用有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
