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1. 如图，在$4×4$的正方形网格中，要画一个三角形与图中给定的三角形相似。下列四种画法中，正确的是()
A
B
C
D
A
B
C
D
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
【分析】
这是网格背景下的相似三角形判定题，解题核心是利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先设每个小正方形边长为1，通过勾股定理先算出已知三角形的三边长，得到三边的比值；再用同样的方法算出每个选项中三角形的三边长，求出三边比值，和原三角形比值一致的即为正确选项。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1。
1. 计算原三角形的三边长：
较短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
中间边：$\sqrt{2^2+0^2}=2$，
最长边：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此原三角形三边之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 分别计算各选项三角形的三边之比：
A选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、4，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:4=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与原三角形比值不相等，两三角形不相似；
B选项：三边长为2、$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$，比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与原三角形比值相等，两三角形相似；
C选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$3\sqrt{2}$，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:3\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:3$，与原三角形比值不相等，两三角形不相似；
D选项：三边长为$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$、4，比值与原三角形不相等，两三角形不相似。
综上，正确选项为B。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于网格类基础题型，解题时需先通过勾股定理准确计算各边长度，再结合相似三角形的三边判定定理进行判断，熟练掌握网格中线段长度的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是网格背景下的相似三角形判定题，解题核心是利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先设每个小正方形边长为1，通过勾股定理先算出已知三角形的三边长，得到三边的比值；再用同样的方法算出每个选项中三角形的三边长，求出三边比值，和原三角形比值一致的即为正确选项。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1。
1. 计算原三角形的三边长：
较短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
中间边：$\sqrt{2^2+0^2}=2$，
最长边：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此原三角形三边之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 分别计算各选项三角形的三边之比：
A选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、4，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:4=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与原三角形比值不相等，两三角形不相似；
B选项：三边长为2、$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$，比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与原三角形比值相等，两三角形相似；
C选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$3\sqrt{2}$，比值为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:3\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:3$，与原三角形比值不相等，两三角形不相似；
D选项：三边长为$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$、4，比值与原三角形不相等，两三角形不相似。
综上，正确选项为B。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于网格类基础题型，解题时需先通过勾股定理准确计算各边长度，再结合相似三角形的三边判定定理进行判断，熟练掌握网格中线段长度的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2.根据下列各组条件,能判定$△ ABC$与$△ DEF$相似的是()
A.$AB=4,BC=8,AC=10;DE=20,EF=16,DF=8$
B.$AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=8,DF=9$
C.$AB=12,BC=15,AC=24;DE=16,EF=30,DF=20$
D.$AB=3k,BC=4k,AC=5k;DE=6k,EF=7k,DF=8k(k＞0)$
A.$AB=4,BC=8,AC=10;DE=20,EF=16,DF=8$
B.$AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=8,DF=9$
C.$AB=12,BC=15,AC=24;DE=16,EF=30,DF=20$
D.$AB=3k,BC=4k,AC=5k;DE=6k,EF=7k,DF=8k(k＞0)$
答案
A
解析
【分析】
要判定两个三角形是否相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”这一判定定理求解。解题步骤为：第一步，先将每个选项中两个三角形的三条边分别按从小到大的顺序排列；第二步，按顺序计算三组对应边的比值；第三步，判断三组比值是否全部相等，若相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=4$，$BC=8$，$AC=10$；△DEF的边从小到大排序为：$DF=8$，$EF=16$，$DE=20$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，三组比值相等，故△ABC与△DEF相似。
B选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=3$，$BC=4$，$AC=6$；△DEF的边从小到大排序为：$DE=6$，$EF=8$，$DF=9$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，比值不相等，故两个三角形不相似。
C选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=12$，$BC=15$，$AC=24$；△DEF的边从小到大排序为：$DE=16$，$DF=20$，$EF=30$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$，比值不相等，故两个三角形不相似。
D选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=3k$，$BC=4k$，$AC=5k$；△DEF的边从小到大排序为：$DE=6k$，$EF=7k$，$DF=8k$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{3k}{6k}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$，比值不相等，故两个三角形不相似。
综上只有A选项符合判定条件。
【答案】
A
【知识点】
三边成比例的两个三角形相似
【点评】
本题考查相似三角形的三边判定法，解题的关键是先对两个三角形的边长按大小排序，再找对应边计算比值，避免因对应边找错导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判定两个三角形是否相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”这一判定定理求解。解题步骤为：第一步，先将每个选项中两个三角形的三条边分别按从小到大的顺序排列；第二步，按顺序计算三组对应边的比值；第三步，判断三组比值是否全部相等，若相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=4$，$BC=8$，$AC=10$；△DEF的边从小到大排序为：$DF=8$，$EF=16$，$DE=20$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，三组比值相等，故△ABC与△DEF相似。
B选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=3$，$BC=4$，$AC=6$；△DEF的边从小到大排序为：$DE=6$，$EF=8$，$DF=9$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，比值不相等，故两个三角形不相似。
C选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=12$，$BC=15$，$AC=24$；△DEF的边从小到大排序为：$DE=16$，$DF=20$，$EF=30$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$，比值不相等，故两个三角形不相似。
D选项：△ABC的边从小到大排序为：$AB=3k$，$BC=4k$，$AC=5k$；△DEF的边从小到大排序为：$DE=6k$，$EF=7k$，$DF=8k$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{3k}{6k}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$，比值不相等，故两个三角形不相似。
综上只有A选项符合判定条件。
【答案】
A
【知识点】
三边成比例的两个三角形相似
【点评】
本题考查相似三角形的三边判定法，解题的关键是先对两个三角形的边长按大小排序，再找对应边计算比值，避免因对应边找错导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3.如图,点B,D,E在同一条直线上,BE与AC相交于点F,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。若∠BAD=21°,则∠EBC=°。
答案
$\boldsymbol{21}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件给出了三组对应边的比相等，优先考虑利用“三边对应成比例的两个三角形相似”判定△ABC与△ADE相似，得到对应角相等的关系；再结合三角形外角的性质，通过角的等量代换找到∠EBC与已知∠BAD的等量关系，即可求出∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE（三边对应成比例，两个三角形相似），
∴∠ABC=∠ADE。
∵∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ADE=∠BAD+∠ABD，
又
∵∠ABC=∠ABD+∠EBC，
∴∠ABD+∠EBC=∠BAD+∠ABD，
消去公共角∠ABD，可得∠EBC=∠BAD=21°。
【答案】
21
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算题，核心是利用三边成比例判定三角形相似，再通过角的等量代换完成推导，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件给出了三组对应边的比相等，优先考虑利用“三边对应成比例的两个三角形相似”判定△ABC与△ADE相似，得到对应角相等的关系；再结合三角形外角的性质，通过角的等量代换找到∠EBC与已知∠BAD的等量关系，即可求出∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE（三边对应成比例，两个三角形相似），
∴∠ABC=∠ADE。
∵∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ADE=∠BAD+∠ABD，
又
∵∠ABC=∠ABD+∠EBC，
∴∠ABD+∠EBC=∠BAD+∠ABD，
消去公共角∠ABD，可得∠EBC=∠BAD=21°。
【答案】
21
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算题，核心是利用三边成比例判定三角形相似，再通过角的等量代换完成推导，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
4.如图，O为△ABC内一点，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点。求证：△DEF∽△ABC。
答案
证明：
∵ D，E分别为OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$。
∴ △DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
∵ D，E分别为OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$。
∴ △DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要证明△DEF∽△ABC，首先观察已知条件：D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可联想到三角形中位线定理。利用中位线的性质，能得到△DEF的三条边与△ABC对应边的数量关系，进而推导出三组对应边的比值相等，最后根据三边成比例的相似判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ D，E分别为OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$。
∴ △DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ D，E分别为OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$。
∴ △DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过中点条件推导中位线，进而得到对应边的比例关系，只要熟练掌握中位线性质和相似三角形的判定规则，就能快速求解，是相似三角形模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明△DEF∽△ABC，首先观察已知条件：D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可联想到三角形中位线定理。利用中位线的性质，能得到△DEF的三条边与△ABC对应边的数量关系，进而推导出三组对应边的比值相等，最后根据三边成比例的相似判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ D，E分别为OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$。
∴ △DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ D，E分别为OA，OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$。
∴ △DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过中点条件推导中位线，进而得到对应边的比例关系，只要熟练掌握中位线性质和相似三角形的判定规则，就能快速求解，是相似三角形模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 如图，已知∠B=∠E=90°，AB=6，BF=3，CF=5，DE=15，DF=25。
(1)求CE的长。
(2)求证：△ABC∽△DEF。
(1)求CE的长。
(2)求证：△ABC∽△DEF。
答案
解：(1) 在$Rt△ DEF$中，$∠ E=90°$，$DE=15$，$DF=25$，
由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DF^2 - DE^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=20$
因为点$F,C,E$在同一直线上，$EF=CF+CE$，且$CF=5$，
所以$CE=EF - CF=20 - 5=15$。
(2) 证明：由题意得，$BC=BF + CF=3 + 5=8$。
已知$AB=6$，$DE=15$，$BC=8$，$EF=20$，因此：
$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5},\quad \frac{BC}{EF}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
又因为$∠ B=∠ E=90°$，
所以$△ ABC ∽ △ DEF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DF^2 - DE^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=20$
因为点$F,C,E$在同一直线上，$EF=CF+CE$，且$CF=5$，
所以$CE=EF - CF=20 - 5=15$。
(2) 证明：由题意得，$BC=BF + CF=3 + 5=8$。
已知$AB=6$，$DE=15$，$BC=8$，$EF=20$，因此：
$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5},\quad \frac{BC}{EF}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
又因为$∠ B=∠ E=90°$，
所以$△ ABC ∽ △ DEF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
(1) 要求CE的长，观察图形可知CE=EF-CF，已知CF=5，因此优先求EF的长度。△DEF是直角三角形，已知斜边DF和直角边DE，可直接用勾股定理算出EF，再减去CF即可得到CE的长度。
(2) 要证明△ABC∽△DEF，已知两个三角形均为直角三角形，∠B=∠E=90°，根据相似三角形的判定定理，只需证明两组直角边对应成比例即可。先计算BC的长度（BC=BF+CF），再分别计算AB与DE的比、BC与EF的比，验证两个比值相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
(1) 在$Rt△ DEF$中，$∠ E=90°$，$DE=15$，$DF=25$，
由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DF^2 - DE^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=\sqrt{400}=20$
因为点$F,C,E$在同一直线上，$EF=CF+CE$，且$CF=5$，
所以$CE=EF - CF=20 - 5=15$。
(2) 证明：由题意得，$BC=BF + CF=3 + 5=8$。
已知$AB=6$，$DE=15$，$BC=8$，$EF=20$，因此：
$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5},\quad \frac{BC}{EF}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
又因为$∠ B=∠ E=90°$，
所以$△ ABC ∽ △ DEF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $CE=15$；
(2) △ABC∽△DEF，证明成立。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查勾股定理的应用和相似三角形的判定方法，解题思路清晰，按步骤计算边长、验证边的比例关系即可求解，能够很好地巩固直角三角形性质和相似判定的基础应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CE的长，观察图形可知CE=EF-CF，已知CF=5，因此优先求EF的长度。△DEF是直角三角形，已知斜边DF和直角边DE，可直接用勾股定理算出EF，再减去CF即可得到CE的长度。
(2) 要证明△ABC∽△DEF，已知两个三角形均为直角三角形，∠B=∠E=90°，根据相似三角形的判定定理，只需证明两组直角边对应成比例即可。先计算BC的长度（BC=BF+CF），再分别计算AB与DE的比、BC与EF的比，验证两个比值相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
(1) 在$Rt△ DEF$中，$∠ E=90°$，$DE=15$，$DF=25$，
由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DF^2 - DE^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=\sqrt{400}=20$
因为点$F,C,E$在同一直线上，$EF=CF+CE$，且$CF=5$，
所以$CE=EF - CF=20 - 5=15$。
(2) 证明：由题意得，$BC=BF + CF=3 + 5=8$。
已知$AB=6$，$DE=15$，$BC=8$，$EF=20$，因此：
$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5},\quad \frac{BC}{EF}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
又因为$∠ B=∠ E=90°$，
所以$△ ABC ∽ △ DEF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $CE=15$；
(2) △ABC∽△DEF，证明成立。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查勾股定理的应用和相似三角形的判定方法，解题思路清晰，按步骤计算边长、验证边的比例关系即可求解，能够很好地巩固直角三角形性质和相似判定的基础应用。
【难度系数】
0.7
