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拓展与思考
4. (1) 如图(1)，在$△ ABC$中，AD是它的角平分线. 请尝试探索并证明$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$；
(2) 由(1)的探索我们可以得到线段AB、AC、BD、CD之间的数量关系是
(3) 如图(2)，若AD为$△ ABC$外角的平分线，交BC的延长线于点D，上面的结论是否仍然成立？请说明理由.
4. (1) 如图(1)，在$△ ABC$中，AD是它的角平分线. 请尝试探索并证明$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$；
(2) 由(1)的探索我们可以得到线段AB、AC、BD、CD之间的数量关系是
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
；(3) 如图(2)，若AD为$△ ABC$外角的平分线，交BC的延长线于点D，上面的结论是否仍然成立？请说明理由.
答案
4. (1) 提示：①过点D作$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别为E、F. 由角平分线的性质定理，得到$DE=DF$. 由三角形的面积公式得到$△ ABD$的面积$=\frac{1}{2}AB· DE$，$△ ACD$的面积$=\frac{1}{2}AC· DF$，从而$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$. ②过点A作$AH⊥ BC$，垂足为H，由三角形的面积公式得到$△ ABD$的面积$=\frac{1}{2}BD· AH$，$△ ACD$的面积$=\frac{1}{2}CD· AH$，即可证明$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$.
(2) $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(3) 仍然成立. 理由略. 提示：由(1)的类似方法，可证$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2) $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(3) 仍然成立. 理由略. 提示：由(1)的类似方法，可证$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
解析
【分析】
(1) 要证明两个面积比的结论：首先针对$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，过D向AB、AC作高，两条高长度相等，结合三角形面积公式即可得到面积比等于AB与AC的比；针对$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，观察到△ABD和△ACD共享点A到BC的高，因此面积比等于对应底BD与CD的比。
(2) 由(1)中两个式子都等于$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}$，通过等量代换即可得到四条线段的数量关系。
(3) 外角平分线的情况和(1)思路一致：外角平分线上的点到角两边（AB和AC的延长线）的距离仍然相等，重复(1)的推导步骤，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
① 过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE=DF$。
由三角形面积公式可得：$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF}=\frac{AB}{AC}$。
② 过点A作$AH⊥BC$于点H。
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AH$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AH$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD·AH}{\frac{1}{2}CD·AH}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 由(1)的两个结论，$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$且$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{CD}$，等量代换可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$的延长线于点F。
∵AD是△ABC外角的平分线，根据角平分线的性质，$DE=DF$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，故$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$。
再过点A作$AH⊥BD$于点H，
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AH$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AH$，故$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{CD}$。
等量代换可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，因此结论仍然成立。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}}$；
(3) 仍然成立，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、比例的性质
【点评】
本题是面积法在几何证明中的典型应用，通过作高将面积比转化为线段比，推导得到角平分线（含内角、外角）对应的线段比例关系，能够锻炼学生的逻辑推导和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两个面积比的结论：首先针对$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，过D向AB、AC作高，两条高长度相等，结合三角形面积公式即可得到面积比等于AB与AC的比；针对$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，观察到△ABD和△ACD共享点A到BC的高，因此面积比等于对应底BD与CD的比。
(2) 由(1)中两个式子都等于$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}$，通过等量代换即可得到四条线段的数量关系。
(3) 外角平分线的情况和(1)思路一致：外角平分线上的点到角两边（AB和AC的延长线）的距离仍然相等，重复(1)的推导步骤，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
① 过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE=DF$。
由三角形面积公式可得：$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF}=\frac{AB}{AC}$。
② 过点A作$AH⊥BC$于点H。
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AH$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AH$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD·AH}{\frac{1}{2}CD·AH}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 由(1)的两个结论，$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$且$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{CD}$，等量代换可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$的延长线于点F。
∵AD是△ABC外角的平分线，根据角平分线的性质，$DE=DF$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，故$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}$。
再过点A作$AH⊥BD$于点H，
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AH$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AH$，故$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{CD}$。
等量代换可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，因此结论仍然成立。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}}$；
(3) 仍然成立，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、比例的性质
【点评】
本题是面积法在几何证明中的典型应用，通过作高将面积比转化为线段比，推导得到角平分线（含内角、外角）对应的线段比例关系，能够锻炼学生的逻辑推导和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
