9.(★★★)阅读下列解题过程,根据要求回答问题:
化简:$\frac{a}{b-a}\sqrt{\frac{b^3 - 2ab^2 + a^2b}{a}}\ (b < a < 0)$。
解:原式$=\frac{a}{b-a}\sqrt{\frac{b(a - b)^2}{a}}$ ①
$=\frac{a(b - a)}{b - a}\sqrt{\frac{b}{a}}$ ②
$=a · \frac{1}{a} · \sqrt{ab}$ ③
$=\sqrt{ab}$。 ④
(1)上面解答过程是否正确?若不正确,请指出是哪几步出现了错误;
(2)请写出你认为正确的解答过程。
化简:$\frac{a}{b-a}\sqrt{\frac{b^3 - 2ab^2 + a^2b}{a}}\ (b < a < 0)$。
解:原式$=\frac{a}{b-a}\sqrt{\frac{b(a - b)^2}{a}}$ ①
$=\frac{a(b - a)}{b - a}\sqrt{\frac{b}{a}}$ ②
$=a · \frac{1}{a} · \sqrt{ab}$ ③
$=\sqrt{ab}$。 ④
(1)上面解答过程是否正确?若不正确,请指出是哪几步出现了错误;
(2)请写出你认为正确的解答过程。
答案
解:
(1) 上面解答过程不正确,第②步和第③步出现了错误。
第②步错误地将$\sqrt{(a-b)^2}$化简为$b-a$,由$b<a<0$可知$a-b>0$,因此$\sqrt{(a-b)^2}=a-b$;
第③步错误地将$\sqrt{\frac{b}{a}}$变形为$\frac{1}{a}\sqrt{ab}$,由$a<0$可知$\sqrt{a^2}=|a|=-a$,因此$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{|a|}=-\frac{1}{a}\sqrt{ab}$。
(2) 正确解答过程如下:
$\because b < a < 0$,
$\therefore b-a < 0$,$a-b > 0$,$a < 0$。
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a}{b-a}\sqrt{\frac{b(a-b)^2}{a}}\\&=\frac{a}{b-a}· |a-b|· \sqrt{\frac{b}{a}}\\&=\frac{a}{b-a}· (a-b)· \sqrt{\frac{b}{a}}\\&=\frac{a}{b-a}· [-(b-a)]· \sqrt{\frac{ab}{a^2}}\\&=-a· \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}\\&=-a· \frac{\sqrt{ab}}{-a}\\&=\sqrt{ab}.\end{aligned}$
(1) 上面解答过程不正确,第②步和第③步出现了错误。
第②步错误地将$\sqrt{(a-b)^2}$化简为$b-a$,由$b<a<0$可知$a-b>0$,因此$\sqrt{(a-b)^2}=a-b$;
第③步错误地将$\sqrt{\frac{b}{a}}$变形为$\frac{1}{a}\sqrt{ab}$,由$a<0$可知$\sqrt{a^2}=|a|=-a$,因此$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{|a|}=-\frac{1}{a}\sqrt{ab}$。
(2) 正确解答过程如下:
$\because b < a < 0$,
$\therefore b-a < 0$,$a-b > 0$,$a < 0$。
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a}{b-a}\sqrt{\frac{b(a-b)^2}{a}}\\&=\frac{a}{b-a}· |a-b|· \sqrt{\frac{b}{a}}\\&=\frac{a}{b-a}· (a-b)· \sqrt{\frac{b}{a}}\\&=\frac{a}{b-a}· [-(b-a)]· \sqrt{\frac{ab}{a^2}}\\&=-a· \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}\\&=-a· \frac{\sqrt{ab}}{-a}\\&=\sqrt{ab}.\end{aligned}$
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