登录
1. (★)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$a=6,b=8$,则$c$的值是 ()
A.$10$
B.$2\sqrt{34}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$4.8$
A.$10$
B.$2\sqrt{34}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$4.8$
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可知斜边$c$满足$c^2=a^2+b^2$。将$a=6$，$b=8$代入得：$c^2=6^2+8^2=36+64=100$，由于三角形边长为正，因此$c=\sqrt{100}=10$。
2. (★★)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$CD$是斜边$AB$上的高，则$CD$的长是（）
A.$5$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A.$5$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得斜边AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。利用三角形面积的两种表达形式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值可得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
3. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，P为x轴上一点，且到点A(0,2)和点B(5,5)的距离相等，则线段OP的长度为 （）
A.3
B.4
C.4.6
D.$2\sqrt{5}$
A.3
B.4
C.4.6
D.$2\sqrt{5}$
答案
C
解析
设点P的坐标为$(x,0)$，由题意可知$PA=PB$，根据两点间距离的平方相等列等式：
$x^2 + (0-2)^2 = (x-5)^2 + (0-5)^2$
展开得：$x^2 +4 = x^2 -10x +25 +25$，
消去$x^2$后整理得：$10x=46$，解得$x=4.6$。
因为P在x轴上，所以线段$OP$的长度就是P点的横坐标值，即$OP=4.6$。
$x^2 + (0-2)^2 = (x-5)^2 + (0-5)^2$
展开得：$x^2 +4 = x^2 -10x +25 +25$，
消去$x^2$后整理得：$10x=46$，解得$x=4.6$。
因为P在x轴上，所以线段$OP$的长度就是P点的横坐标值，即$OP=4.6$。
4. (★★★)等腰三角形屋架设计图的一部分如图所示，AB，FB是斜梁，立柱BC垂直于横梁AF，∠ABF的度数为$120°$，$AB=8\ \mathrm{m}$，则横梁AF的长为（）
A.$16\ \mathrm{m}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$16\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
A.$16\ \mathrm{m}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$16\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
答案
C
解析
1. 由题意可知AB=FB，△ABF为等腰三角形，已知∠ABF=120°，因此底角∠A=∠F=(180°-120°)÷2=30°。
2. 因为BC⊥AF，根据等腰三角形三线合一性质，AC=CF。
3. 在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8m，可得BC=½AB=4m。
4. 由勾股定理计算AC：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
5. 因此AF=2AC=$8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 因为BC⊥AF，根据等腰三角形三线合一性质，AC=CF。
3. 在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8m，可得BC=½AB=4m。
4. 由勾股定理计算AC：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
5. 因此AF=2AC=$8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
5. (★★★)已知在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高为12.则△ABC的面积为（）
A.24或84
B.84
C.48或84
D.48
A.24或84
B.84
C.48或84
D.48
答案
A
解析
设BC边上的高为AD，AD⊥直线BC于点D，AD=12，分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=√(AB²-AD²)=√(13²-12²)=5；
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD=√(AC²-AD²)=√(15²-12²)=9；
此时BC=BD+CD=14，△ABC的面积为$\frac{1}{2}×14×12=84$。
2. 当高AD在△ABC外部时：
垂足D落在BC的延长线上，此时BC=CD-BD=9-5=4，△ABC的面积为$\frac{1}{2}×4×12=24$。
综上，△ABC的面积为24或84。
1. 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=√(AB²-AD²)=√(13²-12²)=5；
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD=√(AC²-AD²)=√(15²-12²)=9；
此时BC=BD+CD=14，△ABC的面积为$\frac{1}{2}×14×12=84$。
2. 当高AD在△ABC外部时：
垂足D落在BC的延长线上，此时BC=CD-BD=9-5=4，△ABC的面积为$\frac{1}{2}×4×12=24$。
综上，△ABC的面积为24或84。
6. (★★) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，若 $AB - AC=1$，$BC=5$，则 $AB$ 的长是________.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 由勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
$\because AB - AC = 1$，
$\therefore AC = AB - 1$，
将$AC = AB - 1$，$BC=5$代入勾股定理公式：
$(AB-1)^2 + 5^2 = AB^2$
展开得：$AB^2 - 2AB + 1 + 25 = AB^2$，
化简得：$-2AB + 26 = 0$，
解得：$AB=13$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 由勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
$\because AB - AC = 1$，
$\therefore AC = AB - 1$，
将$AC = AB - 1$，$BC=5$代入勾股定理公式：
$(AB-1)^2 + 5^2 = AB^2$
展开得：$AB^2 - 2AB + 1 + 25 = AB^2$，
化简得：$-2AB + 26 = 0$，
解得：$AB=13$。
7. (★★)若等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为16 cm，则该三角形底边上的高是.
答案
$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
解析
解：
等腰三角形底边上的高平分底边，
因此底边的一半长度为 $ 16÷2 = 8\ \mathrm{cm} $。
根据勾股定理，设底边上的高为$ h $，可得：
$h^2 + 8^2 = 10^2$
$h^2 = 100 - 64 = 36$
由于高为正数，因此$ h = 6\ \mathrm{cm} $。
等腰三角形底边上的高平分底边，
因此底边的一半长度为 $ 16÷2 = 8\ \mathrm{cm} $。
根据勾股定理，设底边上的高为$ h $，可得：
$h^2 + 8^2 = 10^2$
$h^2 = 100 - 64 = 36$
由于高为正数，因此$ h = 6\ \mathrm{cm} $。
8. (★★)若$n＞1$，$△ ABC$三边长分别是$n^2-1,2n,n^2+1$，则$△ ABC$是三角形。
答案
直角
解析
解：
分别计算三边的平方：
$(n^2 - 1)^2 = n^4 - 2n^2 + 1$，
$(2n)^2 = 4n^2$，
$(n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$。
可得：
$(n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2$，
满足勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
分别计算三边的平方：
$(n^2 - 1)^2 = n^4 - 2n^2 + 1$，
$(2n)^2 = 4n^2$，
$(n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$。
可得：
$(n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2$，
满足勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
