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9. (★★★)已知$△ ABC$的三边分别为$a,b,c$，且满足$(a+2b-11)^2 + |2a-b-2| = 10c-25-c^2$，请你判断$△ ABC$的形状，并求出其周长与面积。
答案
解：
移项整理得：
$(a+2b-11)^2 + |2a-b-2| + c^2 -10c +25 = 0$
配方得：
$(a+2b-11)^2 + |2a-b-2| + (c-5)^2 = 0$
由于平方和绝对值都具有非负性，因此各非负项均为0，可得方程组：
$\begin{cases}a+2b-11=0 \\2a-b-2=0 \\c-5=0\end{cases}$
联立前两个方程求解：
将$2a-b-2=0$两边乘2得$4a-2b-4=0$，与$a+2b-11=0$相加，得$5a-15=0$，解得$a=3$。
把$a=3$代入$2a-b-2=0$，得$6-b-2=0$，解得$b=4$。
由$c-5=0$得$c=5$。
验证三边关系：$a^2+b^2=3^2+4^2=25=5^2=c^2$，满足勾股定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
周长为$a+b+c=3+4+5=12$，
面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$。
答：$△ ABC$是直角三角形，周长为12，面积为6。
移项整理得：
$(a+2b-11)^2 + |2a-b-2| + c^2 -10c +25 = 0$
配方得：
$(a+2b-11)^2 + |2a-b-2| + (c-5)^2 = 0$
由于平方和绝对值都具有非负性，因此各非负项均为0，可得方程组：
$\begin{cases}a+2b-11=0 \\2a-b-2=0 \\c-5=0\end{cases}$
联立前两个方程求解：
将$2a-b-2=0$两边乘2得$4a-2b-4=0$，与$a+2b-11=0$相加，得$5a-15=0$，解得$a=3$。
把$a=3$代入$2a-b-2=0$，得$6-b-2=0$，解得$b=4$。
由$c-5=0$得$c=5$。
验证三边关系：$a^2+b^2=3^2+4^2=25=5^2=c^2$，满足勾股定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
周长为$a+b+c=3+4+5=12$，
面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$。
答：$△ ABC$是直角三角形，周长为12，面积为6。
10. (★★★)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=12$,$AB=20$,沿$AD$折叠,使点$C$落在$AB$边上的点$E$处.
(1)$BC=$;
(2)求线段$CD$的长.
(1)$BC=$;
(2)求线段$CD$的长.
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
故$BC=\boldsymbol{16}$。
(2) 由折叠的性质可得：$△ ACD ≌ △ AED$，
$\therefore AE=AC=12$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ BED=90°$，$BE=AB-AE=20-12=8$。
设$CD=x$，则$DE=x$，$BD=BC-CD=16-x$。
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE^2 + DE^2 = BD^2$
即$8^2 + x^2 = (16-x)^2$
展开得$64 + x^2 = 256 - 32x + x^2$
化简得$32x=192$，解得$x=6$。
$\therefore$ 线段$CD$的长为$\boldsymbol{6}$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
故$BC=\boldsymbol{16}$。
(2) 由折叠的性质可得：$△ ACD ≌ △ AED$，
$\therefore AE=AC=12$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ BED=90°$，$BE=AB-AE=20-12=8$。
设$CD=x$，则$DE=x$，$BD=BC-CD=16-x$。
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE^2 + DE^2 = BD^2$
即$8^2 + x^2 = (16-x)^2$
展开得$64 + x^2 = 256 - 32x + x^2$
化简得$32x=192$，解得$x=6$。
$\therefore$ 线段$CD$的长为$\boldsymbol{6}$。
11. (★★★)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中$AB=AC$，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，在河边新建了一个取水点H(A，H，B在一条直线上)，并新修了一条路CH，测得$CB=3\ \mathrm{km}$，$CH=2.4\ \mathrm{km}$，$HB=1.8\ \mathrm{km}$.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路线？(即问CH与AB是否垂直)请通过计算说明理由；
(2)求原来的路线AC的长.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路线？(即问CH与AB是否垂直)请通过计算说明理由；
(2)求原来的路线AC的长.
答案
解：
(1) CH是从村庄C到河边的最近路线，理由如下：
在△CHB中，
$CH^2 + HB^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，
$CB^2 = 3^2 = 9$，
因此$CH^2 + HB^2 = CB^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△CHB是直角三角形，且$∠ CHB=90°$，即$CH ⊥ AB$，
所以CH是从村庄C到河边的最近路线。
(2) 设$AC = x\ \mathrm{km}$，
由$AB=AC$得$AB = x\ \mathrm{km}$，
则$AH = AB - HB = (x - 1.8)\ \mathrm{km}$。
因为$CH ⊥ AB$，所以$∠ CHA=90°$，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
代入数值得：
$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$，
展开化简：
$x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$，
$3.6x = 9$，
解得$x=2.5$。
答：原来的路线AC的长为2.5 km。
(1) CH是从村庄C到河边的最近路线，理由如下：
在△CHB中，
$CH^2 + HB^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，
$CB^2 = 3^2 = 9$，
因此$CH^2 + HB^2 = CB^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△CHB是直角三角形，且$∠ CHB=90°$，即$CH ⊥ AB$，
所以CH是从村庄C到河边的最近路线。
(2) 设$AC = x\ \mathrm{km}$，
由$AB=AC$得$AB = x\ \mathrm{km}$，
则$AH = AB - HB = (x - 1.8)\ \mathrm{km}$。
因为$CH ⊥ AB$，所以$∠ CHA=90°$，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
代入数值得：
$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$，
展开化简：
$x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$，
$3.6x = 9$，
解得$x=2.5$。
答：原来的路线AC的长为2.5 km。
