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10 如图,正比例函数$y=mx$、一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中.若$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$,则自变量$x$的取值范围是 （
A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D
）A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$
答案
10. D
解析
【分析】
本题考查多个函数值大小比较，解题核心是利用“同一x值下，图像位置越靠上，函数值越大”的规律。首先确定函数交点作为大小关系变化的分界点：反比例函数和正比例函数均关于原点对称，因此两者第一象限交点横坐标为1时，第三象限交点横坐标为-1；再分x＜0、x＞0两个区间，分别判断同时满足$\frac{k}{x}＞mx$和$mx＞ax+b$的x范围即可。
【解析】
将不等式$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$拆分为两个条件：①$\frac{k}{x}＞mx$，②$mx＞ax+b$，结合图像分情况讨论：
1. 当$x＞0$时：
观察图像，在$0＜x＜1$区间内，反比例函数图像在正比例函数上方，满足条件①；同时正比例函数图像在一次函数上方，满足条件②，因此$0＜x＜1$符合要求。
当$x＞1$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件①，排除。
2. 当$x＜0$时：
观察图像，在$x＜-1$区间内，反比例函数图像在正比例函数上方，满足条件①；同时正比例函数图像在一次函数上方，满足条件②，因此$x＜-1$符合要求。
当$-1＜x＜0$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件①，排除。
综上，自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
函数图像与不等式、反比例函数性质、一次函数性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只要准确掌握各类函数的图像特征，找准交点分界点，分区间观察图像上下位置就能快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查多个函数值大小比较，解题核心是利用“同一x值下，图像位置越靠上，函数值越大”的规律。首先确定函数交点作为大小关系变化的分界点：反比例函数和正比例函数均关于原点对称，因此两者第一象限交点横坐标为1时，第三象限交点横坐标为-1；再分x＜0、x＞0两个区间，分别判断同时满足$\frac{k}{x}＞mx$和$mx＞ax+b$的x范围即可。
【解析】
将不等式$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$拆分为两个条件：①$\frac{k}{x}＞mx$，②$mx＞ax+b$，结合图像分情况讨论：
1. 当$x＞0$时：
观察图像，在$0＜x＜1$区间内，反比例函数图像在正比例函数上方，满足条件①；同时正比例函数图像在一次函数上方，满足条件②，因此$0＜x＜1$符合要求。
当$x＞1$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件①，排除。
2. 当$x＜0$时：
观察图像，在$x＜-1$区间内，反比例函数图像在正比例函数上方，满足条件①；同时正比例函数图像在一次函数上方，满足条件②，因此$x＜-1$符合要求。
当$-1＜x＜0$时，正比例函数图像在反比例函数上方，不满足条件①，排除。
综上，自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
函数图像与不等式、反比例函数性质、一次函数性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只要准确掌握各类函数的图像特征，找准交点分界点，分区间观察图像上下位置就能快速求解。
【难度系数】
0.7
11 [2025 昆山市模拟]如图，$□ OABC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $D(3,2)$ 在对角线 $OB$ 上，函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象经过 $C,D$ 两点。已知 $□ OABC$ 的面积是 $18$，则点 $B$ 的坐标为 (
A.$(6,4)$
B.$(4,6)$
C.$(5,4)$
D.$(4,5)$
A
)A.$(6,4)$
B.$(4,6)$
C.$(5,4)$
D.$(4,5)$
答案
11. A
解析
【分析】
首先利用点D在反比例函数图象上求出k值，得到反比例函数解析式；再根据D在对角线OB上，求出OB所在直线的解析式，设出点B的坐标；结合平行四边形对边平行的性质，得到点C的纵坐标与点B相同，代入反比例函数得到点C的坐标；最后利用平行四边形面积公式列方程求解参数，即可得到点B的坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点$D(3,2)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$D(3,2)$代入解析式得$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$，因此反比例函数为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求直线OB的解析式：
设直线$OB$的解析式为$y=mx$，将$D(3,2)$代入得$2=3m$，解得$m=\frac{2}{3}$，即$OB$的解析式为$y=\frac{2}{3}x$。
因为点$B$在$OB$上，可设$B$的坐标为$(3a,2a)$（$a＞0$）。
3. 求点C的坐标：
因为四边形$OABC$是平行四边形，所以$BC// OA$，$OA$在$x$轴上，因此$C$的纵坐标与$B$相同，为$2a$。
又因为$C$在$y=\frac{6}{x}$上，将$y=2a$代入得$2a=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{a}$，即$C(\frac{3}{a},2a)$。
4. 利用面积求解参数：
平行四边形$OABC$的底$BC=3a-\frac{3}{a}$，高为纵坐标$2a$，已知面积为18，因此：
$(3a-\frac{3}{a})×2a=18$
化简得$6a^2-6=18$，解得$a^2=4$，因为$a＞0$，所以$a=2$。
因此$B$的坐标为$(3×2,2×2)=(6,4)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形性质，一次函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是利用共线关系设点坐标，结合平行四边形的性质关联各点坐标，再通过面积公式列方程求解，对函数与几何的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先利用点D在反比例函数图象上求出k值，得到反比例函数解析式；再根据D在对角线OB上，求出OB所在直线的解析式，设出点B的坐标；结合平行四边形对边平行的性质，得到点C的纵坐标与点B相同，代入反比例函数得到点C的坐标；最后利用平行四边形面积公式列方程求解参数，即可得到点B的坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点$D(3,2)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$D(3,2)$代入解析式得$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$，因此反比例函数为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求直线OB的解析式：
设直线$OB$的解析式为$y=mx$，将$D(3,2)$代入得$2=3m$，解得$m=\frac{2}{3}$，即$OB$的解析式为$y=\frac{2}{3}x$。
因为点$B$在$OB$上，可设$B$的坐标为$(3a,2a)$（$a＞0$）。
3. 求点C的坐标：
因为四边形$OABC$是平行四边形，所以$BC// OA$，$OA$在$x$轴上，因此$C$的纵坐标与$B$相同，为$2a$。
又因为$C$在$y=\frac{6}{x}$上，将$y=2a$代入得$2a=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{a}$，即$C(\frac{3}{a},2a)$。
4. 利用面积求解参数：
平行四边形$OABC$的底$BC=3a-\frac{3}{a}$，高为纵坐标$2a$，已知面积为18，因此：
$(3a-\frac{3}{a})×2a=18$
化简得$6a^2-6=18$，解得$a^2=4$，因为$a＞0$，所以$a=2$。
因此$B$的坐标为$(3×2,2×2)=(6,4)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形性质，一次函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是利用共线关系设点坐标，结合平行四边形的性质关联各点坐标，再通过面积公式列方程求解，对函数与几何的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12 已知函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象，则当$x≥ -2$时，$y$的取值范围是
$y≥1$或$y＜0$
。答案
12. $y≥1$或$y＜0$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的取值范围求解，解题时需先明确反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象特征与增减性：由于反比例函数自变量$x≠0$，因此需将$x≥ -2$的范围拆分为$-2≤ x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，结合不同象限内函数的增减性计算对应y的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$中，$k=-2＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
① 当$-2≤ x＜0$时，函数图象在第二象限：
将$x=-2$代入函数得$y=-\dfrac{2}{-2}=1$，
由于此区间内$y$随$x$增大而增大，因此$y≥1$；
② 当$x＞0$时，函数图象在第四象限：
此时分子为$-2$（负），分母$x$为正，因此$y=-\dfrac{2}{x}＜0$。
综上，当$x≥ -2$时，$y$的取值范围是$y≥1$或$y＜0$。
【答案】
$y≥1$或$y＜0$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，易错点是忽略反比例函数自变量$x≠0$的限制，漏分析$x＞0$时的函数取值，或错误跨象限使用增减性导致结果出错。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的取值范围求解，解题时需先明确反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象特征与增减性：由于反比例函数自变量$x≠0$，因此需将$x≥ -2$的范围拆分为$-2≤ x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，结合不同象限内函数的增减性计算对应y的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$中，$k=-2＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
① 当$-2≤ x＜0$时，函数图象在第二象限：
将$x=-2$代入函数得$y=-\dfrac{2}{-2}=1$，
由于此区间内$y$随$x$增大而增大，因此$y≥1$；
② 当$x＞0$时，函数图象在第四象限：
此时分子为$-2$（负），分母$x$为正，因此$y=-\dfrac{2}{x}＜0$。
综上，当$x≥ -2$时，$y$的取值范围是$y≥1$或$y＜0$。
【答案】
$y≥1$或$y＜0$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，易错点是忽略反比例函数自变量$x≠0$的限制，漏分析$x＞0$时的函数取值，或错误跨象限使用增减性导致结果出错。
【难度系数】
0.7
13 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B,C在第一象限,顶点D的坐标为$(\dfrac{5}{2},2)$.若函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点,则k的值为
5或22.5
.答案
13. 5或22.5 【解析】如图，过点D作$DM⊥ x$轴于点M，过点B作$BN⊥ x$轴于点N，过点C作x轴的平行线，交MD的延长线于点E，交NB的延长线于点F，则易证$△ ADM≌△ BAN$，
∴ $AM=BN$，$DM=AN$。
∵ 顶点D的坐标为$(\dfrac{5}{2},2)$，
∴ $OM=\dfrac{5}{2}$，$DM=2$。易证$△ ADM≌△ DCE$，
∴ $AM=DE$，$DM=CE$，
∴ $AM=BN=DE$，$DM=AN=CE=2$。设$AM=BN=DE=m$（$m＞0$），则易得$B(4.5+m,m)$，$C(4.5,2+m)$。当函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0,x＞0$）的图象经过点B,D时，$k=\dfrac{5}{2}×2=5$。当函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0,x＞0$）的图象经过点B,C时，$k=(4.5+m)· m=4.5(2+m)$，解得$m=3$（负值舍去）。
∴ $k=4.5×(2+3)=22.5$。综上所述，k的值为5或22.5。
解析
【分析】
解决本题首先要将正方形各顶点坐标用参数表示，坐标系内处理正方形的常用方法是构造“K型全等”三角形，通过全等将边的等量关系转化为坐标差的关系。设未知线段长度为参数，写出B、C两点坐标后，分类讨论反比例函数经过的两组顶点组合：①经过点D和点B；②经过点B和点C，再结合反比例函数$k=xy$的性质列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
解：如图，过点D作$DM⊥x$轴于点M，过点B作$BN⊥x$轴于点N，过点C作x轴的平行线，交MD的延长线于点E，交NB的延长线于点F。
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ DAM+∠ BAN=90°$，又$∠ ADM+∠ DAM=90°$，$\therefore ∠ ADM=∠ BAN$，
又$∠ AMD=∠ BNA=90°$，$\therefore △ ADM≌△ BAN$（AAS），
$\therefore AM=BN$，$DM=AN$。
已知$D(\dfrac{5}{2},2)$，$\therefore OM=\dfrac{5}{2}$，$DM=2$。
同理可证$△ ADM≌△ DCE$（AAS），$\therefore AM=DE$，$DM=CE$，
$\therefore AM=BN=DE$，$DM=AN=CE=2$。
设$AM=BN=DE=m$（$m＞0$），
则点A横坐标为$\dfrac{5}{2}+m$，
可得点B坐标为$(\dfrac{9}{2}+m,m)$，点C坐标为$(\dfrac{9}{2},2+m)$。
分两种情况讨论：
① 当反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$经过点B、D时：
代入点D坐标得$k=\dfrac{5}{2}×2=5$；
② 当反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$经过点B、C时：
由$k=xy$得$(\dfrac{9}{2}+m)· m=\dfrac{9}{2}·(2+m)$，
整理得$m^2=9$，解得$m=3$（$m=-3$不符合$m＞0$，舍去），
代入得$k=\dfrac{9}{2}×(2+3)=22.5$。
综上，k的值为5或22.5。
【答案】
5或22.5
【知识点】
反比例函数的性质；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了坐标系内正方形顶点坐标推导、全等三角形应用及反比例函数系数k的求解，解题需要用到分类讨论思想，分析反比例函数经过顶点的所有可能组合，同时注意参数的实际意义，舍去不合理解，避免漏解。
【难度系数】
0.4
解决本题首先要将正方形各顶点坐标用参数表示，坐标系内处理正方形的常用方法是构造“K型全等”三角形，通过全等将边的等量关系转化为坐标差的关系。设未知线段长度为参数，写出B、C两点坐标后，分类讨论反比例函数经过的两组顶点组合：①经过点D和点B；②经过点B和点C，再结合反比例函数$k=xy$的性质列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
解：如图，过点D作$DM⊥x$轴于点M，过点B作$BN⊥x$轴于点N，过点C作x轴的平行线，交MD的延长线于点E，交NB的延长线于点F。
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ DAM+∠ BAN=90°$，又$∠ ADM+∠ DAM=90°$，$\therefore ∠ ADM=∠ BAN$，
又$∠ AMD=∠ BNA=90°$，$\therefore △ ADM≌△ BAN$（AAS），
$\therefore AM=BN$，$DM=AN$。
已知$D(\dfrac{5}{2},2)$，$\therefore OM=\dfrac{5}{2}$，$DM=2$。
同理可证$△ ADM≌△ DCE$（AAS），$\therefore AM=DE$，$DM=CE$，
$\therefore AM=BN=DE$，$DM=AN=CE=2$。
设$AM=BN=DE=m$（$m＞0$），
则点A横坐标为$\dfrac{5}{2}+m$，
可得点B坐标为$(\dfrac{9}{2}+m,m)$，点C坐标为$(\dfrac{9}{2},2+m)$。
分两种情况讨论：
① 当反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$经过点B、D时：
代入点D坐标得$k=\dfrac{5}{2}×2=5$；
② 当反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$经过点B、C时：
由$k=xy$得$(\dfrac{9}{2}+m)· m=\dfrac{9}{2}·(2+m)$，
整理得$m^2=9$，解得$m=3$（$m=-3$不符合$m＞0$，舍去），
代入得$k=\dfrac{9}{2}×(2+3)=22.5$。
综上，k的值为5或22.5。
【答案】
5或22.5
【知识点】
反比例函数的性质；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了坐标系内正方形顶点坐标推导、全等三角形应用及反比例函数系数k的求解，解题需要用到分类讨论思想，分析反比例函数经过顶点的所有可能组合，同时注意参数的实际意义，舍去不合理解，避免漏解。
【难度系数】
0.4
14 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0,3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象经过点D，M，反比例函数y=$\frac{m}{x}$在第二象限内的图象经过点D，与BC的交点为N。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式。
（2）连接MN。若点P在直线DM上，且△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式。
（2）连接MN。若点P在直线DM上，且△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标。
答案
14. (1)
∵ 正方形OABC的顶点C的坐标为$(0,3)$，
∴ $OA=AB=BC=OC=3$，$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$。
∵ $AD=2DB$，
∴ $AD=\dfrac{2}{3}AB=2$，
∴ 点D的坐标为$(-3,2)$。把$D(-3,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=-6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
∵ $AM=2MO$，
∴ $MO=\dfrac{1}{3}OA=1$，
∴ 点M的坐标为$(-1,0)$。把$M(-1,0)$，$D(-3,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为$y=-x-1$
(2) 把$y=3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$x=-2$，
∴ 点N的坐标为$(-2,3)$，即$NC=2$。设点P的坐标为$(x_P,y_P)$。
∵ $△ OPM$的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴ $\dfrac{1}{2}MO·|y_P|=\dfrac{1}{2}(MO+NC)· OC$，即$\dfrac{1}{2}×1·|y_P|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$，
∴ $|y_P|=9$，解得$y_P=\pm9$。当$y_P=9$时，易得$x_P=-10$；当$y_P=-9$时，易得$x_P=8$。
∴ 点P的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$
∵ 正方形OABC的顶点C的坐标为$(0,3)$，
∴ $OA=AB=BC=OC=3$，$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$。
∵ $AD=2DB$，
∴ $AD=\dfrac{2}{3}AB=2$，
∴ 点D的坐标为$(-3,2)$。把$D(-3,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=-6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
∵ $AM=2MO$，
∴ $MO=\dfrac{1}{3}OA=1$，
∴ 点M的坐标为$(-1,0)$。把$M(-1,0)$，$D(-3,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为$y=-x-1$
(2) 把$y=3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$x=-2$，
∴ 点N的坐标为$(-2,3)$，即$NC=2$。设点P的坐标为$(x_P,y_P)$。
∵ $△ OPM$的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴ $\dfrac{1}{2}MO·|y_P|=\dfrac{1}{2}(MO+NC)· OC$，即$\dfrac{1}{2}×1·|y_P|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$，
∴ $|y_P|=9$，解得$y_P=\pm9$。当$y_P=9$时，易得$x_P=-10$；当$y_P=-9$时，易得$x_P=8$。
∴ 点P的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$
解析
【分析】
（1）首先根据正方形顶点C的坐标确定正方形边长为3，结合AD=2DB、AM=2MO的线段比例关系，分别求出点D、点M的坐标；再将点D坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式；最后将D、M两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b的值，得到一次函数表达式。
（2）先根据点N在BC边上（纵坐标为3），代入反比例函数求出点N的坐标，得到NC的长度；四边形OMNC为梯形，利用梯形面积公式求出其面积；再根据△OPM与四边形OMNC面积相等，利用三角形面积公式求出点P纵坐标的绝对值，分两种情况代入一次函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵ 正方形OABC的顶点C的坐标为$(0,3)$，
∴ $OA=AB=BC=OC=3$，$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$。
∵ $AD=2DB$，
∴ $AD=\dfrac{2}{3}AB=2$，
∴ 点D的坐标为$(-3,2)$。把$D(-3,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$2=\dfrac{m}{-3}$，解得$m=-6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
∵ $AM=2MO$，
∴ $MO=\dfrac{1}{3}OA=1$，
∴ 点M的坐标为$(-1,0)$。把$M(-1,0)$，$D(-3,2)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}-k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为$y=-x-1$。
(2)
∵ 点N在BC边上，BC边平行于x轴，纵坐标为3，
把$y=3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，
∴ 点N的坐标为$(-2,3)$，即$NC=2$。
设点P的坐标为$(x_P,y_P)$，
∵ $△ OPM$的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴ $\dfrac{1}{2}·MO·|y_P|=\dfrac{1}{2}·(MO+NC)· OC$，
代入数值得$\dfrac{1}{2}×1·|y_P|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$，
化简得$|y_P|=9$，解得$y_P=9$或$y_P=-9$。
当$y_P=9$时，代入$y=-x-1$，得$9=-x_P-1$，解得$x_P=-10$；
当$y_P=-9$时，代入$y=-x-1$，得$-9=-x_P-1$，解得$x_P=8$。
∴ 点P的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-10,9)}$或$\boldsymbol{(8,-9)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，图形面积计算
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，结合了正方形的性质，解题时需掌握坐标与线段长度的转换方法，注意点P在直线上的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据正方形顶点C的坐标确定正方形边长为3，结合AD=2DB、AM=2MO的线段比例关系，分别求出点D、点M的坐标；再将点D坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式；最后将D、M两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b的值，得到一次函数表达式。
（2）先根据点N在BC边上（纵坐标为3），代入反比例函数求出点N的坐标，得到NC的长度；四边形OMNC为梯形，利用梯形面积公式求出其面积；再根据△OPM与四边形OMNC面积相等，利用三角形面积公式求出点P纵坐标的绝对值，分两种情况代入一次函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵ 正方形OABC的顶点C的坐标为$(0,3)$，
∴ $OA=AB=BC=OC=3$，$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$。
∵ $AD=2DB$，
∴ $AD=\dfrac{2}{3}AB=2$，
∴ 点D的坐标为$(-3,2)$。把$D(-3,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$2=\dfrac{m}{-3}$，解得$m=-6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
∵ $AM=2MO$，
∴ $MO=\dfrac{1}{3}OA=1$，
∴ 点M的坐标为$(-1,0)$。把$M(-1,0)$，$D(-3,2)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}-k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为$y=-x-1$。
(2)
∵ 点N在BC边上，BC边平行于x轴，纵坐标为3，
把$y=3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，
∴ 点N的坐标为$(-2,3)$，即$NC=2$。
设点P的坐标为$(x_P,y_P)$，
∵ $△ OPM$的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴ $\dfrac{1}{2}·MO·|y_P|=\dfrac{1}{2}·(MO+NC)· OC$，
代入数值得$\dfrac{1}{2}×1·|y_P|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$，
化简得$|y_P|=9$，解得$y_P=9$或$y_P=-9$。
当$y_P=9$时，代入$y=-x-1$，得$9=-x_P-1$，解得$x_P=-10$；
当$y_P=-9$时，代入$y=-x-1$，得$-9=-x_P-1$，解得$x_P=8$。
∴ 点P的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-10,9)}$或$\boldsymbol{(8,-9)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，图形面积计算
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，结合了正方形的性质，解题时需掌握坐标与线段长度的转换方法，注意点P在直线上的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
