22. (2024·秋·北京校级期末)已知,如图,$∠ ABC=∠ ADC$,BF,DE分别平分$∠ ABC$与$∠ ADC$,且$∠ 1=∠ 3$.试说明:$AB// DC$.

22. 因为BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC,(已知)所以∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ADC(角平分线定义).又因为∠ABC=∠ADC(已知),所以∠1=∠2(等量代换),又因为∠1=∠3(已知),所以∠2=∠3(等量代换),所以AB//DC(内错角相等,两直线平行).

23. 点 O 是直线 AB 上一点，$∠ COD$ 是直角，OE 平分$∠ BOC$.
（1）①如图1，若$∠ DOE＝25°$，求$∠ AOC$的度数；
②如图2，若$∠ DOE＝α$，直接写出$∠ AOC$的度数（用含$α$的式子表示）；
（2）将图1中的$∠ COD$绕点 O 按顺时针方向旋转至图2所示位置.探究$∠ DOE$与$∠ AOC$的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.

23. （1）①因为∠COD=90°,∠DOE=25°,所以∠COE=∠COD-∠DOE=90°-25°=65°,又因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠COE=130°,所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-130°=50°;②因为∠COD=90°,∠DOE=α,所以∠COE=∠COD-∠DOE=90°-α,又因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠COE=180°-2α,所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-(180°-2α)=2α （2）∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,理由如下: 因为∠BOC=180°-∠AOC,又因为OE平分∠BOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°-∠AOC)=90°-$\frac{1}{2}$∠AOC,又因为∠COD=90°,所以∠DOE=90°-∠COE=90°-(90°-$\frac{1}{2}$∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOC.

24.（2024·秋·五华县期末）【发现问题】
如图1，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.

【提出问题】
小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究.
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由.
探究二：如图2，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为；如图3，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE//CD，则∠BAE＝°（不需要写解答过程）.
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图4，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数.

24. 探究一:∠BPD=∠ABP+∠CDP,理由如下:如题图1,因为AB//MN//CD,所以∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP,所以∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP,所以∠BPD=∠ABP+∠CDP.探究二:∠AMP=∠P+∠CNP,145. 如题图4,∠FME=90°.