1. 一题多解[2025青岛中考]如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ADC=90°,DC=BC,直线EA与⊙O相切于点A.若∠BCD=128°,则∠DAE的度数为 ()

A.52°
B.54°
C.64°
D.74°

1 C
通解 如图1,连接AC,
∵ ∠ADC=90°,
∴ AC是⊙O的直径.
∵ EA与⊙O相切于点A,
∴ ∠EAC=90°.
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴ ∠BAD=180°-∠BCD=52°.
∵ DC=BC,
∴ ⌢DC=⌢BC,
∴ ∠CAD=∠BAC=1/2 ∠BAD=26°,
∴ ∠DAE=∠EAC-∠CAD=64°.

另解 如图2,连接BD,OA,OD.
∵ DC=BC,∠BCD=128°,
∴ ∠CDB=∠CBD=(180°-128°)/2=26°.
∵ ∠ADC=90°,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴ ∠ABC+∠ADC=180°,
∴ ∠ABC=∠ADC=90°,
∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-26°=64°,
∴ ∠AOD=2∠ABD=128°.
∵ OA=OD,
∴ ∠DAO=∠ADO=(180°-128°)/2=26°.又
∵ 直线EA为⊙O的切线,
∴ ∠EAO=90°,
∴ ∠DAE=90°-∠DAO=90°-26°=64°.

2. [2025武汉中考]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。若$AB=6$，$CD=\sqrt{13}$，则$\odot O$的半径是（）

A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.$5$

2 A
如图,过点O作OE⊥AB,垂足为点F,交⊙O于点E,连接OA,AE,则⌢AE=⌢BE,AF=BF=1/2 AB=3.
∵ ⌢AB=2⌢CD,⌢AB=2⌢AE,
∴ ⌢AE=⌢CD.
∴ AE=CD=√13.在Rt△AEF中,AE=√13,AF=3,
∴ EF=√(AE²-AF²)=2.设⊙O的半径为R,在Rt△AOF中,OA=R,OF=R-2,AF=3,由勾股定理,得OA²=OF²+AF²,即R²=(R-2)²+3²,解得R=13/4.

3. [2025镇江中考]如图，直线$l_1 // l_2$，直线$m$分别交$l_1,l_2$于点$A,B$，以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2,l_1$于直线$m$同侧的点$C,D$，$∠ ADB = 35°, AB = 9$，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于（）

A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$

3 C
如图,连接AC.
∵ l₁//l₂,
∴ ∠ADB=∠CBD.
∵ ∠ADB=35°,
∴ ∠CBD=35°.
∵ ⌢CD=⌢CD,
∴ ∠DAC=2∠CBD=2×35°=70°,
∴ l⌢_CD=(70×π×9)/180=7/2 π.

4. [2025南京中考]一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位:mm)如图，这枚古钱币的半径为mm.

4 13
如图,设圆心为O,连接OB,过点O作OC⊥AB于点C,则∠OCB=90°,
∴ OB=√(OC²+BC²).
∵ OC=1/2 ×10=5(mm),BC=1/2 ×10 +7=12(mm),
∴ OB=√(5²+12²)=13(mm),
∴ 这枚古钱币的半径为13 mm.

5. [2025上海中考]已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若此圆在角的边上截得的两条线恰好是某正五边形的两边,那么这个角的度数为.

5 36°或108°
如图,当角的顶点在圆上时,即⊙O交∠ABC的两边,截取的两条弦分别为AB,BC,此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角,
∴ ∠ABC=((5-2)×180°)/5=108°;当角的顶点在圆外部时,即⊙O交∠AFC的两边,截取的两条弦为分别AE,CD,连接DE,则∠AED=∠CDE=((5-2)×180°)/5=108°,
∴ ∠FED=∠FDE=180°-108°=72°,
∴ ∠F=180°-2×72°=36°.综上,这个角的度数是36°或108°.

6. [2025烟台中考]如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为$120°$的扇形，则图中阴影部分的面积为.

6 16/3 π -8√3
如图,连接OA,OE,OF,过点O作OM⊥AF于点M.
∵ 六边形ABCDEF为正六边形,
∴ OA=OE=OF,∠AOF=∠EOF=360°÷6=60°,∠BAF=120°,
∴ △OAF和△OEF都是等边三角形,∠AOE=60°+60°=120°,
∴ ∠OEF=∠OAF=60°,OA=AF=4.
∵ OM⊥AF,
∴ AM=FM=1/2 AF=1/2 ×4=2,∠AMO=90°,
∴ OM=√(OA²-AM²)=√(4²-2²)=2√3,
∴ S_△OAF=1/2 AF · OM=1/2 ×4 ×2√3=4√3.
∵ ∠BAF=120°,
∴ ∠OAG=120°-60°=60°,
∴ ∠OAG=∠OEH.
∵ ∠GOH=∠AOE=120°,即∠GOA+∠AOH=∠AOH+∠HOE=120°,
∴ ∠GOA=∠HOE.在△GOA和△HOE中,
{∠OAG=∠OEH,
∠GOA=∠HOE,
OA=OE,
∴ △GOA ≅ △HOE (AAS),
∴ S_△GOA = S_△HOE,
∴ S_△GOA + S_四边形AOHF = S_△HOE + S_四边形AOHF,即S_五边形AGOHF = S_四边形AOEF = 2S_△OAF = 2×4√3 =8√3,
∴ S_阴影 = S_扇形 - S_五边形AGOHF = (120π×4²)/360 -8√3 = 16π/3 -8√3.

7. [2025天津中考]已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，∠AOB=80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点.
(1)如图1，求∠CED的大小；
(2)如图2，当EC//OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长.

7 解:(1)如图1,连接OC.
∵ AB与⊙O相切于点C,
∴ OC⊥AB.
又
∵ OA=OB,∠AOB=80°,
∴ ∠BOC=1/2 ∠AOB=1/2 ×80°=40°.
∵ ⌢DC=⌢DC,
∴ ∠CED=1/2 ∠COB=20°.

(2)如图2,连接OC,OE.
∵ DG是⊙O的直径,⊙O的半径为3,
∴ ∠DEG=90°,DG=6.
∵ EC//OA,
∴ ∠EFG=∠AOB=80°.
由(1)知∠CED=20°.
∴ ∠EDG=∠EFG - ∠CED=60°.
∴ ∠G=90°-∠EDG=30°.
∵ ⌢DE=⌢DE,
∴ ∠DOE=2∠G=60°.
又
∵ OD=OE,
∴ △ODE是等边三角形,
∴ ED=OD=3.
∵ ∠DEG=90°,
∴ EG=√(DG²-ED²)=√(6²-3²)=3√3.

8. [2025徐州中考]如图，$\odot O$为正三角形$ABC$的外接圆，直线$CD$经过点$C$，$CD// AB$.
(1)判断直线$CD$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.

8 解:(1)CD与⊙O相切.理由如下:
如图,连接OB,OC.
∵ △ABC是正三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵ ⌢BC=⌢BC,
∴ ∠BOC=2∠A=120°.
又
∵ OB=OC,
∴ ∠OCB=30°.
∵ CD//AB,
∴ ∠BCD=∠ABC=60°.
∴ ∠OCD=∠BCO + ∠BCD=90°,
∴ OC⊥CD,
∴ CD与⊙O相切.
(2)如图,过点O作OH⊥BC于H.
∵ OB=OC=2,∠OCB=30°,
∴ OH=1.
∵ OH⊥BC,
∴ BH=CH=1/2 BC,∠OHC=90°.
∴ CH=√(OC²-OH²)=√(2²-1²)=√3,
∴ BC=2√3,
∴ S_△OBC=1/2 BC · OH=1/2 ×2√3 ×1=√3,
∴ S_阴影=S_扇形OBC - S_△OBC = (120×π×2²)/360 -√3 = 4/3 π -√3.