[2025 盐城盐都区期中]
最大视角问题
【概念认识】
自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端,则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角,如图1,∠APB是点P对线段AB的视角.


备用图
【问题探究】如图2,已知线段AB与直线l,在直线l上取一点P,使点P对线段AB的视角最大.
(1)请说明图2中,∠AP₁B ＞ ∠AP₂B.
【数学思考】
如图2,圆越大,∠APB越小 → 当圆与直线l相切且点P为切点时,∠APB最大
点P在直线l上 → 圆与直线l有公共点 → 圆与直线l相交或相切
【问题解决】如图3,矩形COES是足球场的示意图,分别以直线OE、直线OC为x轴和y轴建立平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为$(0,a),(0,b)$,摄像机P在OE上移动拍摄.
(2)请求出当摄像机P对球门AB的视角最大时点P的坐标.(用含a,b的代数式表示)
(3)在足球比赛中,足球位置对球门的视角越大,越容易被踢进,如图4,假设球门$AB=8$ m,一名球员从点M处带球,沿MN方向跑动,$MN⊥AB$,$MN=18$ m,$BN=2$ m.
①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置?
②为了给观众呈现更好的现场画面,另安排了无人机拍摄,某架无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对AB的视角为$45°$(无人机离地面的高度忽略不计),已知足球场宽$OC=60$ m,若摄像机P位于对MN的视角最大的位置,在无人机Q移动的过程中,P,Q水平距离最近时相距 m.

解:(1)如图1,设BP₂与小圆交于点C,连接AC,则∠AP₁B = ∠ACB.
∵ ∠ACB ＞ ∠AP₂B,
∴ ∠AP₁B ＞ ∠AP₂B.

(2)由【数学思考】,知当圆与x轴相切且点P为切点时,视角∠APB最大.
设经过A,B两点的⊙G与OE相切于点P,则此时摄像机P对球门AB的视角最大.
如图2,连接GP,GB,过点G作GD⊥AB于点D,则GB=GP.
∵ ⊙G与OE相切于点P,
∴ GP⊥OE.
∵ A,B两点的坐标分别为(0,a),(0,b),
∴ OA=a,OB=b,
∴ AB=OA-OB=a-b.
∵ GD⊥AB,
∴ AD=BD=1/2 AB=(a-b)/2,
∴ OD=BD+OB=(a+b)/2.
∵ GD⊥AB,GP⊥OE,AO⊥OP,
∴ 四边形DOPG为矩形,
∴ OP=GD,GP=OD=(a+b)/2,
∴ GB=GP=(a+b)/2,
∴ GD=√(GB²-BD²)=√(((a+b)/2)² - ((a-b)/2)²)=√ab,
∴ OP=GD=√ab.
答:当摄像机P对球门AB的视角最大时点P的坐标为(√ab,0).

(3)①由【数学思考】,知当圆与直线MN相切且点P为切点时,视角∠APB最大.
设经过A,B两点的⊙O与MN相切于点P,即这名球员跑到点P处对球门视角最大.如图3,连接OP,OB,过点O作OE⊥AB于点E,则OB=OP.
∵ ⊙O与MN相切于点P,
∴ OP⊥MN.
∵ OE⊥AB,
∴ AE=BE=1/2 AB=1/2 ×8=4(m).

∵ BN=2 m,
∴ EN=BE+BN=6 m.
∵ OE⊥AB,OP⊥MN,MN⊥AB,
∴ 四边形EOPN为矩形,
∴ OE=PN,OP=EN=6 m,
∴ OB=OP=6 m,
∴ OE=√(OB²-BE²)=√(6²-4²)=2√5 (m),
∴ PN=OE=2√5 m,
∴ MP=MN-PN=(18-2√5) m.
答:这名球员继续跑(18-2√5) m可到达对球门视角最大的射门位置.
②(5√37 -4√2)
如图4,作经过A,B的⊙G,连接GA,GB,使∠AGB=90°.

∵ 无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对AB的视角为45°,
∴ 点Q在⊙G中的以AB为弦的优弧上运动.
过点G作GH⊥OE于点H,过点G作GF⊥AB于点F,则AF=BF=1/2 AB=4 m.
由题意,得F为OC的中点,
∴ OF=FC=1/2 OC=1/2 ×60=30(m).
∵ ∠AGB=90°,AF=BF,
∴ GF=1/2 AB=1/2 ×8=4(m),
∴ GB=√(GF²+BF²)=√(4²+4²)=4√2 (m).
∵ GF⊥AB,GH⊥OE,OC⊥OE,
∴ 四边形FOHG为矩形,
∴ GH=OF=30 m,OH=FG=4 m.
∵ 摄像机P位于对MN的视角最大的位置,
∴ 经过M,N的圆且该圆与OE相切的切点为点P.
作MN的垂直平分线JK,交MN于点K,交OE于点P,则P位于对MN的视角最大的位置,
∴ NK=KM=1/2 MN=1/2 ×18=9(m).
∵ OC⊥OE,KP⊥OE,MN⊥AB,
∴ 四边形NKPO为矩形,
∴ PO=NK=9 m,
∴ PH=OP-OH=9-4=5(m).
当点G,Q,P三点在一条直线上时,P,Q水平距离最近,最近距离为PQ,
∵ GP=√(GH²+PH²)=√(30²+5²)=5√37 (m),GQ=GB=4√2 m,
∴ P,Q水平距离最近时相距GP-GQ=(5√37 -4√2) m.