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1. 下列函数:①$y=4x$;②$y=-\frac{x}{4}$;③$y=\frac{4}{x}$;④$y=-4x+5$;⑤$y=2x^2 -4$;⑥$y=kx+b$. 其中一次函数的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. C
解析
【分析】
解题的核心是依据一次函数的定义逐个判断所给函数。首先回忆一次函数的判定要点：①表达式是整式；②自变量的最高次数为1；③自变量的系数不为0；另外正比例函数（形如$y=kx$，$k≠0$）是特殊的一次函数。接下来按以上要点逐一核对每个函数，统计符合要求的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne 0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k\ne 0$）为正比例函数，属于特殊的一次函数。
逐个判断各函数：
①$y=4x$：符合$y=kx$（$k=4\ne 0$），是正比例函数，属于一次函数；
②$y=-\frac{x}{4}$：即$y=-\frac{1}{4}x$，符合$y=kx$（$k=-\frac{1}{4}\ne 0$），是正比例函数，属于一次函数；
③$y=\frac{4}{x}$：是反比例函数，自变量次数为$-1$，不符合一次函数定义；
④$y=-4x+5$：符合$y=kx+b$（$k=-4\ne 0$，$b=5$），是一次函数；
⑤$y=2x^2 -4$：自变量最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数定义；
⑥$y=kx+b$：未说明$k\ne 0$，若$k=0$则不是一次函数，不符合定义。
综上，符合一次函数要求的是①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数与一次函数的关系；特殊函数识别
【点评】
本题重点考查对一次函数定义的理解，解题时要注意两个易错点：一是不要忽略一次函数中一次项系数不为0的前提条件，二是要明确正比例函数属于特殊的一次函数，同时注意区分一次函数与反比例函数、二次函数的表达式形式，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题的核心是依据一次函数的定义逐个判断所给函数。首先回忆一次函数的判定要点：①表达式是整式；②自变量的最高次数为1；③自变量的系数不为0；另外正比例函数（形如$y=kx$，$k≠0$）是特殊的一次函数。接下来按以上要点逐一核对每个函数，统计符合要求的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne 0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k\ne 0$）为正比例函数，属于特殊的一次函数。
逐个判断各函数：
①$y=4x$：符合$y=kx$（$k=4\ne 0$），是正比例函数，属于一次函数；
②$y=-\frac{x}{4}$：即$y=-\frac{1}{4}x$，符合$y=kx$（$k=-\frac{1}{4}\ne 0$），是正比例函数，属于一次函数；
③$y=\frac{4}{x}$：是反比例函数，自变量次数为$-1$，不符合一次函数定义；
④$y=-4x+5$：符合$y=kx+b$（$k=-4\ne 0$，$b=5$），是一次函数；
⑤$y=2x^2 -4$：自变量最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数定义；
⑥$y=kx+b$：未说明$k\ne 0$，若$k=0$则不是一次函数，不符合定义。
综上，符合一次函数要求的是①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数与一次函数的关系；特殊函数识别
【点评】
本题重点考查对一次函数定义的理解，解题时要注意两个易错点：一是不要忽略一次函数中一次项系数不为0的前提条件，二是要明确正比例函数属于特殊的一次函数，同时注意区分一次函数与反比例函数、二次函数的表达式形式，避免混淆。
【难度系数】
0.7
2. [2026 六安期末] 已知函数$y=(m-1)x^{|m|}+5$是一次函数，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$2$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$2$
答案
此题易忽略一次函数 $y=kx+b$ 中 $k ≠ 0$ 而致错。
2. A
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确一次函数的判定规则：一次函数需要同时满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为1，二是一次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列出关于m的关系式，求解后取公共部分就能得到m的正确取值。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^{|m|}+5$是一次函数
∴根据一次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的次数为1：$|m|=1$，解得$m=\pm1$
2. 一次项系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件可得，$m=-1$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义，绝对值的运算，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础考查题，解题的关键是牢记一次函数的两个判定条件，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，导致误选C选项。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确一次函数的判定规则：一次函数需要同时满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为1，二是一次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列出关于m的关系式，求解后取公共部分就能得到m的正确取值。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^{|m|}+5$是一次函数
∴根据一次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的次数为1：$|m|=1$，解得$m=\pm1$
2. 一次项系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件可得，$m=-1$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义，绝对值的运算，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础考查题，解题的关键是牢记一次函数的两个判定条件，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，导致误选C选项。
【难度系数】
0.6
3. 下列关系中,成正比例函数关系的是 （
A.正方形的面积与边长
B.三角形的周长与边长
C.圆的面积与它的半径
D.速度一定时,路程与时间
D
）A.正方形的面积与边长
B.三角形的周长与边长
C.圆的面积与它的半径
D.速度一定时,路程与时间
答案
3. D
解析
【分析】
要判断两个量是否成正比例函数关系，首先要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数。解题时先逐一写出每个选项中两个量的函数关系式，再对照定义判断是否符合正比例函数的形式即可。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$ y=kx $（$ k $是常数，且$k≠0 $）的函数叫做正比例函数。
逐一分析选项：
A. 设正方形边长为$ a $，面积为$ S $，则$ S=a^2 $，不符合$ y=kx $的形式，不是正比例函数，故A错误；
B. 未说明三角形的形状，三角形三条边长关系不固定，周长与某一条边长没有固定的正比例函数关系，故B错误；
C. 设圆的半径为$ r $，面积为$ S $，则$ S=π r^2 $，不符合$ y=kx $的形式，不是正比例函数，故C错误；
D. 设速度为定值$ v $，路程为$ s $，时间为$ t $，则$ s=vt $，其中$ v $是不为0的常数，符合正比例函数的形式，路程与时间成正比例函数关系，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义；实际问题函数关系式；正比例关系判定
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义在实际问题中的应用，解题的核心是熟练掌握正比例函数的形式，正确列出各选项中两个量的函数关系式再对照判断，需要注意区分正比例函数与二次函数的表达式差异。
【难度系数】
0.8
要判断两个量是否成正比例函数关系，首先要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数。解题时先逐一写出每个选项中两个量的函数关系式，再对照定义判断是否符合正比例函数的形式即可。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$ y=kx $（$ k $是常数，且$k≠0 $）的函数叫做正比例函数。
逐一分析选项：
A. 设正方形边长为$ a $，面积为$ S $，则$ S=a^2 $，不符合$ y=kx $的形式，不是正比例函数，故A错误；
B. 未说明三角形的形状，三角形三条边长关系不固定，周长与某一条边长没有固定的正比例函数关系，故B错误；
C. 设圆的半径为$ r $，面积为$ S $，则$ S=π r^2 $，不符合$ y=kx $的形式，不是正比例函数，故C错误；
D. 设速度为定值$ v $，路程为$ s $，时间为$ t $，则$ s=vt $，其中$ v $是不为0的常数，符合正比例函数的形式，路程与时间成正比例函数关系，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义；实际问题函数关系式；正比例关系判定
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义在实际问题中的应用，解题的核心是熟练掌握正比例函数的形式，正确列出各选项中两个量的函数关系式再对照判断，需要注意区分正比例函数与二次函数的表达式差异。
【难度系数】
0.8
4. 已知$y=(m-2)x+|m|-2$.
(1)$m$满足什么条件时，$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数？
(2)$m$满足什么条件时，$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数？
(1)$m$满足什么条件时，$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数？
(2)$m$满足什么条件时，$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数？
答案
4. 【解】(1)由题意得 $m-2≠0$,解得 $m≠2$。
(2)由题意得$|m|-2=0$,且 $m-2≠0$,解得 $m=-2$。
解析
【分析】
要判断给定函数属于一次函数还是正比例函数，需紧扣两类函数的定义梳理求解条件：
1. 一次函数的形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），只需保证一次项系数不为0，常数项无额外要求，据此列不等式即可求解$m$的取值范围；
2. 正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），因此除了一次项系数不为0外，还要求常数项为0，联立两个条件求解即可得到$m$的取值。
【解析】
(1) 若函数为一次函数，需满足一次项系数不为0：
由题意得 $m-2≠0$
解得 $m≠2$
(2) 若函数为正比例函数，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0：
由题意得 $\begin{cases}|m|-2=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=0$得$m=2$或$m=-2$，结合$m≠2$的限制，排除$m=2$
最终解得 $m=-2$
【答案】
(1)由题意得 $m-2≠0$,解得 $m≠2$。
(2)由题意得$|m|-2=0$,且 $m-2≠0$,解得 $m=-2$。
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是函数概念类基础题，重点考查一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是牢记两类函数的限制条件，尤其注意正比例函数的两个条件缺一不可，避免遗漏“一次项系数不为0”的要求导致错解。
【难度系数】
0.7
要判断给定函数属于一次函数还是正比例函数，需紧扣两类函数的定义梳理求解条件：
1. 一次函数的形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），只需保证一次项系数不为0，常数项无额外要求，据此列不等式即可求解$m$的取值范围；
2. 正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），因此除了一次项系数不为0外，还要求常数项为0，联立两个条件求解即可得到$m$的取值。
【解析】
(1) 若函数为一次函数，需满足一次项系数不为0：
由题意得 $m-2≠0$
解得 $m≠2$
(2) 若函数为正比例函数，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0：
由题意得 $\begin{cases}|m|-2=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=0$得$m=2$或$m=-2$，结合$m≠2$的限制，排除$m=2$
最终解得 $m=-2$
【答案】
(1)由题意得 $m-2≠0$,解得 $m≠2$。
(2)由题意得$|m|-2=0$,且 $m-2≠0$,解得 $m=-2$。
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是函数概念类基础题，重点考查一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是牢记两类函数的限制条件，尤其注意正比例函数的两个条件缺一不可，避免遗漏“一次项系数不为0”的要求导致错解。
【难度系数】
0.7
5. 母题教材P₈₁尝试·思考 已知汽车油箱内有油40 L，每行驶100 km耗油10 L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q(单位:L)与行驶路程s(单位:km)之间的函数表达式是 (
A.$Q=40-\dfrac{s}{100}$
B.$Q=40+\dfrac{s}{100}$
C.$Q=40-\dfrac{s}{10}$
D.$Q=40+\dfrac{s}{10}$
C
)A.$Q=40-\dfrac{s}{100}$
B.$Q=40+\dfrac{s}{100}$
C.$Q=40-\dfrac{s}{10}$
D.$Q=40+\dfrac{s}{10}$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先要明确本题的核心等量关系：油箱内剩余油量=油箱初始总油量 - 行驶过程中消耗的油量。第一步先计算汽车每行驶1km的耗油量，第二步根据行驶路程s算出总耗油量，第三步将已知量代入等量关系即可得到Q与s的函数表达式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：首先明确等量关系：剩余油量 = 原有油量 - 消耗油量。
①计算单位路程耗油量：已知每行驶100km耗油10L，则每行驶1km的耗油量为$10÷100=\frac{1}{10}\mathrm{ L/km}$。
②计算行驶s km的总耗油量：总耗油量 = 单位路程耗油量 × 行驶路程，即$\frac{1}{10}s\mathrm{ L}$。
③代入等量关系列表达式：已知原有油量为40L，因此剩余油量$Q=40-\frac{s}{10}$。
对应选项可知C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
列函数表达式；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于函数实际应用的基础题型，解题核心是找准变量间的等量关系，重点注意单位路程耗油量的计算，避免因数量关系理解错误选错选项。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确本题的核心等量关系：油箱内剩余油量=油箱初始总油量 - 行驶过程中消耗的油量。第一步先计算汽车每行驶1km的耗油量，第二步根据行驶路程s算出总耗油量，第三步将已知量代入等量关系即可得到Q与s的函数表达式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：首先明确等量关系：剩余油量 = 原有油量 - 消耗油量。
①计算单位路程耗油量：已知每行驶100km耗油10L，则每行驶1km的耗油量为$10÷100=\frac{1}{10}\mathrm{ L/km}$。
②计算行驶s km的总耗油量：总耗油量 = 单位路程耗油量 × 行驶路程，即$\frac{1}{10}s\mathrm{ L}$。
③代入等量关系列表达式：已知原有油量为40L，因此剩余油量$Q=40-\frac{s}{10}$。
对应选项可知C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
列函数表达式；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于函数实际应用的基础题型，解题核心是找准变量间的等量关系，重点注意单位路程耗油量的计算，避免因数量关系理解错误选错选项。
【难度系数】
0.9
6. 「母题教材P₈₁例1」写出下列各题中x与y之间的函数关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元，小红买笔记本所付的钱y(单位：元)与所买笔记本的本数x(单位：本)之间的关系；
(2)一辆汽车由北京驶往相距120 km的天津，它的平均速度是40 km/h，汽车距天津的路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)的关系。
(1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元，小红买笔记本所付的钱y(单位：元)与所买笔记本的本数x(单位：本)之间的关系；
(2)一辆汽车由北京驶往相距120 km的天津，它的平均速度是40 km/h，汽车距天津的路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)的关系。
答案
6. 【解】(1)由题意得 $y=2.5x$,y 是 x 的一次函数,且是正比例函数。
(2)由题意得 $y=120-40x$,y 是 x 的一次函数,y 不是 x 的正比例函数。
(2)由题意得 $y=120-40x$,y 是 x 的一次函数,y 不是 x 的正比例函数。
解析
【分析】
解题分为两步：第一步先根据实际问题的等量关系列出y与x的函数关系式，第二步结合一次函数、正比例函数的定义进行判断。①第(1)题的等量关系为“总付款=单价×购买本数”；②第(2)题的等量关系为“距天津的路程=总路程-已行驶路程”，其中已行驶路程=速度×行驶时间。回忆相关定义：形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数是x的一次函数；当$b=0$时，即$y=kx$（$k≠0$），该函数是x的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
【解析】
(1) 根据“总付款=单价×购买数量”，代入已知单价2.5元，可得：
$y=2.5x$
该式符合一次函数形式$y=kx+b$，其中$k=2.5≠0$，$b=0$，因此y是x的一次函数，也是正比例函数。
(2) 先计算汽车行驶x小时的路程为$40x$km，根据“距天津的路程=总路程-已行驶路程”，代入总路程120km，可得：
$y=120-40x$，整理为$y=-40x+120$
该式符合一次函数形式$y=kx+b$，其中$k=-40≠0$，$b=120≠0$，因此y是x的一次函数，不是正比例函数。
【答案】
(1) $y=2.5x$，y是x的一次函数，且是正比例函数；
(2) $y=120-40x$，y是x的一次函数，y不是x的正比例函数。
【知识点】
列实际问题的函数关系式；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础题型，解题关键是准确梳理实际情境中的等量关系，牢记一次函数与正比例函数的定义特征，注意正比例函数是常数项为0的特殊一次函数，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0两个要求。
【难度系数】
0.8
解题分为两步：第一步先根据实际问题的等量关系列出y与x的函数关系式，第二步结合一次函数、正比例函数的定义进行判断。①第(1)题的等量关系为“总付款=单价×购买本数”；②第(2)题的等量关系为“距天津的路程=总路程-已行驶路程”，其中已行驶路程=速度×行驶时间。回忆相关定义：形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数是x的一次函数；当$b=0$时，即$y=kx$（$k≠0$），该函数是x的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
【解析】
(1) 根据“总付款=单价×购买数量”，代入已知单价2.5元，可得：
$y=2.5x$
该式符合一次函数形式$y=kx+b$，其中$k=2.5≠0$，$b=0$，因此y是x的一次函数，也是正比例函数。
(2) 先计算汽车行驶x小时的路程为$40x$km，根据“距天津的路程=总路程-已行驶路程”，代入总路程120km，可得：
$y=120-40x$，整理为$y=-40x+120$
该式符合一次函数形式$y=kx+b$，其中$k=-40≠0$，$b=120≠0$，因此y是x的一次函数，不是正比例函数。
【答案】
(1) $y=2.5x$，y是x的一次函数，且是正比例函数；
(2) $y=120-40x$，y是x的一次函数，y不是x的正比例函数。
【知识点】
列实际问题的函数关系式；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础题型，解题关键是准确梳理实际情境中的等量关系，牢记一次函数与正比例函数的定义特征，注意正比例函数是常数项为0的特殊一次函数，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0两个要求。
【难度系数】
0.8
7. [2026上海期中] 下列说法中正确的有 （
①$y=kx$是正比例函数；
②如果$y=(a+3)x+a^2-9$是正比例函数，那么$a=\pm3$；
③如果$y$与$x+2$成正比例，那么$y$是$x$的正比例函数；
④如果$y=\frac{1}{3}x^2$，那么$y$与$x^2$成正比例；
⑤一次函数是正比例函数。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）①$y=kx$是正比例函数；
②如果$y=(a+3)x+a^2-9$是正比例函数，那么$a=\pm3$；
③如果$y$与$x+2$成正比例，那么$y$是$x$的正比例函数；
④如果$y=\frac{1}{3}x^2$，那么$y$与$x^2$成正比例；
⑤一次函数是正比例函数。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7. A
解析
【分析】
本题考查正比例函数、一次函数的定义及判定，解题思路为：首先明确正比例函数的核心定义：形如$y=kx$（$k$为常数且$k\ne 0$）的函数是正比例函数；一次函数的定义为形如$y=kx+b$（$k,b$为常数且$k\ne 0$），正比例函数是特殊的一次函数（即$b=0$的一次函数）。接下来逐一判断5个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①$y=kx$是正比例函数：正比例函数要求比例系数$k\ne 0$，该说法未说明$k\ne 0$，若$k=0$时$y=0$不是正比例函数，故①错误；
②若$y=(a+3)x+a^2-9$是正比例函数，需同时满足两个条件：一是$x$的系数不为0，即$a+3\ne 0$，二是常数项为0，即$a^2-9=0$。解$a^2-9=0$得$a=\pm3$，结合$a+3\ne 0$得$a\ne -3$，故$a=3$，不是$a=\pm3$，故②错误；
③若$y$与$x+2$成正比例，可设$y=k(x+2)=kx+2k$（$k\ne 0$），当$k\ne 0$时，常数项$2k$不一定为0，此时$y$是$x$的一次函数，不一定是正比例函数，故③错误；
④若$y=\frac{1}{3}x^2$，可得$\frac{y}{x^2}=\frac{1}{3}$（定值），符合正比例的定义，故$y$与$x^2$成正比例，④正确；
⑤一次函数的形式为$y=kx+b$（$k\ne 0$），只有当$b=0$时才是正比例函数，故一次函数不一定是正比例函数，⑤错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义，一次函数与正比例函数的关系，正比例函数的判定
【点评】
本题侧重考察函数定义的细节限制，易错点为忽略正比例函数中比例系数不为0的前提，或混淆一次函数和正比例函数的包含关系，解题时需紧扣定义要点逐一排查，避免因遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.6
本题考查正比例函数、一次函数的定义及判定，解题思路为：首先明确正比例函数的核心定义：形如$y=kx$（$k$为常数且$k\ne 0$）的函数是正比例函数；一次函数的定义为形如$y=kx+b$（$k,b$为常数且$k\ne 0$），正比例函数是特殊的一次函数（即$b=0$的一次函数）。接下来逐一判断5个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①$y=kx$是正比例函数：正比例函数要求比例系数$k\ne 0$，该说法未说明$k\ne 0$，若$k=0$时$y=0$不是正比例函数，故①错误；
②若$y=(a+3)x+a^2-9$是正比例函数，需同时满足两个条件：一是$x$的系数不为0，即$a+3\ne 0$，二是常数项为0，即$a^2-9=0$。解$a^2-9=0$得$a=\pm3$，结合$a+3\ne 0$得$a\ne -3$，故$a=3$，不是$a=\pm3$，故②错误；
③若$y$与$x+2$成正比例，可设$y=k(x+2)=kx+2k$（$k\ne 0$），当$k\ne 0$时，常数项$2k$不一定为0，此时$y$是$x$的一次函数，不一定是正比例函数，故③错误；
④若$y=\frac{1}{3}x^2$，可得$\frac{y}{x^2}=\frac{1}{3}$（定值），符合正比例的定义，故$y$与$x^2$成正比例，④正确；
⑤一次函数的形式为$y=kx+b$（$k\ne 0$），只有当$b=0$时才是正比例函数，故一次函数不一定是正比例函数，⑤错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义，一次函数与正比例函数的关系，正比例函数的判定
【点评】
本题侧重考察函数定义的细节限制，易错点为忽略正比例函数中比例系数不为0的前提，或混淆一次函数和正比例函数的包含关系，解题时需紧扣定义要点逐一排查，避免因遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.6
8. 中华传统文化燕几图 如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为$x$尺，长桌的长为$y$尺，则$y$与$x$的关系可以表示为 （
A.$y=3x$
B.$y=4x$
C.$y=3x+1$
D.$y=4x+1$
B
）A.$y=3x$
B.$y=4x$
C.$y=3x+1$
D.$y=4x+1$
答案
8. B 【点拨】由题图可知,“回文”的桌面的总面积为 $4x · (x+y)$,其中每张长桌的桌面面积为 $xy$,每张中桌的桌面面积为 $3x^2$,每张小桌的桌面面积为 $2x^2$.根据题意,得 $2xy+2×3x^2+3×2x^2=4x(x+y)$,整理,得 $y=4x$。
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用拼接图形“总面积等于各部分面积之和”的等量关系建立方程。首先我们需要分别表示出7张桌子的总面积，以及拼接后“回文”大矩形的总面积，再令二者相等，通过化简整理就能得到y与x的关系式。第一步先明确各张桌子的面积：所有桌子宽都是x，长桌长为y，所以长桌面积为xy；结合拼接图形的边长特征，可得中桌面积为3x²，小桌面积为2x²；第二步表示拼接后大矩形的长和宽，计算其总面积；第三步列方程、化简得到结果。
【解析】
解：由拼接前后总面积相等可得：
7张桌子的总面积 = 拼接后“回文”图形的总面积
其中，2张长桌总面积为$2xy$，2张中桌总面积为$2×3x^2$，3张小桌总面积为$3×2x^2$；
拼接后的大矩形一边长为$(x+y)$，另一边长为$4x$，总面积为$4x(x+y)$。
据此列方程：
$2xy + 2×3x^2 + 3×2x^2 = 4x(x+y)$
化简左边得：$2xy +6x^2 +6x^2 = 2xy +12x^2$
化简右边得：$4x^2 +4xy$
移项合并同类项得：$8x^2 = 2xy$
由于桌面宽度$x≠0$，等式两边同时除以$2x$，最终得$y=4x$。
【答案】
B
【知识点】
面积法应用、整式运算、函数关系式建立
【点评】
本题以中华传统“燕几图”为背景，将几何拼接知识和代数运算结合，既考查了学生对等量关系的提取能力，也渗透了传统文化常识，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是利用拼接图形“总面积等于各部分面积之和”的等量关系建立方程。首先我们需要分别表示出7张桌子的总面积，以及拼接后“回文”大矩形的总面积，再令二者相等，通过化简整理就能得到y与x的关系式。第一步先明确各张桌子的面积：所有桌子宽都是x，长桌长为y，所以长桌面积为xy；结合拼接图形的边长特征，可得中桌面积为3x²，小桌面积为2x²；第二步表示拼接后大矩形的长和宽，计算其总面积；第三步列方程、化简得到结果。
【解析】
解：由拼接前后总面积相等可得：
7张桌子的总面积 = 拼接后“回文”图形的总面积
其中，2张长桌总面积为$2xy$，2张中桌总面积为$2×3x^2$，3张小桌总面积为$3×2x^2$；
拼接后的大矩形一边长为$(x+y)$，另一边长为$4x$，总面积为$4x(x+y)$。
据此列方程：
$2xy + 2×3x^2 + 3×2x^2 = 4x(x+y)$
化简左边得：$2xy +6x^2 +6x^2 = 2xy +12x^2$
化简右边得：$4x^2 +4xy$
移项合并同类项得：$8x^2 = 2xy$
由于桌面宽度$x≠0$，等式两边同时除以$2x$，最终得$y=4x$。
【答案】
B
【知识点】
面积法应用、整式运算、函数关系式建立
【点评】
本题以中华传统“燕几图”为背景，将几何拼接知识和代数运算结合，既考查了学生对等量关系的提取能力，也渗透了传统文化常识，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
9. 新题型新定义题 定义$[p,q]$为一次函数$y=px+q$的特征数，即一次函数$y=2x+1$的特征数为$[2,1]$，若特征数为$[t,t+3]$的一次函数为正比例函数，则$t$的值为
-3
。答案
9. -3
解析
【分析】
首先根据题目给出的“特征数”的新定义，先写出特征数为$[t,t+3]$对应的一次函数解析式；再回忆正比例函数的定义：正比例函数是形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数，即常数项为0、一次项系数不为0，据此列方程求解即可得到$t$的值。
【解析】
解：根据特征数的定义，特征数为$[t,t+3]$的一次函数解析式为：
$y = tx + (t+3)$
∵ 该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，常数项为0，且一次项系数不为0，
∴ 可得$t+3=0$，且$t\ne0$
解得$t=-3$，此时$t=-3\ne0$，符合要求。
【答案】
-3
【知识点】
新定义理解，正比例函数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是新定义类基础题，解题的核心是准确将新定义的“特征数”转化为熟悉的一次函数表达式，再结合正比例函数的性质列方程计算，侧重考查对基础概念的掌握和信息转化能力。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的“特征数”的新定义，先写出特征数为$[t,t+3]$对应的一次函数解析式；再回忆正比例函数的定义：正比例函数是形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数，即常数项为0、一次项系数不为0，据此列方程求解即可得到$t$的值。
【解析】
解：根据特征数的定义，特征数为$[t,t+3]$的一次函数解析式为：
$y = tx + (t+3)$
∵ 该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，常数项为0，且一次项系数不为0，
∴ 可得$t+3=0$，且$t\ne0$
解得$t=-3$，此时$t=-3\ne0$，符合要求。
【答案】
-3
【知识点】
新定义理解，正比例函数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是新定义类基础题，解题的核心是准确将新定义的“特征数”转化为熟悉的一次函数表达式，再结合正比例函数的性质列方程计算，侧重考查对基础概念的掌握和信息转化能力。
【难度系数】
0.8
