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1. 一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，这个函数的函数表达式为（
A.$y=2x+4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-2x+4$
D.$y=-2x-4$
C
）A.$y=2x+4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-2x+4$
D.$y=-2x-4$
答案
1. C
解析
【分析】
要确定一次函数的表达式，常用方法是待定系数法，解题思路如下：1. 先从图像中提取出函数经过的两个点的坐标；2. 将两个点的坐标代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组；3. 解方程组求出$k$、$b$的取值，即可得到函数表达式。也可以结合一次函数的图像性质，先判断$k$、$b$的符号，排除错误选项，提高解题速度。
【解析】
方法一：待定系数法
由图像可知，一次函数$y=kx+b$经过点$(1,2)$和$(2,0)$，将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 2k + b = 0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k=-2$
将$k=-2$代入$k + b = 2$，得：$-2 + b = 2$，解得$b=4$
因此该一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
方法二：排除法
一次函数图像从左到右下降，说明$y$随$x$的增大而减小，因此$k＜0$，选项A、B中$k=2＞0$，直接排除A、B；
一次函数图像与$y$轴交于正半轴，说明截距$b＞0$，选项D中$b=-4＜0$，排除D。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数图像性质；二元一次方程组解法
【点评】
本题属于一次函数基础考题，两种解题方法都需要熟练掌握，其中待定系数法是求函数解析式的核心通用方法，结合图像性质排除错误选项的技巧可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数的表达式，常用方法是待定系数法，解题思路如下：1. 先从图像中提取出函数经过的两个点的坐标；2. 将两个点的坐标代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组；3. 解方程组求出$k$、$b$的取值，即可得到函数表达式。也可以结合一次函数的图像性质，先判断$k$、$b$的符号，排除错误选项，提高解题速度。
【解析】
方法一：待定系数法
由图像可知，一次函数$y=kx+b$经过点$(1,2)$和$(2,0)$，将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 2k + b = 0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k=-2$
将$k=-2$代入$k + b = 2$，得：$-2 + b = 2$，解得$b=4$
因此该一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
方法二：排除法
一次函数图像从左到右下降，说明$y$随$x$的增大而减小，因此$k＜0$，选项A、B中$k=2＞0$，直接排除A、B；
一次函数图像与$y$轴交于正半轴，说明截距$b＞0$，选项D中$b=-4＜0$，排除D。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数图像性质；二元一次方程组解法
【点评】
本题属于一次函数基础考题，两种解题方法都需要熟练掌握，其中待定系数法是求函数解析式的核心通用方法，结合图像性质排除错误选项的技巧可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. [2026 苏州期中] 直线$l$与直线$y=\frac{1-2x}{3}$平行，且与$y$轴的交点和直线$y=3x+5$与$y$轴的交点为同一点，则$l$的表达式为
$y=-\frac{2x}{3}+5$
。答案
2. $y=-\frac{2x}{3}+5$ 【点拨】因为直线$l$与直线$y=\frac{1-2x}{3}=-\frac{2x}{3}+\frac{1}{3}$平行,所以设直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2x}{3}+b$. 对于$y=3x+5$,当$x=0$时,$y=5$,所以直线$y=3x+5$与$y$轴的交点为$(0,5)$. 所以直线$l$过点$(0,5)$. 把点$(0,5)$的坐标代入$y=-\frac{2x}{3}+b$,得$b=5$. 所以直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2x}{3}+5$.
解析
【分析】
解这道题可按两个核心步骤思考：第一步，利用两直线平行的性质确定待求直线的斜率k：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，互相平行的直线k值相等，先把已知平行直线整理为斜截式得到k值，即可设出直线l的解析式；第二步，确定直线l的截距b：一次函数与y轴的交点是x=0时对应的y值，先求出直线$y=3x+5$与y轴的交点坐标，代入所设解析式就能算出b的值，最终得到直线l的表达式。
【解析】
1. 先化简已知平行直线的解析式：
将$y=\frac{1-2x}{3}$整理为斜截式，得$y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$。
因为直线l与该直线平行，所以直线l的斜率$k=-\frac{2}{3}$，设直线l的表达式为$y=-\frac{2}{3}x + b$。
2. 求直线$y=3x+5$与y轴的交点：
当$x=0$时，$y=3×0 +5=5$，因此该直线与y轴的交点为$(0,5)$。
3. 代入求b：
由题意可知直线l过点$(0,5)$，将$x=0,y=5$代入$y=-\frac{2}{3}x + b$，得$5=b$，即$b=5$。
综上，直线l的表达式为$y=-\frac{2}{3}x +5$。
【答案】
$y=-\frac{2x}{3}+5$
【知识点】
一次函数的性质；两直线平行的特征；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题关键是掌握两个核心规律：一是互相平行的一次函数斜率k相等，二是一次函数与y轴交点的纵坐标就是解析式的常数项b，熟练运用待定系数法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解这道题可按两个核心步骤思考：第一步，利用两直线平行的性质确定待求直线的斜率k：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，互相平行的直线k值相等，先把已知平行直线整理为斜截式得到k值，即可设出直线l的解析式；第二步，确定直线l的截距b：一次函数与y轴的交点是x=0时对应的y值，先求出直线$y=3x+5$与y轴的交点坐标，代入所设解析式就能算出b的值，最终得到直线l的表达式。
【解析】
1. 先化简已知平行直线的解析式：
将$y=\frac{1-2x}{3}$整理为斜截式，得$y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$。
因为直线l与该直线平行，所以直线l的斜率$k=-\frac{2}{3}$，设直线l的表达式为$y=-\frac{2}{3}x + b$。
2. 求直线$y=3x+5$与y轴的交点：
当$x=0$时，$y=3×0 +5=5$，因此该直线与y轴的交点为$(0,5)$。
3. 代入求b：
由题意可知直线l过点$(0,5)$，将$x=0,y=5$代入$y=-\frac{2}{3}x + b$，得$5=b$，即$b=5$。
综上，直线l的表达式为$y=-\frac{2}{3}x +5$。
【答案】
$y=-\frac{2x}{3}+5$
【知识点】
一次函数的性质；两直线平行的特征；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题关键是掌握两个核心规律：一是互相平行的一次函数斜率k相等，二是一次函数与y轴交点的纵坐标就是解析式的常数项b，熟练运用待定系数法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知直线 $ l_1: y=2x+1 $ 与直线 $ l_2: y=kx+b $ 相交于点 $ A(1,m) $，直线 $ l_2 $ 经过点 $ B(-1,-5) $。
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 求直线 $ l_2 $ 的表达式；
(3) 求两条直线与 $ y $ 轴围成的三角形的面积。
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 求直线 $ l_2 $ 的表达式；
(3) 求两条直线与 $ y $ 轴围成的三角形的面积。
答案
3. 【解】(1) 因为 $ A(1,m) $ 在直线 $ l_1: y=2x+1 $ 上,所以 $ m=2×1+1=3 $,则 $ m $ 的值为 3.
(2) 因为 $ m=3 $,所以 $ A(1,3) $.
因为直线 $ l_2 $ 经过点 $ A(1,3) $ 和 $ B(-1,-5) $,
所以 $ \begin{cases}k+b=3,\\-k+b=-5,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}k=4,\\b=-1,\end{cases} $
所以直线 $ l_2 $ 的表达式为 $ y=4x-1 $.
(3) 如图,$ l_1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,$ l_2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ D $,
对于 $ l_1: y=2x+1 $,当 $ x=0 $ 时,
$ y=1 $,则 $ C(0,1) $.
对于 $ l_2: y=4x-1 $,当 $ x=0 $ 时,
$ y=-1 $,则 $ D(0,-1) $.
所以 $ CD=2 $.
又因为 $ A(1,3) $,
所以 $ S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×2×|x_A|=\frac{1}{2}×2×1=1 $,
则两条直线与 $ y $ 轴围成的三角形的面积为 1.
解析
【分析】
(1) 若点在某条直线上，则点的坐标满足该直线的解析式，因此将点A的横坐标代入直线$l_1$的解析式，即可求出$m$的值；
(2) 求一次函数解析式使用待定系数法：已知直线$l_2$经过A、B两点，先由第一问得到A的完整坐标，再将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值，进而得到$l_2$的表达式；
(3) 要求两条直线与$y$轴围成的三角形面积，首先找到两条直线分别与$y$轴的交点，计算两个交点的距离作为三角形的底，交点A的横坐标的绝对值作为三角形的高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 因为$ A(1,m) $在直线$ l_1: y=2x+1 $上，将$x=1$代入解析式得：
$m=2×1+1=3$，即$m$的值为3。
(2) 由(1)可知$ A(1,3) $，因为直线$ l_2 $经过点$ A(1,3) $和$ B(-1,-5) $，将两点坐标代入$y=kx+b$得：
$ \begin{cases}k+b=3\\-k+b=-5\end{cases} $
两式相减得$2k=8$，解得$k=4$，将$k=4$代入$k+b=3$得$b=-1$，
所以直线$ l_2 $的表达式为$ y=4x-1 $。
(3) $ l_1 $与$ y $轴交于点$ C $，$ l_2 $与$ y $轴交于点$ D $：
对于$ l_1: y=2x+1 $，当$ x=0 $时，$ y=1 $，则$ C(0,1) $；
对于$ l_2: y=4x-1 $，当$ x=0 $时，$ y=-1 $，则$ D(0,-1) $。
所以$ CD=|1-(-1)|=2 $，又因为$ A(1,3) $，$△ ACD$中$CD$边上的高为点A的横坐标的绝对值，
所以$ S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×CD×|x_A|=\frac{1}{2}×2×1=1 $。
【答案】
(1) $m$的值为3；
(2) 直线$l_2$的表达式为$y=4x-1$；
(3) 两条直线与$y$轴围成的三角形的面积为1。
【知识点】
一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，依次考查点坐标与解析式的对应关系、待定系数法求函数解析式、函数与几何结合的面积计算，解题时需要理清各步骤的逻辑关联，注意计算准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 若点在某条直线上，则点的坐标满足该直线的解析式，因此将点A的横坐标代入直线$l_1$的解析式，即可求出$m$的值；
(2) 求一次函数解析式使用待定系数法：已知直线$l_2$经过A、B两点，先由第一问得到A的完整坐标，再将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值，进而得到$l_2$的表达式；
(3) 要求两条直线与$y$轴围成的三角形面积，首先找到两条直线分别与$y$轴的交点，计算两个交点的距离作为三角形的底，交点A的横坐标的绝对值作为三角形的高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 因为$ A(1,m) $在直线$ l_1: y=2x+1 $上，将$x=1$代入解析式得：
$m=2×1+1=3$，即$m$的值为3。
(2) 由(1)可知$ A(1,3) $，因为直线$ l_2 $经过点$ A(1,3) $和$ B(-1,-5) $，将两点坐标代入$y=kx+b$得：
$ \begin{cases}k+b=3\\-k+b=-5\end{cases} $
两式相减得$2k=8$，解得$k=4$，将$k=4$代入$k+b=3$得$b=-1$，
所以直线$ l_2 $的表达式为$ y=4x-1 $。
(3) $ l_1 $与$ y $轴交于点$ C $，$ l_2 $与$ y $轴交于点$ D $：
对于$ l_1: y=2x+1 $，当$ x=0 $时，$ y=1 $，则$ C(0,1) $；
对于$ l_2: y=4x-1 $，当$ x=0 $时，$ y=-1 $，则$ D(0,-1) $。
所以$ CD=|1-(-1)|=2 $，又因为$ A(1,3) $，$△ ACD$中$CD$边上的高为点A的横坐标的绝对值，
所以$ S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×CD×|x_A|=\frac{1}{2}×2×1=1 $。
【答案】
(1) $m$的值为3；
(2) 直线$l_2$的表达式为$y=4x-1$；
(3) 两条直线与$y$轴围成的三角形的面积为1。
【知识点】
一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，依次考查点坐标与解析式的对应关系、待定系数法求函数解析式、函数与几何结合的面积计算，解题时需要理清各步骤的逻辑关联，注意计算准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. 母题 教材P₁₃₂习题T5 秤是我国传统的计重工具，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数，下表中为若干次称重时所记录的一些数据。则当秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为
10
厘米。答案
4. 10
解析
【分析】
题目明确y是x的一次函数，我们可先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值即可确定函数表达式，最后将$y=6.9$代入表达式，求解得到的x值就是所求的水平距离。
【解析】
设y关于x的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中$x=1,y=0.6$和$x=2,y=1.3$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 0.6 \\2k + b = 1.3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=0.7$，
将$k=0.7$代入$k + b = 0.6$，得$0.7 + b = 0.6$，解得$b=-0.1$，
所以一次函数解析式为$y=0.7x - 0.1$。
验证：将表格中其余x值代入解析式，所得y值均与表格数据一致，解析式正确。
当$y=6.9$时，代入解析式得：
$6.9 = 0.7x - 0.1$
移项得$0.7x = 7$，解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的称重场景考查一次函数的应用，核心解题方法是待定系数法，需要先求出函数解析式再代入目标值求解，解题时要注意验证所求解析式是否符合所有已知数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
题目明确y是x的一次函数，我们可先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值即可确定函数表达式，最后将$y=6.9$代入表达式，求解得到的x值就是所求的水平距离。
【解析】
设y关于x的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中$x=1,y=0.6$和$x=2,y=1.3$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 0.6 \\2k + b = 1.3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=0.7$，
将$k=0.7$代入$k + b = 0.6$，得$0.7 + b = 0.6$，解得$b=-0.1$，
所以一次函数解析式为$y=0.7x - 0.1$。
验证：将表格中其余x值代入解析式，所得y值均与表格数据一致，解析式正确。
当$y=6.9$时，代入解析式得：
$6.9 = 0.7x - 0.1$
移项得$0.7x = 7$，解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的称重场景考查一次函数的应用，核心解题方法是待定系数法，需要先求出函数解析式再代入目标值求解，解题时要注意验证所求解析式是否符合所有已知数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5.如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A港出发到B港的行驶过程中，路程$y(\mathrm{km})$随时间$t(\mathrm{h})$变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船？（
A.1.5 h
B.2 h
C.2.5 h
D.3.5 h
B
）A.1.5 h
B.2 h
C.2.5 h
D.3.5 h
答案
5. B 【点拨】设 $ y_甲=kt $,将 $ (8,160) $ 代入得 $ 160=8k $,解得 $ k=20 $,所以 $ y_甲=20t(0≤ t≤8) $. 设 $ y_乙=at+b $,将 $ (2,0) $,$ (6,160) $ 代入得 $ \begin{cases}0=2a+b,\\160=6a+b,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=40,\\b=-80,\end{cases} $ 所以 $ y_乙=40t-80(2≤ t≤6) $. 联立得 $ \begin{cases}y=2t,\\y=40t-80,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}t=4,\\y=80,\end{cases} $ 所以乙船出发 $ 4-2=2(\mathrm{h}) $ 赶上甲船.
解析
【分析】
要解决乙船出发多久追上甲船的问题，本质是求两船行驶路程相等的时刻，对应图像就是两个一次函数交点的横坐标。首先用待定系数法分别求出甲、乙两船路程y随时间t变化的函数解析式，再联立两个解析式求出相遇时的总时间t，最后减去乙船晚出发的2小时，就能得到乙船出发后追上甲船的时间。
【解析】
解：①求甲船的函数解析式：
设甲船的路程函数为$ y_甲 = kt $（$ k≠0 $），由图像可知甲船过点$ (8,160) $，代入得：
$ 160 = 8k $，解得$ k=20 $，因此$ y_甲 = 20t $（$ 0≤ t≤8 $）。
②求乙船的函数解析式：
设乙船的路程函数为$ y_乙 = at + b $（$ a≠0 $），由图像可知乙船过点$ (2,0) $和$ (6,160) $，代入两点得方程组：
$\begin{cases}0 = 2a + b \\160 = 6a + b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$ 160=4a $，解得$ a=40 $，将$ a=40 $代入$ 0=2a+b $得$ b=-80 $，因此$ y_乙 = 40t - 80 $（$ 2≤ t≤6 $）。
③求相遇时间：
乙船追上甲船时两船路程相等，即$ y_甲 = y_乙 $，联立得：
$\begin{cases}y = 20t \\y = 40t - 80\end{cases}$
解得$ t=4 $，即总时间4小时时两船相遇。
乙船第2小时才出发，因此乙船出发后追上甲船的时间为$ 4 - 2 = 2(\mathrm{h}) $。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数图像上点的实际意义，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，注意乙船晚出发2小时，需用相遇总时间减去晚出发的时间得到结果，避免直接用交点时间作答出错。
【难度系数】
0.7
要解决乙船出发多久追上甲船的问题，本质是求两船行驶路程相等的时刻，对应图像就是两个一次函数交点的横坐标。首先用待定系数法分别求出甲、乙两船路程y随时间t变化的函数解析式，再联立两个解析式求出相遇时的总时间t，最后减去乙船晚出发的2小时，就能得到乙船出发后追上甲船的时间。
【解析】
解：①求甲船的函数解析式：
设甲船的路程函数为$ y_甲 = kt $（$ k≠0 $），由图像可知甲船过点$ (8,160) $，代入得：
$ 160 = 8k $，解得$ k=20 $，因此$ y_甲 = 20t $（$ 0≤ t≤8 $）。
②求乙船的函数解析式：
设乙船的路程函数为$ y_乙 = at + b $（$ a≠0 $），由图像可知乙船过点$ (2,0) $和$ (6,160) $，代入两点得方程组：
$\begin{cases}0 = 2a + b \\160 = 6a + b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$ 160=4a $，解得$ a=40 $，将$ a=40 $代入$ 0=2a+b $得$ b=-80 $，因此$ y_乙 = 40t - 80 $（$ 2≤ t≤6 $）。
③求相遇时间：
乙船追上甲船时两船路程相等，即$ y_甲 = y_乙 $，联立得：
$\begin{cases}y = 20t \\y = 40t - 80\end{cases}$
解得$ t=4 $，即总时间4小时时两船相遇。
乙船第2小时才出发，因此乙船出发后追上甲船的时间为$ 4 - 2 = 2(\mathrm{h}) $。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数图像上点的实际意义，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，注意乙船晚出发2小时，需用相遇总时间减去晚出发的时间得到结果，避免直接用交点时间作答出错。
【难度系数】
0.7
6.某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y(万元)与生产数量x(吨)之间是一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量.
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量.
答案
6. 【解】(1)设 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式是 $ y=kx+b $.
因为点 $ (20,6) $,$ (28,5.6) $ 在该函数图象上,
所以 $ \begin{cases}20k+b=6,\\28k+b=5.6,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}k=-0.05,\\b=7,\end{cases} $
即 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式是 $ y=-0.05x+7 $.
(2)当 $ y=4.8 $ 时,$ 4.8=-0.05x+7 $,解得 $ x=44 $.
答:该产品的生产数量是 44 吨.
因为点 $ (20,6) $,$ (28,5.6) $ 在该函数图象上,
所以 $ \begin{cases}20k+b=6,\\28k+b=5.6,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}k=-0.05,\\b=7,\end{cases} $
即 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式是 $ y=-0.05x+7 $.
(2)当 $ y=4.8 $ 时,$ 4.8=-0.05x+7 $,解得 $ x=44 $.
答:该产品的生产数量是 44 吨.
解析
【分析】
（1）题目明确每吨成本y和生产数量x是一次函数关系，求解一次函数表达式我们通常用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$，再从函数图象中找到两个已知点的坐标$(20,6)$和$(28,5.6)$，将两点坐标代入所设解析式，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值，再结合题目给出的x的取值范围，即可得到完整的函数表达式。
（2）已知成本y=4.8万元，要求对应的生产数量x，只需将y=4.8代入第一问求出的函数解析式，转化为关于x的一元一次方程，求解后验证x是否在20~60的合理范围内即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，$20≤ x≤60$）。
将点$(20,6)$、$(28,5.6)$代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}20k+b=6\\28k+b=5.6\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$8k=-0.4$，解得$k=-0.05$。
把$k=-0.05$代入$20k+b=6$，得$20×(-0.05)+b=6$，解得$b=7$。
因此y关于x的函数表达式为$y=-0.05x+7$（$20≤ x≤60$）。
(2) 当每吨成本$y=4.8$时，代入上述函数表达式得：
$4.8=-0.05x+7$
移项计算得$0.05x=7-4.8=2.2$，解得$x=44$。
经检验，$44$在$20≤ x≤60$的取值范围内，符合题意。
【答案】
(1) $y=-0.05x+7\ (20≤ x≤60)$
(2) 44吨
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在实际生产场景的基础应用题，解题核心是掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，再根据函数值求解对应自变量，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免得到不符合要求的结果。
【难度系数】
0.8
（1）题目明确每吨成本y和生产数量x是一次函数关系，求解一次函数表达式我们通常用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$，再从函数图象中找到两个已知点的坐标$(20,6)$和$(28,5.6)$，将两点坐标代入所设解析式，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值，再结合题目给出的x的取值范围，即可得到完整的函数表达式。
（2）已知成本y=4.8万元，要求对应的生产数量x，只需将y=4.8代入第一问求出的函数解析式，转化为关于x的一元一次方程，求解后验证x是否在20~60的合理范围内即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，$20≤ x≤60$）。
将点$(20,6)$、$(28,5.6)$代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}20k+b=6\\28k+b=5.6\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$8k=-0.4$，解得$k=-0.05$。
把$k=-0.05$代入$20k+b=6$，得$20×(-0.05)+b=6$，解得$b=7$。
因此y关于x的函数表达式为$y=-0.05x+7$（$20≤ x≤60$）。
(2) 当每吨成本$y=4.8$时，代入上述函数表达式得：
$4.8=-0.05x+7$
移项计算得$0.05x=7-4.8=2.2$，解得$x=44$。
经检验，$44$在$20≤ x≤60$的取值范围内，符合题意。
【答案】
(1) $y=-0.05x+7\ (20≤ x≤60)$
(2) 44吨
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在实际生产场景的基础应用题，解题核心是掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，再根据函数值求解对应自变量，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免得到不符合要求的结果。
【难度系数】
0.8
7. 新考法 分类讨论法 对于一次函数$y=kx+b$，当$-3≤ x≤1$时，$-1≤ y≤7$，则$k$的值为 （
A.2
B.$-2$
C.2或5
D.2或$-2$
D
）A.2
B.$-2$
C.2或5
D.2或$-2$
答案
7. D 【点拨】由一次函数的性质知,当 $ k＞0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,所以 $ \begin{cases}-3k+b=-1,\\k+b=7,\end{cases} $ 解得 $ k=2 $;当 $ k＜0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,所以 $ \begin{cases}-3k+b=7,\\k+b=-1,\end{cases} $ 解得 $ k=-2 $. 所以 $ k $ 的值为 2 或 $ -2 $.
解析
【分析】
一次函数的增减性由系数k的符号决定，本题未明确k的正负，因此需分k＞0和k＜0两种情况讨论：当k＞0时，y随x的增大而增大，x取最小值时y最小、x取最大值时y最大；当k＜0时，y随x的增大而减小，x取最小值时y最大、x取最大值时y最小。分别将对应x、y的取值代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解即可得到k的值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=-3$时$y=-1$，$x=1$时$y=7$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k+b=-1\\k+b=7\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$。
② 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=-3$时$y=7$，$x=1$时$y=-1$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k+b=7\\k+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=-8$，解得$k=-2$。
综上，$k$的值为2或$-2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数的典型考法，解题核心是根据k的正负判断函数的增减性，分情况代入对应数值求解，注意不要因漏解导致错误。
【难度系数】
0.7
一次函数的增减性由系数k的符号决定，本题未明确k的正负，因此需分k＞0和k＜0两种情况讨论：当k＞0时，y随x的增大而增大，x取最小值时y最小、x取最大值时y最大；当k＜0时，y随x的增大而减小，x取最小值时y最大、x取最大值时y最小。分别将对应x、y的取值代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解即可得到k的值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=-3$时$y=-1$，$x=1$时$y=7$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k+b=-1\\k+b=7\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$。
② 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=-3$时$y=7$，$x=1$时$y=-1$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k+b=7\\k+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=-8$，解得$k=-2$。
综上，$k$的值为2或$-2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数的典型考法，解题核心是根据k的正负判断函数的增减性，分情况代入对应数值求解，注意不要因漏解导致错误。
【难度系数】
0.7
8. ★★ 一题多解 如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-x+3$与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，一束光从点$C(2,0)$发出，射向$y$轴上的点$D(0,1)$，经点$D$反射后经过$AB$上一点$E$，则点$E$的坐标是（
A.$(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$
B.$(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$
C.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$
D.$(\dfrac{5}{3},\dfrac{4}{3})$
B
）A.$(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$
B.$(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$
C.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$
D.$(\dfrac{5}{3},\dfrac{4}{3})$
答案
8. B 【点拨】方法 1:作点 $ C $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ C' $,连接 $ C'D $,则 $ C' $ 的坐标为 $ (-2,0) $. 由光的反射定律可知,反射光线 $ DE $ 所在的直线必过点 $ C' $,由 $ C'(-2,0) $,$ D(0,1) $,得直线 $ DE $ 函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x+1 $,联立得 $ \begin{cases}y=\frac{1}{2}x+1,\\y=-x+3,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\frac{4}{3},\\y=\frac{5}{3},\end{cases} $ 所以 $ E(\frac{4}{3},\frac{5}{3}) $.
方法 2:在 $ D $ 上方取点 $ F $,使 $ DF=OD=1 $,过 $ F $ 作 $ FG⊥ y $ 轴交 $ DE $ 的延长线于 $ G $,如图,
由反射定律可得,$ ∠ EDF=∠ CDO $.
又因为 $ OD=DF $,$ ∠ DFG=90°=∠ AOD $,
所以 $ △ FDG≌△ ODC(\mathrm{ASA}) $,所以 $ FG=OC=2 $,
所以 $ G(2,2) $. 由 $ G(2,2) $,$ D(0,1) $,得直线 $ DG $ 的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x+1 $,联立得 $ \begin{cases}y=\frac{1}{2}x+1,\\y=-x+3,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\frac{4}{3},\\y=\frac{5}{3},\end{cases} $ 所以 $ E(\frac{4}{3},\frac{5}{3}) $. 故选 B.
解析
【分析】
本题是光线反射与一次函数结合的综合题，解题思路如下：首先根据光的反射定律，反射光线与入射光线关于反射面（y轴）对称，因此先找到光源点C关于y轴的对称点C'，反射光线DE所在直线必然经过C'；再利用待定系数法，结合C'和D的坐标求出反射光线DE的函数解析式；最后联立DE与直线AB的解析式，解二元一次方程组得到的解就是交点E的坐标。
【解析】
1. 求点C关于y轴的对称点：
已知C(2,0)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此对称点$C'$的坐标为$(-2,0)$。
2. 确定反射光线经过的点：
根据光的反射定律，反射光线DE所在直线经过点$C'(-2,0)$。
3. 求直线DE的解析式：
设直线DE的解析式为$y=kx+b$，将$C'(-2,0)$、$D(0,1)$代入解析式：
把$x=0,y=1$代入得$b=1$；
把$b=1$、$x=-2,y=0$代入得$0=-2k+1$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线DE的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
4. 联立解析式求交点E：
已知直线AB的解析式为$y=-x+3$，联立得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+1\\y=-x+3\end{cases}$
消去y得：$\frac{1}{2}x+1=-x+3$，
移项合并同类项得：$\frac{3}{2}x=2$，解得$x=\frac{4}{3}$，
将$x=\frac{4}{3}$代入$y=-x+3$得$y=\frac{5}{3}$，
即点E的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{5}{3})$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，轴对称的性质
【点评】
本题结合光的反射原理考查一次函数的相关应用，解题关键是利用轴对称性质将反射问题转化为求两条直线交点的常规问题，既考查了一次函数解析式的求解技能，也考查了联立方程组求函数交点的能力，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题是光线反射与一次函数结合的综合题，解题思路如下：首先根据光的反射定律，反射光线与入射光线关于反射面（y轴）对称，因此先找到光源点C关于y轴的对称点C'，反射光线DE所在直线必然经过C'；再利用待定系数法，结合C'和D的坐标求出反射光线DE的函数解析式；最后联立DE与直线AB的解析式，解二元一次方程组得到的解就是交点E的坐标。
【解析】
1. 求点C关于y轴的对称点：
已知C(2,0)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此对称点$C'$的坐标为$(-2,0)$。
2. 确定反射光线经过的点：
根据光的反射定律，反射光线DE所在直线经过点$C'(-2,0)$。
3. 求直线DE的解析式：
设直线DE的解析式为$y=kx+b$，将$C'(-2,0)$、$D(0,1)$代入解析式：
把$x=0,y=1$代入得$b=1$；
把$b=1$、$x=-2,y=0$代入得$0=-2k+1$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线DE的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
4. 联立解析式求交点E：
已知直线AB的解析式为$y=-x+3$，联立得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+1\\y=-x+3\end{cases}$
消去y得：$\frac{1}{2}x+1=-x+3$，
移项合并同类项得：$\frac{3}{2}x=2$，解得$x=\frac{4}{3}$，
将$x=\frac{4}{3}$代入$y=-x+3$得$y=\frac{5}{3}$，
即点E的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{5}{3})$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，轴对称的性质
【点评】
本题结合光的反射原理考查一次函数的相关应用，解题关键是利用轴对称性质将反射问题转化为求两条直线交点的常规问题，既考查了一次函数解析式的求解技能，也考查了联立方程组求函数交点的能力，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
