1 在同一平面直角坐标系中，直线$y=4x+1$与直线$y=-x+b$的交点不可能在 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1. D

【分析】
解题思路：首先回忆一次函数的图像与k、b的对应关系，先确定已知直线$y=4x+1$经过的象限。因为两条直线的交点一定同时在两条直线上，所以交点不可能出现在$y=4x+1$不经过的象限，也可以通过联立两个函数解析式，求出交点坐标后结合各象限坐标的符号特征验证结论。
【解析】
步骤1：分析直线$y=4x+1$经过的象限
对于一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）：
当$k＞0$时，直线从左到右上升；当$c＞0$时，直线与y轴交于正半轴。
在$y=4x+1$中，$k=4＞0$，$c=1＞0$，因此该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
步骤2：分析交点的位置
两条直线的交点是同时满足两个函数解析式的点，因此交点一定在直线$y=4x+1$上，所以交点不可能出现在$y=4x+1$没有经过的第四象限。
补充验证：联立两个函数解析式$\begin{cases}y=4x+1\\y=-x+b\end{cases}$，解得交点坐标为$(\frac{b-1}{5},\frac{4b+1}{5})$。若交点在第四象限，需满足$\begin{cases}\frac{b-1}{5}＞0\\\frac{4b+1}{5}＜0\end{cases}$，即$\begin{cases}b＞1\\b＜-\frac{1}{4}\end{cases}$，该不等式组无解，因此不存在交点在第四象限的情况。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数的图像与象限
2. 一次函数交点的含义
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查一次函数中k、b的取值与函数图像经过象限的对应关系，无需复杂计算即可快速得出结论，也可通过联立方程解出交点坐标验证结果，侧重对基础性质的理解运用。
【难度系数】
0.8

2 方程$2x - y = 2$的解有组，用$x$表示$y$为，此时$y$是$x$的函数。

2. 无数，$y=2x-2$，一次

【分析】
首先思考二元一次方程解的特点：二元一次方程含有两个未知数，其中一个未知数取任意一个确定的值时，都能求出另一个未知数的对应值，因此解的组数是无数的；接下来用x表示y，只需把x看作已知数，通过移项、系数化为1的步骤解关于y的方程即可；最后根据一次函数的定义，判断变形后的表达式符合的函数类型。
【解析】
1. 解的组数判断：方程$2x-y=2$是二元一次方程，对于x的任意取值，都有唯一的y值与之对应，因此该方程的解有无数组。
2. 用x表示y：对原方程移项，得$-y=2-2x$，两边同时乘$-1$，可得$y=2x-2$。
3. 函数类型判断：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，$y=2x-2$符合一次函数的形式，因此y是x的一次函数。
【答案】
无数，$y=2x-2$，一次
【知识点】
二元一次方程的解，等式的变形，一次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，考查二元一次方程和一次函数的关联，只要掌握基础概念和等式的基本变形规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.85

3 [2024宿迁期末]表1、表2分别给出了两条直线$l_1:y=k_1x+b_1$与$l_2:y=k_2x+b_2$上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值.
表1

表2

则关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2 \end{cases}$的解是________.

3. $\begin{cases} x=-2 \\ y=-3 \end{cases}$

【分析】
首先明确一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，对应两个一次函数图像的交点坐标，该交点同时在两条直线上，所以它的横、纵坐标会同时出现在两条直线的点的对应值表中。因此我们只需对比两个表的x、y对应值，找到同时出现在两个表中的一组x、y，就是方程组的解。
【解析】
方程组$\begin{cases} y=k_1x+b_1 \\ y=k_2x+b_2 \end{cases}$的解就是直线$l_1$与$l_2$的交点坐标，该坐标的x、y值同时满足两个函数解析式，即同时属于两个表的对应值。对比两个表的数值可得，当x=-2时，两条直线对应的y值均为-3，即两直线交点为$(-2,-3)$，因此该坐标就是方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} x=-2 \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.一次函数图像上点的特征
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的内在联系，无需计算函数解析式，直接通过找两条直线的公共点坐标即可得到方程组的解，解题核心是理解函数图像交点与方程组解的对应关系。
【难度系数】
0.8

4 直线$y=2x-1$与直线$y=2x-3$的位置关系为________.由此可知，方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\2x - y = 3\end{cases}$的解的情况为________.

4. 平行，无解

【分析】
解题时先回忆一次函数图象的相关性质：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）中，k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴交点的纵坐标。第一步先对比两条直线的k和b的取值：若两条直线k值相等、b值不等，则两直线平行；第二步再结合一次函数与二元一次方程组的关系推导方程组解的情况：方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，若两直线平行无交点，则对应的方程组无解。
【解析】
1. 判断直线位置关系：
直线$y=2x-1$中，$k_1=2$，$b_1=-1$；
直线$y=2x-3$中，$k_2=2$，$b_2=-3$；
∵$k_1=k_2$且$b_1≠b_2$，
∴两条直线平行。
2. 判断方程组解的情况：
二元一次方程组的解对应组内两个方程对应的一次函数图象的公共点坐标，
∵两条直线平行，没有公共交点，
∴方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\2x - y = 3\end{cases}$无解。
【答案】
平行，无解
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与二元一次方程组的关系，两直线平行判定
【点评】
本题考查一次函数图象位置关系与对应二元一次方程组解的情况的关联，熟练掌握一次函数中k、b的几何意义是解题的核心。
【难度系数】
0.9

5 在平面直角坐标系中，O为坐标原点.若直线$y=x+3$分别与x轴、直线$y=-2x$交于点A，B，则$△ AOB$的面积为.

5. 3

【分析】
要计算△AOB的面积，首先需要确定点A、点B的坐标，O为坐标原点坐标为(0,0)。第一步先求点A的坐标：点A是直线$y=x+3$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，代入直线解析式即可求出A的坐标；第二步求点B的坐标：点B是两条直线的交点，联立两条直线的解析式组成二元一次方程组，解方程组就能得到B的坐标；第三步计算面积：观察△AOB的位置，边OA在x轴上，可将OA作为底边，长度为A点横坐标的绝对值，B点纵坐标的绝对值就是OA边上的高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 求点A的坐标：
直线$y=x+3$与x轴交于点A，x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，得：
$0=x+3$，解得$x=-3$
∴点A的坐标为$(-3,0)$，则$OA=|-3|=3$
2. 求点B的坐标：
点B是直线$y=x+3$与直线$y=-2x$的交点，联立两个解析式得方程组：
$\begin{cases} y=x+3 \\ y=-2x \end{cases}$
将$y=-2x$代入$y=x+3$，得：$-2x=x+3$
解得$x=-1$，把$x=-1$代入$y=-2x$，得$y=2$
∴点B的坐标为$(-1,2)$
3. 计算△AOB的面积：
△AOB以OA为底时，OA边上的高为点B到x轴的距离，即$|2|=2$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×3×2=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数交点求解、一次函数与坐标轴交点、坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题核心是准确求解一次函数的交点坐标，结合点坐标的几何意义选择简便的方法计算三角形面积，解题时需注意坐标转换为线段长度时要取绝对值。
【难度系数】
0.75

6 用图象法解下面的二元一次方程组：
(1) $\begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = 0; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x - 2y - 2 = 0, \\ 2x - 6y - 6 = 0. \end{cases}$

6. (1) 如图①，二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=\frac{4}{3}, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$
(2) 如图②，二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=-1 \end{cases}$

【分析】
用图象法解二元一次方程组的核心逻辑是：二元一次方程组的解对应组内两个方程所代表的一次函数图象的交点坐标。解题时先将方程组中每个二元一次方程变形为y=kx+b的一次函数形式，再在同一坐标系中画出两个函数的图象，最终读取交点的横、纵坐标，即可得到方程组的解。
(1) 先把两个方程分别转化为一次函数y=-2x+4和y=x，两直线交点就是解；
(2) 先把两个方程分别转化为一次函数$y=\frac{1}{2}x-1$和$y=\frac{1}{3}x-1$，两直线交点就是解。
【解析】
(1) 对方程组$\begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = 0; \end{cases}$变形：
对$2x+y=4$移项，得$y=-2x+4$；
对$x-y=0$移项，得$y=x$。
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，观察可得两直线交点坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$，即为方程组的解。
(2) 对方程组$\begin{cases} x - 2y - 2 = 0, \\ 2x - 6y - 6 = 0. \end{cases}$变形：
对$x-2y-2=0$移项得$2y=x-2$，两边除以2得$y=\frac{1}{2}x -1$；
对$2x-6y-6=0$两边先除以2得$x-3y-3=0$，移项得$3y=x-3$，两边除以3得$y=\frac{1}{3}x -1$。
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，观察可得两直线交点坐标为$(0,-1)$，即为方程组的解。
【答案】
(1) 如图①，二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=\frac{4}{3}, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$
(2) 如图②，二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程，图象法解方程组，一次函数交点意义
【点评】
本题考查数形结合思想在解二元一次方程组中的应用，需要熟练掌握二元一次方程和一次函数的互相转化，能准确通过函数图象读取交点坐标得到方程组的解。
【难度系数】
0.8

7 [2024兴安盟]点$P(m,n)$在直线$y=-\dfrac{3}{4}x+4$上，且$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是二元一次方程$5x-6y=33$的解，则点$P$的位置在（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

7. D

【分析】
解题思路如下：首先，点$P(m,n)$既在一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+4$的图象上，又是二元一次方程$5x-6y=33$的解，说明$(m,n)$是这两个方程组成的方程组的公共解。因此我们可以先联立两个方程得到二元一次方程组，解方程组求出$m$、$n$的具体值，再结合平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，就能判断点$P$所在的象限。
【解析】
由题意可得，$\begin{cases}x=m\\y=n\end{cases}$是方程组$\begin{cases} y=-\dfrac{3}{4}x+4 \\ 5x-6y=33 \end{cases}$的解。
将第一个方程代入第二个方程，得：
$5x -6×(-\dfrac{3}{4}x +4)=33$
化简计算：
$5x + \dfrac{9}{2}x -24 = 33$
两边同乘2消去分母：
$10x +9x -48 = 66$
$19x = 114$
解得$x=6$
将$x=6$代入$y=-\dfrac{3}{4}x+4$，得：
$y=-\dfrac{3}{4}×6 +4 = -\dfrac{9}{2} +4 = -\dfrac{1}{2}$
即$m=6＞0$，$n=-\dfrac{1}{2}＜0$，横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；解二元一次方程组；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合类题型，解题核心是理解一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式、二元一次方程的解满足对应方程，联立求解得到点的坐标后即可判断象限，属于基础知识点的综合应用类考题。
【难度系数】
0.8