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1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（
A.定价70元时，利润为6000元
B.定价56.5元时，利润为6105元
C.降价时，降价3元，能使所获利润最大
D.涨价时，涨价5元，能使所获利润最大
C
）A.定价70元时，利润为6000元
B.定价56.5元时，利润为6105元
C.降价时，降价3元，能使所获利润最大
D.涨价时，涨价5元，能使所获利润最大
答案
1.C 【点拨】定价70元时，利润为(70-40)×[300-10×(70-60)]=6 000(元)，故选项A正确，不符合题意；定价56.5元时，利润为(56.5-40)×[300+20×(60-56.5)]=6 105(元)，故选项B正确，不符合题意；设每件降价m元，利润为w元，则w=(60-40-m)(300+20m)=-20m²+100m+6 000，当m=-$\frac{b}{2a}$=2.5时，利润最大，故选项C错误，符合题意；设每件涨价n元，利润为w'元，则w'=(60-40+n)(300-10n)=-10(n-5)²+6 250，当n=5时，利润最大，故选项D正确，不符合题意. 故选C.
2.[2026合肥期中]某网店为满足航空航天爱好者的需求,特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本为20元,按每件24元出售,每日可售出40件.经市场调查发现,这种模型每件涨价1元,日销售量会减少2件,每件模型应涨价
8
元,才能使每日利润最大.答案
2.8
3. 某民族服饰店销售一款苗族服饰，成本为50元/件，在销售过程中发现每天销售量y(件)与售价x(元/件，售价不低于成本价)满足如图所示的一次函数关系。物价部门规定：该服饰每件售价不得超过90元。
(1)求y与x之间的函数表达式。
(2)该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店每天获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？
(1)求y与x之间的函数表达式。
(2)该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店每天获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？
答案
3.【解】(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，把(50,100),(70,80)分别代入上式，
得$\begin{cases}100=50k+b,\\80=70k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=150.\end{cases}$
∵该服饰成本为50元/件，售价不低于成本价，且每件售价不得超过90元，
∴50≤x≤90.
∴y与x之间的函数表达式为y=-x+150(50≤x≤90).
(2)由题意可得w=(x-50)(-x+150)=-(x²-200x+7 500)=-(x-100)²+2 500.
∵a=-1＜0，
∴当0＜x＜100时，w随x的增大而增大.
∵50≤x≤90，
∴当x=90时，$w_{最大}$=2 400.
∴该服饰每件售价为90元时，民族服饰店每天获得的利润w(元)最大，最大利润为2 400元.
得$\begin{cases}100=50k+b,\\80=70k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=150.\end{cases}$
∵该服饰成本为50元/件，售价不低于成本价，且每件售价不得超过90元，
∴50≤x≤90.
∴y与x之间的函数表达式为y=-x+150(50≤x≤90).
(2)由题意可得w=(x-50)(-x+150)=-(x²-200x+7 500)=-(x-100)²+2 500.
∵a=-1＜0，
∴当0＜x＜100时，w随x的增大而增大.
∵50≤x≤90，
∴当x=90时，$w_{最大}$=2 400.
∴该服饰每件售价为90元时，民族服饰店每天获得的利润w(元)最大，最大利润为2 400元.
4. :: 商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售量 y(个)与销售单价 x(元/个)之间满足一次函数关系，销售单价 x(元/个)与月销售量 y(个)、月销售利润 w(元)的对应值如下：
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式.
(2)① $m=$
②求 w 与 x 的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大.
(3)由于生产玩具成本增加，商场购进玩具的价格提高 n 元/个$(0＜n≤7$，n 为整数)，商场规定每个玩具的销售单价不能低于 40 元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系.若月销售利润最大是 2 340 元，求 n 的值.
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式.
(2)① $m=$
80
，该商场购进玩具的价格为20
元/个；②求 w 与 x 的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大.
(3)由于生产玩具成本增加，商场购进玩具的价格提高 n 元/个$(0＜n≤7$，n 为整数)，商场规定每个玩具的销售单价不能低于 40 元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系.若月销售利润最大是 2 340 元，求 n 的值.
答案
4.【解】(1)y=-10x+530. 【点拨】设y=kx+b(k≠0).
由题意，得$\begin{cases}30k+b=230,\\35k+b=180,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10,\\b=530,\end{cases}$
∴y与x的函数关系式为y=-10x+530.
(2)①80;20
②由题意得w=(x-20)·y=(x-20)(-10x+530)=-10x²+730x-10 600=-10(x-36.5)²+2 722.5.
∵-10＜0，
∴当x=36.5时，w有最大值，为2 722.5，
∴当销售单价定为36.5元/个时，月销售利润最大.
(3)设购进玩具的价格提高后，月销售利润为w'元.
由题意得w'=(-10x+530)(x-20-n)=-10(x-53)(x-20-n)，
∴函数图象的对称轴为直线x=$\frac{53+20+n}{2}$=$\frac{73+n}{2}$.
∵0＜n≤7，n为整数，
∴$\frac{73}{2}$＜$\frac{73+n}{2}$≤40.
∵-10＜0，
∴在对称轴的右侧，w'随x的增大而减小.
∵x≥40，
∴函数在x=40时取得最大值，
∴根据题意可知，x=40时，2 340=(-10×40+530)(40-20-n)，解得n=2.
由题意，得$\begin{cases}30k+b=230,\\35k+b=180,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10,\\b=530,\end{cases}$
∴y与x的函数关系式为y=-10x+530.
(2)①80;20
②由题意得w=(x-20)·y=(x-20)(-10x+530)=-10x²+730x-10 600=-10(x-36.5)²+2 722.5.
∵-10＜0，
∴当x=36.5时，w有最大值，为2 722.5，
∴当销售单价定为36.5元/个时，月销售利润最大.
(3)设购进玩具的价格提高后，月销售利润为w'元.
由题意得w'=(-10x+530)(x-20-n)=-10(x-53)(x-20-n)，
∴函数图象的对称轴为直线x=$\frac{53+20+n}{2}$=$\frac{73+n}{2}$.
∵0＜n≤7，n为整数，
∴$\frac{73}{2}$＜$\frac{73+n}{2}$≤40.
∵-10＜0，
∴在对称轴的右侧，w'随x的增大而减小.
∵x≥40，
∴函数在x=40时取得最大值，
∴根据题意可知，x=40时，2 340=(-10×40+530)(40-20-n)，解得n=2.
