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1. 要用一根长为 30 cm 的铁丝围成一个斜边长为 13 cm 的直角三角形，则两条直角边长分别为
（
A.5 cm 和 10 cm
B.8 cm 和 9 cm
C.5 cm 和 12 cm
D.8.5 cm 和 8.5 cm
（
C
）A.5 cm 和 10 cm
B.8 cm 和 9 cm
C.5 cm 和 12 cm
D.8.5 cm 和 8.5 cm
答案
1. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先铁丝的长度就是直角三角形的周长，已知斜边长13cm，可先算出两条直角边的长度和为30-13=17cm；再结合直角三角形的勾股定理，设其中一条直角边为未知数，另一条直角边用含未知数的式子表示，列一元二次方程求解即可，也可直接验证选项是否同时满足周长为30cm、符合勾股定理两个条件，快速得到答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(30-13-x)=(17-x)$cm
根据直角三角形勾股定理可得：
$x^2 + (17-x)^2 = 13^2$
展开得：$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$
整理得：$2x^2 -34x +120 = 0$，化简为$x^2 -17x +60 =0$
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=12$
当x=5时，另一条直角边为$17-5=12$cm；当x=12时，另一条直角边为$17-12=5$cm
即两条直角边长为5cm和12cm。
方法二（验证法）：
A选项：$5+10+13=28$cm≠30cm，不符合周长要求，排除；
B选项：$8+9+13=30$cm，满足周长，但$8^2+9^2=64+81=145≠13^2=169$，不符合勾股定理，排除；
C选项：$5+12+13=30$cm，满足周长，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，符合要求；
D选项：$8.5+8.5+13=30$cm，满足周长，但$8.5^2+8.5^2=72.25×2=144.5≠169$，不符合勾股定理，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；三角形周长计算
【点评】
本题既可以通过列一元二次方程求解，也可以通过验证选项快速得到答案，解题时可灵活选择方法，核心是要熟练掌握勾股定理的应用以及一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先铁丝的长度就是直角三角形的周长，已知斜边长13cm，可先算出两条直角边的长度和为30-13=17cm；再结合直角三角形的勾股定理，设其中一条直角边为未知数，另一条直角边用含未知数的式子表示，列一元二次方程求解即可，也可直接验证选项是否同时满足周长为30cm、符合勾股定理两个条件，快速得到答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(30-13-x)=(17-x)$cm
根据直角三角形勾股定理可得：
$x^2 + (17-x)^2 = 13^2$
展开得：$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$
整理得：$2x^2 -34x +120 = 0$，化简为$x^2 -17x +60 =0$
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=12$
当x=5时，另一条直角边为$17-5=12$cm；当x=12时，另一条直角边为$17-12=5$cm
即两条直角边长为5cm和12cm。
方法二（验证法）：
A选项：$5+10+13=28$cm≠30cm，不符合周长要求，排除；
B选项：$8+9+13=30$cm，满足周长，但$8^2+9^2=64+81=145≠13^2=169$，不符合勾股定理，排除；
C选项：$5+12+13=30$cm，满足周长，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，符合要求；
D选项：$8.5+8.5+13=30$cm，满足周长，但$8.5^2+8.5^2=72.25×2=144.5≠169$，不符合勾股定理，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；三角形周长计算
【点评】
本题既可以通过列一元二次方程求解，也可以通过验证选项快速得到答案，解题时可灵活选择方法，核心是要熟练掌握勾股定理的应用以及一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.8
2. 两年前生产1 kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1 kg甲种药品的成本为60元。设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（
A.$80(1-x^2)=60$
B.$80(1-x)^2=60$
C.$80(1-x)=60$
D.$80(1-2x)=60$
B
）A.$80(1-x^2)=60$
B.$80(1-x)^2=60$
C.$80(1-x)=60$
D.$80(1-2x)=60$
答案
2. B
解析
【分析】
本题属于平均下降率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均下降率的含义，年平均下降率为x意味着每一年的成本都是上一年成本的(1-x)倍；其次确定变化的基数，两年前的成本是初始基数，经过两年下降得到现在的成本，第一年的成本是初始基数乘(1-x)，第二年的成本是在第一年成本的基础上再乘(1-x)，最后结合现在的成本数值即可列出对应的方程。
【解析】
已知两年前1kg甲种药品成本为80元，年平均下降率为x：
1. 计算一年前的成本：在两年前成本的基础上下降x，因此一年前成本为 $ 80(1-x) $ 元；
2. 计算现在的成本：在一年前成本的基础上再次下降x，因此现在的成本为 $ 80(1-x) × (1-x) = 80(1-x)^2 $ 元；
3. 结合题目给出的现在成本为60元，可列方程：$ 80(1-x)^2 = 60 $。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均下降率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题核心是明确每一轮变化的计算基数，牢记平均变化率的通用公式：若初始值为a，平均变化率为x，经过n次变化后的数值为b，则有 $ a(1\pm x)^n = b $（增长用+，下降用-），掌握公式即可快速求解此类题目。
【难度系数】
0.8
本题属于平均下降率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均下降率的含义，年平均下降率为x意味着每一年的成本都是上一年成本的(1-x)倍；其次确定变化的基数，两年前的成本是初始基数，经过两年下降得到现在的成本，第一年的成本是初始基数乘(1-x)，第二年的成本是在第一年成本的基础上再乘(1-x)，最后结合现在的成本数值即可列出对应的方程。
【解析】
已知两年前1kg甲种药品成本为80元，年平均下降率为x：
1. 计算一年前的成本：在两年前成本的基础上下降x，因此一年前成本为 $ 80(1-x) $ 元；
2. 计算现在的成本：在一年前成本的基础上再次下降x，因此现在的成本为 $ 80(1-x) × (1-x) = 80(1-x)^2 $ 元；
3. 结合题目给出的现在成本为60元，可列方程：$ 80(1-x)^2 = 60 $。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均下降率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题核心是明确每一轮变化的计算基数，牢记平均变化率的通用公式：若初始值为a，平均变化率为x，经过n次变化后的数值为b，则有 $ a(1\pm x)^n = b $（增长用+，下降用-），掌握公式即可快速求解此类题目。
【难度系数】
0.8
3. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
C
）A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
答案
3. C
解析
【分析】
本题属于平均降价率的应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率的数量关系：若初始量为a，每次变化的百分率为x，经过两次变化后的量为b，则满足公式$a(1\pm x)^2=b$，本题是降价，所以用减号。接下来我们将题目中的原价、两次降价后的价格代入公式列出一元二次方程，求解后结合降价率的实际意义（小于1且为正数）舍去不符合要求的根，即可得到正确答案。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
方程两边同时除以48，得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
分情况求解：
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 25\% $，符合实际意义；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 + \frac{3}{4} = 175\% $，降价百分率不可能超过100%，舍去该根。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的常考基础题型，解题核心是牢记变化前后的量的对应关系，求出方程的根后一定要结合实际情况判断是否合理，舍去不符合逻辑的根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题属于平均降价率的应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率的数量关系：若初始量为a，每次变化的百分率为x，经过两次变化后的量为b，则满足公式$a(1\pm x)^2=b$，本题是降价，所以用减号。接下来我们将题目中的原价、两次降价后的价格代入公式列出一元二次方程，求解后结合降价率的实际意义（小于1且为正数）舍去不符合要求的根，即可得到正确答案。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
方程两边同时除以48，得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
分情况求解：
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 25\% $，符合实际意义；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 + \frac{3}{4} = 175\% $，降价百分率不可能超过100%，舍去该根。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的常考基础题型，解题核心是牢记变化前后的量的对应关系，求出方程的根后一定要结合实际情况判断是否合理，舍去不符合逻辑的根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
4. 某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，每次降价的百分率是
15%
。答案
4. 15%
解析
【分析】
这是一道平均降价率的实际应用题，解题思路如下：①先明确平均变化类问题的数量关系：若初始量为a，每次变化的百分率为x，经过2次变化后的量为b，则满足$a(1±x)^2=b$，本题是降价，所以用减号；②设每次降价的百分率为未知数，结合题目给出的原价、现价数据列出一元二次方程；③解方程后根据降价百分率的实际意义（大于0且小于1）舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后的售价为$800(1-x)$元，第二次降价是在第一次降价的基础上进行的，因此第二次降价后的售价为$800(1-x)^2$元，根据题意列方程：
$800(1-x)^2 = 578$
两边同时除以800，得：
$(1-x)^2 = \frac{578}{800} = \frac{289}{400}$
开平方得：
$1-x = \pm \frac{17}{20} = \pm 0.85$
当$1-x = 0.85$时，解得$x = 0.15 = 15\%$；
当$1-x = -0.85$时，解得$x = 1.85$，降价百分率不可能大于1，不符合实际，舍去。
因此每次降价的百分率为15%。
【答案】
15%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率问题的典型题型，解题核心是找准两次降价后的售价与原价的等量关系，列方程求解后要注意结合实际意义验根，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.75
这是一道平均降价率的实际应用题，解题思路如下：①先明确平均变化类问题的数量关系：若初始量为a，每次变化的百分率为x，经过2次变化后的量为b，则满足$a(1±x)^2=b$，本题是降价，所以用减号；②设每次降价的百分率为未知数，结合题目给出的原价、现价数据列出一元二次方程；③解方程后根据降价百分率的实际意义（大于0且小于1）舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后的售价为$800(1-x)$元，第二次降价是在第一次降价的基础上进行的，因此第二次降价后的售价为$800(1-x)^2$元，根据题意列方程：
$800(1-x)^2 = 578$
两边同时除以800，得：
$(1-x)^2 = \frac{578}{800} = \frac{289}{400}$
开平方得：
$1-x = \pm \frac{17}{20} = \pm 0.85$
当$1-x = 0.85$时，解得$x = 0.15 = 15\%$；
当$1-x = -0.85$时，解得$x = 1.85$，降价百分率不可能大于1，不符合实际，舍去。
因此每次降价的百分率为15%。
【答案】
15%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率问题的典型题型，解题核心是找准两次降价后的售价与原价的等量关系，列方程求解后要注意结合实际意义验根，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.75
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=30\ \mathrm{cm}$，$AC=40\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$C$开始沿$CA$边以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$移动，同时，另一点$Q$由点$C$开始以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿着$CB$边向点$B$移动，几秒钟后，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$？
答案
5. 解:设$x$秒后，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$，则$CP=4x\ \mathrm{cm}$，$CQ=3x\ \mathrm{cm}$。由题意，得$\frac{1}{2}×3x×4x=\frac{1}{2}×30×40×\frac{1}{4}$，解得$x_1=5$，$x_2=-5$(不合题意，舍去)。答:5秒后，$△ PCQ$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
这是一道动态几何结合一元二次方程的应用题，解题思路如下：首先设运动时间为x秒，根据点P、Q的运动速度，用含x的代数式分别表示出线段CP、CQ的长度；由于∠C=90°，△PCQ是直角三角形，可直接用直角三角形面积公式表示出△PCQ的面积；再计算出△ABC的面积，根据“△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$”这一等量关系列一元二次方程，最后求解方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$。
根据点P、Q的运动速度可得：$CP=4x\ \mathrm{cm}$，$CQ=3x\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ C=90°$，因此△PCQ和△ABC均为直角三角形，由题意列方程：
$\frac{1}{2} × 3x × 4x = \frac{1}{2} × 30 × 40 × \frac{1}{4}$
整理得$6x^2=150$，即$x^2=25$，
解得$x_1=5$，$x_2=-5$，时间不能为负数，故$x_2=-5$不合题意，舍去。
【答案】
5秒
【知识点】
一元二次方程应用，直角三角形面积计算，动点问题处理
【点评】
本题属于动态几何类的方程应用题，解题核心是将运动的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何图形的面积关系建立方程，求解后要注意检验方程的根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道动态几何结合一元二次方程的应用题，解题思路如下：首先设运动时间为x秒，根据点P、Q的运动速度，用含x的代数式分别表示出线段CP、CQ的长度；由于∠C=90°，△PCQ是直角三角形，可直接用直角三角形面积公式表示出△PCQ的面积；再计算出△ABC的面积，根据“△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$”这一等量关系列一元二次方程，最后求解方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$。
根据点P、Q的运动速度可得：$CP=4x\ \mathrm{cm}$，$CQ=3x\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ C=90°$，因此△PCQ和△ABC均为直角三角形，由题意列方程：
$\frac{1}{2} × 3x × 4x = \frac{1}{2} × 30 × 40 × \frac{1}{4}$
整理得$6x^2=150$，即$x^2=25$，
解得$x_1=5$，$x_2=-5$，时间不能为负数，故$x_2=-5$不合题意，舍去。
【答案】
5秒
【知识点】
一元二次方程应用，直角三角形面积计算，动点问题处理
【点评】
本题属于动态几何类的方程应用题，解题核心是将运动的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何图形的面积关系建立方程，求解后要注意检验方程的根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
6. 如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm²，则它移动的距离AA'等于（
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
B
）A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先结合正方形与平移的性质分析重叠部分的形状：正方形沿对角线剪开得到等腰直角三角形，平移后对应边平行，因此重叠部分为平行四边形。设平移距离AA'为x cm，可推出A'D的长度为(2-x)cm，结合正方形对角线的角度特征，可得到重叠部分的面积表达式为x(2-x)，再根据已知重叠面积为1cm²列方程求解即可。
【解析】
设移动的距离AA'为x cm，则A'D=(2 - x)cm。
由平移的性质可知AC//A'C'，AD//B'C'，因此重叠部分为平行四边形。
又因为正方形对角线平分内角，∠DAC=45°，因此该平行四边形的面积可表示为：底×高 = x·(2 - x)。
根据题意重叠部分面积为1cm²，列方程得：
$x(2 - x) = 1$
整理得$x^2 - 2x + 1 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
即AA'=1cm。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；一元二次方程的应用；正方形的性质
【点评】
本题属于几何动态与方程结合的基础题，解题的关键是合理设未知数，利用几何性质用未知数表示出重叠部分的面积，建立方程求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形与平移的性质分析重叠部分的形状：正方形沿对角线剪开得到等腰直角三角形，平移后对应边平行，因此重叠部分为平行四边形。设平移距离AA'为x cm，可推出A'D的长度为(2-x)cm，结合正方形对角线的角度特征，可得到重叠部分的面积表达式为x(2-x)，再根据已知重叠面积为1cm²列方程求解即可。
【解析】
设移动的距离AA'为x cm，则A'D=(2 - x)cm。
由平移的性质可知AC//A'C'，AD//B'C'，因此重叠部分为平行四边形。
又因为正方形对角线平分内角，∠DAC=45°，因此该平行四边形的面积可表示为：底×高 = x·(2 - x)。
根据题意重叠部分面积为1cm²，列方程得：
$x(2 - x) = 1$
整理得$x^2 - 2x + 1 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
即AA'=1cm。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；一元二次方程的应用；正方形的性质
【点评】
本题属于几何动态与方程结合的基础题，解题的关键是合理设未知数，利用几何性质用未知数表示出重叠部分的面积，建立方程求解。
【难度系数】
0.7
7. 为创建园林城市，某市2023年绿化面积约为1 000万$\mathrm{m}^2$，2025年绿化面积约为1 440万$\mathrm{m}^2$。
如果近几年绿化面积的年增长率相同，那么预计2026年绿化面积约为 （
A.1 441万$\mathrm{m}^2$
B.1 331万$\mathrm{m}^2$
C.1 448万$\mathrm{m}^2$
D.1 728万$\mathrm{m}^2$
如果近几年绿化面积的年增长率相同，那么预计2026年绿化面积约为 （
D
）A.1 441万$\mathrm{m}^2$
B.1 331万$\mathrm{m}^2$
C.1 448万$\mathrm{m}^2$
D.1 728万$\mathrm{m}^2$
答案
7. D
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用题，解题思路分两步：第一步，先明确平均增长率的计算公式：初始量×(1+年增长率)ⁿ=经过n年后的量，其中n为增长的年数。本题中2023年为初始年份，绿化面积是初始量1000万m²，2025年是经过2年增长后的量，为1440万m²，因此可以先设年增长率为x，列一元二次方程求出增长率；第二步，用2025年的绿化面积乘以(1+增长率)，即可得到2026年的绿化面积。注意解方程得到的增长率需要符合实际意义，舍去负数解。
【解析】
设该市绿化面积的年平均增长率为x。
根据题意，2023年到2025年经过了2年，可列方程：
$1000(1+x)^2=1440$
方程两边同时除以1000，得：
$(1+x)^2=1.44$
开平方得：
$1+x=\pm1.2$
因为增长率为正数，所以舍去$1+x=-1.2$的情况，即：
$1+x=1.2$，解得$x=0.2=20\%$
则2026年的绿化面积为：
$1440×(1+20\%)=1440×1.2=1728$（万$\mathrm{m}^2$）
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率问题的常规题型，解题核心是熟练掌握增长率的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，再代入计算目标年份的对应量即可。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的实际应用题，解题思路分两步：第一步，先明确平均增长率的计算公式：初始量×(1+年增长率)ⁿ=经过n年后的量，其中n为增长的年数。本题中2023年为初始年份，绿化面积是初始量1000万m²，2025年是经过2年增长后的量，为1440万m²，因此可以先设年增长率为x，列一元二次方程求出增长率；第二步，用2025年的绿化面积乘以(1+增长率)，即可得到2026年的绿化面积。注意解方程得到的增长率需要符合实际意义，舍去负数解。
【解析】
设该市绿化面积的年平均增长率为x。
根据题意，2023年到2025年经过了2年，可列方程：
$1000(1+x)^2=1440$
方程两边同时除以1000，得：
$(1+x)^2=1.44$
开平方得：
$1+x=\pm1.2$
因为增长率为正数，所以舍去$1+x=-1.2$的情况，即：
$1+x=1.2$，解得$x=0.2=20\%$
则2026年的绿化面积为：
$1440×(1+20\%)=1440×1.2=1728$（万$\mathrm{m}^2$）
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率问题的常规题型，解题核心是熟练掌握增长率的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，再代入计算目标年份的对应量即可。
【难度系数】
0.8
8. 在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有 （
A.15支
B.16支
C.17支
D.18支
B
）A.15支
B.16支
C.17支
D.18支
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先要计算出小组赛的总比赛场次，再明确“每两支队伍各进行一次主场、一次客场”属于双循环赛制，梳理出参赛球队数量和总场次的等量关系，最后列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
第一步：计算总比赛场次，用球场数量×每天每球场场次×天数即可得到总场次；
第二步：设参赛球队有x支，双循环赛制下，每两队之间要赛2场，总场次可表示为x(x-1)场；
第三步：根据总场次相等列方程，求解方程并验根得到答案。
【解析】
设本次小组赛参赛球队有x支。
1. 计算总比赛场次：
总场次 = 球场数×每天每球场场次×天数 = $6×4×10=240$场。
2. 梳理赛制对应的场次关系：
每两支球队之间各进行1次主场、1次客场比赛，属于双循环赛制，每支球队要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，总比赛场次可表示为$x(x-1)$场。
3. 列方程求解：
根据总场次相等列方程：
$x(x-1)=240$
整理得：$x^2 - x - 240 = 0$
因式分解得：$(x-16)(x+15)=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=-15$
球队数量不能为负数，故舍去$x=-15$，即参赛球队有16支。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；双循环赛制场次计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合体育比赛场景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解双循环赛制的总场次计算规则，找到等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义验根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要计算出小组赛的总比赛场次，再明确“每两支队伍各进行一次主场、一次客场”属于双循环赛制，梳理出参赛球队数量和总场次的等量关系，最后列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
第一步：计算总比赛场次，用球场数量×每天每球场场次×天数即可得到总场次；
第二步：设参赛球队有x支，双循环赛制下，每两队之间要赛2场，总场次可表示为x(x-1)场；
第三步：根据总场次相等列方程，求解方程并验根得到答案。
【解析】
设本次小组赛参赛球队有x支。
1. 计算总比赛场次：
总场次 = 球场数×每天每球场场次×天数 = $6×4×10=240$场。
2. 梳理赛制对应的场次关系：
每两支球队之间各进行1次主场、1次客场比赛，属于双循环赛制，每支球队要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，总比赛场次可表示为$x(x-1)$场。
3. 列方程求解：
根据总场次相等列方程：
$x(x-1)=240$
整理得：$x^2 - x - 240 = 0$
因式分解得：$(x-16)(x+15)=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=-15$
球队数量不能为负数，故舍去$x=-15$，即参赛球队有16支。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；双循环赛制场次计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合体育比赛场景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解双循环赛制的总场次计算规则，找到等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义验根。
【难度系数】
0.7
9. 某校九年级组织一次篮球比赛，每两个班之间都要赛一场，共进行了555场比赛，则该校九年级共有
11
个班。答案
9. 11
解析
【分析】
这是单循环比赛类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：首先明确赛制规则：每两个班只赛1场，不存在重复计数的主客场情况。第一步设班级总数为未知数x，每个班要和其余(x-1)个班各赛1场，此时计算的总场次会把每场比赛重复统计2次（比如甲班对乙班和乙班对甲班是同一场），因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步根据已知的总比赛场数列一元二次方程；第三步解方程后结合实际意义（班级数为正整数）舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设该校九年级共有$x$个班。
根据单循环赛总场次计算公式，结合题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$
因为班级数不能为负数，故舍去$x_2=-10$，即$x=11$。
【答案】
11
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 单循环赛制计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，核心是理解单循环场景下的计数逻辑，避免重复计算，同时要注意求出方程的解后，必须结合实际场景检验解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是单循环比赛类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：首先明确赛制规则：每两个班只赛1场，不存在重复计数的主客场情况。第一步设班级总数为未知数x，每个班要和其余(x-1)个班各赛1场，此时计算的总场次会把每场比赛重复统计2次（比如甲班对乙班和乙班对甲班是同一场），因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步根据已知的总比赛场数列一元二次方程；第三步解方程后结合实际意义（班级数为正整数）舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设该校九年级共有$x$个班。
根据单循环赛总场次计算公式，结合题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$
因为班级数不能为负数，故舍去$x_2=-10$，即$x=11$。
【答案】
11
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 单循环赛制计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，核心是理解单循环场景下的计数逻辑，避免重复计算，同时要注意求出方程的解后，必须结合实际场景检验解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
