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1. 下列式子是分式的是 （
A.$\frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{x+1}$
C.$x+y$
D.$\frac{x}{π}$
B
）A.$\frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{x+1}$
C.$x+y$
D.$\frac{x}{π}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断式子是否为分式，首先明确分式的判定依据：形如$\frac{A}{B}$的式子中，A、B均为整式，且分母B必须含有字母，同时需注意π是固定常数，不属于字母。解题时只需逐个核对每个选项的分母是否含字母即可得出结论。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母，则$\frac{A}{B}$叫做分式。我们对选项逐一分析：
选项A：$\frac{x}{2}$的分母是2，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，含有字母x，符合分式定义，是分式；
选项C：$x+y$是多项式，属于整式，不是分式；
选项D：$\frac{x}{π}$的分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，符合分式定义的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式的概念；π的常数属性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记分式的判定标准，尤其要注意区分常数和字母，避免误将π当作字母错选D选项。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为分式，首先明确分式的判定依据：形如$\frac{A}{B}$的式子中，A、B均为整式，且分母B必须含有字母，同时需注意π是固定常数，不属于字母。解题时只需逐个核对每个选项的分母是否含字母即可得出结论。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母，则$\frac{A}{B}$叫做分式。我们对选项逐一分析：
选项A：$\frac{x}{2}$的分母是2，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，含有字母x，符合分式定义，是分式；
选项C：$x+y$是多项式，属于整式，不是分式；
选项D：$\frac{x}{π}$的分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，符合分式定义的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式的概念；π的常数属性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记分式的判定标准，尤其要注意区分常数和字母，避免误将π当作字母错选D选项。
【难度系数】
0.8
2. 若$\frac{16x}{16-△}$是一个最简分式，则△可以是（
A.$x$
B.$\frac{1}{4}$
C.$4$
D.$4x$
A
）A.$x$
B.$\frac{1}{4}$
C.$4$
D.$4x$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断△取哪个选项时原式是最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式，同时分式的分母必须含有字母。解题时可将四个选项的取值依次代入原式的△位置，分别判断分子分母是否存在公因式、是否为分式，即可得出正确答案。
【解析】
最简分式需满足两个条件：①是分式（分母含有字母）；②分子与分母没有公因式，无法再约分。
我们逐个代入选项验证：
选项A：当△=x时，分母为$16 - x$，分子为$16x$。分子的因式为16、$x$，分母的因式为$(16 - x)$，两者没有公因式，且分母含字母$x$，符合最简分式的要求。
选项B：当△=$\frac{1}{4}$时，分母为$16 - \frac{1}{4} = \frac{63}{4}$，分母是常数，此时原式不是分式，不符合要求。
选项C：当△=4时，分母为$16 - 4 = 12$，分母是常数，此时原式不是分式，且$16x$和12有公因式4，可约分，不符合要求。
选项D：当△=$4x$时，分母为$16 - 4x = 4(4 - x)$，分子为$16x = 4·4x$，分子分母有公因式4，可约分为$\frac{4x}{4 - x}$，不是最简分式，不符合要求。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1.最简分式的定义 2.公因式的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是理解最简分式的判定标准，通过代入选项逐一验证的方法即可快速解题，需要注意分式的分母必须含有字母这一前提条件，避免误选。
【难度系数】
0.8
要判断△取哪个选项时原式是最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式，同时分式的分母必须含有字母。解题时可将四个选项的取值依次代入原式的△位置，分别判断分子分母是否存在公因式、是否为分式，即可得出正确答案。
【解析】
最简分式需满足两个条件：①是分式（分母含有字母）；②分子与分母没有公因式，无法再约分。
我们逐个代入选项验证：
选项A：当△=x时，分母为$16 - x$，分子为$16x$。分子的因式为16、$x$，分母的因式为$(16 - x)$，两者没有公因式，且分母含字母$x$，符合最简分式的要求。
选项B：当△=$\frac{1}{4}$时，分母为$16 - \frac{1}{4} = \frac{63}{4}$，分母是常数，此时原式不是分式，不符合要求。
选项C：当△=4时，分母为$16 - 4 = 12$，分母是常数，此时原式不是分式，且$16x$和12有公因式4，可约分，不符合要求。
选项D：当△=$4x$时，分母为$16 - 4x = 4(4 - x)$，分子为$16x = 4·4x$，分子分母有公因式4，可约分为$\frac{4x}{4 - x}$，不是最简分式，不符合要求。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1.最简分式的定义 2.公因式的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是理解最简分式的判定标准，通过代入选项逐一验证的方法即可快速解题，需要注意分式的分母必须含有字母这一前提条件，避免误选。
【难度系数】
0.8
3. 如果把分式$\frac{3xy}{x+y}$中的$x,y$同时扩大为原来的2倍，那么分式的值 （
A.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.不变
B
）A.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.不变
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，核心思路是按照题目要求替换变量，再化简得到的新分式，最后和原分式对比即可判断分式值的变化情况。具体步骤：第一步，将原分式中的x替换为2x、y替换为2y，得到变化后的新分式；第二步，利用分式的基本性质对新分式约分化简；第三步，把化简结果和原分式对比，确定变化倍数。
【解析】
将原分式中的x、y同时替换为2x、2y，代入得：
新分式 = $\frac{3·(2x)·(2y)}{2x + 2y}$
先计算分子：$3·2x·2y = 12xy$
再对分母提取公因式：$2x + 2y = 2(x + y)$
因此新分式可化简为：
$\frac{12xy}{2(x+y)} = \frac{6xy}{x+y} = 2×\frac{3xy}{x+y}$
对比原分式$\frac{3xy}{x+y}$，可知新分式的值是原分式值的2倍。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，分式的约分
【点评】
这道题是分式相关的基础常考题，核心考查变量变化时分式值的变化规律，解题关键是正确代入变化后的变量并准确化简，计算时注意不要漏乘分子或分母的项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，核心思路是按照题目要求替换变量，再化简得到的新分式，最后和原分式对比即可判断分式值的变化情况。具体步骤：第一步，将原分式中的x替换为2x、y替换为2y，得到变化后的新分式；第二步，利用分式的基本性质对新分式约分化简；第三步，把化简结果和原分式对比，确定变化倍数。
【解析】
将原分式中的x、y同时替换为2x、2y，代入得：
新分式 = $\frac{3·(2x)·(2y)}{2x + 2y}$
先计算分子：$3·2x·2y = 12xy$
再对分母提取公因式：$2x + 2y = 2(x + y)$
因此新分式可化简为：
$\frac{12xy}{2(x+y)} = \frac{6xy}{x+y} = 2×\frac{3xy}{x+y}$
对比原分式$\frac{3xy}{x+y}$，可知新分式的值是原分式值的2倍。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，分式的约分
【点评】
这道题是分式相关的基础常考题，核心考查变量变化时分式值的变化规律，解题关键是正确代入变化后的变量并准确化简，计算时注意不要漏乘分子或分母的项。
【难度系数】
0.8
4.某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（
A.只有甲
B.乙和丁
C.丙和丁
D.甲和丙
D
）A.只有甲
B.乙和丁
C.丙和丁
D.甲和丙
答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪一步出错，需按照“每人仅承接前一步式子，只计算一步”的规则，结合添括号、通分、分式减法、去括号、约分的运算法则，逐次核对每一位同学的计算步骤是否正确。
【解析】
1. 核对甲的步骤：
老师给出的原式为$\frac{x+1}{x-1}-x+1$，添括号时括号前为负号，括号内各项需变号，因此$-x+1=-(x-1)$，但甲将其写为$-(x+1)$，符号处理错误，故甲的计算错误。
2. 核对乙的步骤：
承接甲的式子$\frac{x+1}{x-1}-(x+1)$，通分后$x+1=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}$，乙的通分运算符合规则，故乙的计算正确。
3. 核对丙的步骤：
承接乙的式子$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x^2-1}{x-1}$，同分母分式相减，分子相减时需给后一个分子整体加括号，即分子为$(x+1)-(x^2-1)=x+1-x^2+1$，但丙去括号时未改变$-1$的符号，写为$x+1-x^2-1$，故丙的计算错误。
4. 核对丁的步骤：
承接丙的式子$\frac{x+1-x^2-1}{x-1}$，分子化简得$-x^2+x=-x(x-1)$，约分后得$-x$，丁的运算符合规则，故丁的计算正确。
综上，出错的是甲和丙。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，去（添）括号法则，约分
【点评】
本题重点考查分式运算中的细节规则，易错点是添括号、去括号时的符号处理，做这类分步运算题时要注意每一步仅针对当前承接的式子核对运算规则，不要受原式干扰，养成核对符号的习惯，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪一步出错，需按照“每人仅承接前一步式子，只计算一步”的规则，结合添括号、通分、分式减法、去括号、约分的运算法则，逐次核对每一位同学的计算步骤是否正确。
【解析】
1. 核对甲的步骤：
老师给出的原式为$\frac{x+1}{x-1}-x+1$，添括号时括号前为负号，括号内各项需变号，因此$-x+1=-(x-1)$，但甲将其写为$-(x+1)$，符号处理错误，故甲的计算错误。
2. 核对乙的步骤：
承接甲的式子$\frac{x+1}{x-1}-(x+1)$，通分后$x+1=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}$，乙的通分运算符合规则，故乙的计算正确。
3. 核对丙的步骤：
承接乙的式子$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x^2-1}{x-1}$，同分母分式相减，分子相减时需给后一个分子整体加括号，即分子为$(x+1)-(x^2-1)=x+1-x^2+1$，但丙去括号时未改变$-1$的符号，写为$x+1-x^2-1$，故丙的计算错误。
4. 核对丁的步骤：
承接丙的式子$\frac{x+1-x^2-1}{x-1}$，分子化简得$-x^2+x=-x(x-1)$，约分后得$-x$，丁的运算符合规则，故丁的计算正确。
综上，出错的是甲和丙。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，去（添）括号法则，约分
【点评】
本题重点考查分式运算中的细节规则，易错点是添括号、去括号时的符号处理，做这类分步运算题时要注意每一步仅针对当前承接的式子核对运算规则，不要受原式干扰，养成核对符号的习惯，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
5. 已知实数$a,b,c$均不为0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{3}{c}$. 下列说法中错误的是（
A.若$a=b$，则$a=c$
B.若$a+2b=0$，则$a+c=0$
C.若$2a+b=2$，则$\frac{ab}{c}=\frac{2}{3}$
D.若$a＞b$，则$c＞b$
D
）A.若$a=b$，则$a=c$
B.若$a+2b=0$，则$a+c=0$
C.若$2a+b=2$，则$\frac{ab}{c}=\frac{2}{3}$
D.若$a＞b$，则$c＞b$
答案
5.D
解析
【分析】
首先将已知的分式等式去分母转化为整式等式，因为a、b、c均不为0，等式两边同乘abc可得$bc+2ac=3ab$，接下来逐个将各选项的条件代入该整式等式，验证结论是否成立，判断错误选项即可。
【解析】
已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{3}{c}$，且a,b,c均不为0，等式两边同乘abc得：
$bc + 2ac = 3ab$
逐个验证选项：
A. 若$a=b$，代入上式得：$ac + 2ac = 3a^2$，即$3ac=3a^2$，两边同除以不为0的3a，得$c=a$，结论成立，A不符合题意。
B. 若$a+2b=0$，则$a=-2b$，代入整式等式得：$bc + 2×(-2b)c = 3×(-2b)· b$，化简得$-3bc=-6b^2$，两边同除以不为0的-3b，得$c=2b$，结合$a=-2b$，可得$a=-c$，即$a+c=0$，结论成立，B不符合题意。
C. 若$2a+b=2$，将整式等式左边提取公因式得$c(2a + b)=3ab$，代入$2a+b=2$得$2c=3ab$，两边同除以不为0的3c，得$\frac{ab}{c}=\frac{2}{3}$，结论成立，C不符合题意。
D. 若$a＞b$，举反例：设$a=1$，$b=-1$，满足$a＞b$，代入原式得$1-2=\frac{3}{c}$，解得$c=-3$，此时$c=-3＜b=-1$，结论$c＞b$不成立，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式基本性质；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题考查分式等式的变形，将分式转化为整式验证选项能降低计算难度，判断错误选项时举反例是高效的解题方法，解题时需注意题干给出的分母不为0的条件，避免出现除以0的错误。
【难度系数】
0.7
首先将已知的分式等式去分母转化为整式等式，因为a、b、c均不为0，等式两边同乘abc可得$bc+2ac=3ab$，接下来逐个将各选项的条件代入该整式等式，验证结论是否成立，判断错误选项即可。
【解析】
已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{3}{c}$，且a,b,c均不为0，等式两边同乘abc得：
$bc + 2ac = 3ab$
逐个验证选项：
A. 若$a=b$，代入上式得：$ac + 2ac = 3a^2$，即$3ac=3a^2$，两边同除以不为0的3a，得$c=a$，结论成立，A不符合题意。
B. 若$a+2b=0$，则$a=-2b$，代入整式等式得：$bc + 2×(-2b)c = 3×(-2b)· b$，化简得$-3bc=-6b^2$，两边同除以不为0的-3b，得$c=2b$，结合$a=-2b$，可得$a=-c$，即$a+c=0$，结论成立，B不符合题意。
C. 若$2a+b=2$，将整式等式左边提取公因式得$c(2a + b)=3ab$，代入$2a+b=2$得$2c=3ab$，两边同除以不为0的3c，得$\frac{ab}{c}=\frac{2}{3}$，结论成立，C不符合题意。
D. 若$a＞b$，举反例：设$a=1$，$b=-1$，满足$a＞b$，代入原式得$1-2=\frac{3}{c}$，解得$c=-3$，此时$c=-3＜b=-1$，结论$c＞b$不成立，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式基本性质；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题考查分式等式的变形，将分式转化为整式验证选项能降低计算难度，判断错误选项时举反例是高效的解题方法，解题时需注意题干给出的分母不为0的条件，避免出现除以0的错误。
【难度系数】
0.7
6. 要使分式$\frac{x}{x-1}$有意义，请写出一个满足条件的x的值：
2(答案不唯一)
.答案
6. 2(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确分式有意义的判定规则：分式有意义的前提是分母不能为0。我们先找到对应分式的分母，令分母不等于0，解出x的取值范围，再在这个范围内任选一个数值即可。
【解析】
分式有意义的条件为分母不为0。
本题中分式$\frac{x}{x-1}$的分母是$x-1$，据此列不等式：
$x-1 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
因此只要取不等于1的实数都满足条件，例如取$x=2$。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，牢记分式有意义时分母不为0的要求，正确求解x的取值范围即可得分，注意不要误取$x=1$即可。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需明确分式有意义的判定规则：分式有意义的前提是分母不能为0。我们先找到对应分式的分母，令分母不等于0，解出x的取值范围，再在这个范围内任选一个数值即可。
【解析】
分式有意义的条件为分母不为0。
本题中分式$\frac{x}{x-1}$的分母是$x-1$，据此列不等式：
$x-1 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
因此只要取不等于1的实数都满足条件，例如取$x=2$。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，牢记分式有意义时分母不为0的要求，正确求解x的取值范围即可得分，注意不要误取$x=1$即可。
【难度系数】
0.9
7. 分式$\frac{2}{a^2 - 2a + 1}, \frac{1}{a^2 - a}$的最简公分母是
$a(a-1)^2$
。答案
7. $a(a-1)^2$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按三步思考：第一步先对每个分母进行因式分解，第二步梳理所有分母中出现的不同因式，第三步取每个因式的最高次幂，将其相乘就得到最简公分母。本题可先用完全平方公式、提公因式法分别分解两个分母，再按规则组合因式即可。
【解析】
1. 对两个分母分别因式分解：
第一个分母：$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$（运用完全平方公式）；
第二个分母：$a^2 - a = a(a-1)$（提取公因式$a$）。
2. 梳理出现的所有因式：$a$、$(a-1)$。
3. 取每个因式的最高次幂：$a$的最高次为1次，$(a-1)$的最高次为2次。
4. 计算最简公分母：将各因式最高次幂相乘，得$a · (a-1)^2 = a(a-1)^2$。
【答案】
$a(a-1)^2$
【知识点】
因式分解、提公因式法、最简公分母确定
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查最简公分母的求解方法，解题的关键是准确对分母因式分解，再按规则选取各因式的最高次幂相乘，掌握该知识点是后续学习分式通分、加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
要确定两个分式的最简公分母，可按三步思考：第一步先对每个分母进行因式分解，第二步梳理所有分母中出现的不同因式，第三步取每个因式的最高次幂，将其相乘就得到最简公分母。本题可先用完全平方公式、提公因式法分别分解两个分母，再按规则组合因式即可。
【解析】
1. 对两个分母分别因式分解：
第一个分母：$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$（运用完全平方公式）；
第二个分母：$a^2 - a = a(a-1)$（提取公因式$a$）。
2. 梳理出现的所有因式：$a$、$(a-1)$。
3. 取每个因式的最高次幂：$a$的最高次为1次，$(a-1)$的最高次为2次。
4. 计算最简公分母：将各因式最高次幂相乘，得$a · (a-1)^2 = a(a-1)^2$。
【答案】
$a(a-1)^2$
【知识点】
因式分解、提公因式法、最简公分母确定
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查最简公分母的求解方法，解题的关键是准确对分母因式分解，再按规则选取各因式的最高次幂相乘，掌握该知识点是后续学习分式通分、加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
8. 物理学中的电路包含串联电路和并联电路. 如图是一个并联电路,两电阻分别为$R_1$,$R_2$,并联电路的总电阻为$R$,三者之间的关系为$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$,则$R=$
$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
（用含$R_1$,$R_2$的代数式表示）.答案
8. $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
解析
【分析】
本题是结合物理电路情境的分式运算题，解题思路如下：首先根据给出的等量关系$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，要推导$R$的表达式，第一步先对等式右侧的异分母分式进行通分，完成分式加法运算，第二步再对所得结果取倒数，即可得到$R$的代数式，运算过程要遵循分式运算的规则，避免通分、约分出错。
【解析】
已知并联电路总电阻和分电阻的关系为$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，
先对等式右侧的分式通分，取公分母为$R_1R_2$：
$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
由此可得$\frac{1}{R}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
等式两边同时取倒数，最终得到：
$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。
【答案】
$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
【知识点】
分式的加减运算、倒数的性质
【点评】
本题属于跨学科的基础运算题，将物理电路知识和分式运算结合，考查异分母分式的通分、加减规则，解题逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是结合物理电路情境的分式运算题，解题思路如下：首先根据给出的等量关系$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，要推导$R$的表达式，第一步先对等式右侧的异分母分式进行通分，完成分式加法运算，第二步再对所得结果取倒数，即可得到$R$的代数式，运算过程要遵循分式运算的规则，避免通分、约分出错。
【解析】
已知并联电路总电阻和分电阻的关系为$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$，
先对等式右侧的分式通分，取公分母为$R_1R_2$：
$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
由此可得$\frac{1}{R}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$，
等式两边同时取倒数，最终得到：
$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。
【答案】
$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
【知识点】
分式的加减运算、倒数的性质
【点评】
本题属于跨学科的基础运算题，将物理电路知识和分式运算结合，考查异分母分式的通分、加减规则，解题逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
