1. 如图，$△ ABC$的边$AB$，$BC$的垂直平分线交于点$P$. 若$PA+PC=16$，则$PB$的长为（）

A.7
B.8
C.9
D.10

1.B

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。本题中P是AB、BC两条边垂直平分线的交点，因此可以分别利用垂直平分线的性质推出PA与PB、PB与PC的等量关系，再结合已知PA+PC=16的条件，即可求出PB的长度。
【解析】
解：
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB = PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴PA = PB = PC。
已知PA + PC = 16，将PA=PB、PC=PB代入得：
PB + PB = 16，即2PB=16，
解得PB = 8。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过交点P的位置得到三条线段的等量关系，代入已知条件即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.85

2. 在锐角$△ ABC$内有一点$P$,且点$P$到$△ ABC$三边的距离相等,则点$P$是$△ ABC$的 ()

A.三条角平分线的交点
B.重心
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点

2.A

【分析】
解题时首先要明确三角形各特殊交点的性质，再结合题干给出的“点P到△ABC三边的距离相等”这一条件逐一匹配选项：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；再逐一核对其余选项对应点的性质，判断是否符合题干要求即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若点P到三角形三边的距离都相等，说明点P同时在△ABC三个内角的角平分线上，即点P是三条角平分线的交点，符合题干条件；
B. 重心是三角形三条中线的交点，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不具备到三边距离相等的性质，不符合要求；
C. 三条高的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质是到三角形三个顶点的距离相等，而非到三边距离相等，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对三角形不同特殊交点的性质区分，解题的关键是熟记各特殊点的判定条件，尤其要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

3. 如图,直线$ l $与线段$ AB $交于点$ O $,点$ P $在直线$ l $上,且$ PA=PB $.小明说:“直线$ l $是$ AB $的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断错误的是 ()

A.小明说得不对
B.小亮说得对,可添条件为“$ ∠ A=∠ B $”
C.小亮说得对,可添条件为“$ PO ⊥ AB $”
D.小亮说得对,可添条件为“$ PO $平分$ ∠ APB $”

3.B

【分析】
解题首先要明确线段垂直平分线的判定规则：直线需要同时满足垂直于线段、平分线段两个条件，才能称为线段的垂直平分线。已知PA=PB，仅能证明点P在AB的垂直平分线上，无法确定直线l是否满足上述两个条件，因此小明的结论不成立，需补充条件，接下来逐一分析各选项的补充条件是否能推出直线l是AB的垂直平分线，找出判断错误的选项即可。
【解析】
已知PA=PB，由等腰三角形等边对等角的性质，可直接得到∠A=∠B：
1. 对选项A：仅PA=PB无法证明直线l垂直AB，也无法证明O是AB的中点，因此直线l不一定是AB的垂直平分线，小明说得不对，A判断正确，不符合题意；
2. 对选项B：∠A=∠B是PA=PB的固有结论，添加该条件后仍无法证明AO=OB或PO⊥AB，不能推出直线l是AB的垂直平分线，因此该判断错误，符合题意；
3. 对选项C：添加PO⊥AB，结合PA=PB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AO=OB，即直线l垂直且平分AB，是AB的垂直平分线，C判断正确，不符合题意；
4. 对选项D：添加PO平分∠APB，结合PA=PB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得PO⊥AB且AO=OB，即直线l是AB的垂直平分线，D判断正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心是考察线段垂直平分线的判定和等腰三角形性质的结合应用，需要注意仅单个点在线段的垂直平分线上，不能说明过该点的任意直线都是线段的垂直平分线，同时要区分补充条件是否为原有条件的推论，避免误选无效条件对应的选项。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ EAC$的平分线$BP$，$AP$交于点$P$，延长$BA$，$BC$，$PM ⊥ BE$于点$M$，$PN ⊥ BF$于点$N$，则下列结论正确的有（）
①$CP$平分$∠ ACF$；②$∠ ABC + 2∠ APC = 180°$；③$∠ ACB = 2∠ APB$；④$S_{△ PAC} = S_{△ MAP} + S_{△ NCP}$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4.D

【分析】
遇到角平分线及点到角两边的垂直条件时，优先考虑角平分线的性质和判定。解题时先过点P作PD⊥AC于点D，第一步利用角平分线性质推出PM=PN、PM=PD，得到PD=PN，即可判断CP是否平分∠ACF；第二步通过证明直角三角形全等，得到角、面积的等量关系，结合四边形内角和、三角形外角的性质，逐一验证剩余3个结论是否成立即可。
【解析】
过点P作PD⊥AC于点D。
1. 证明结论①：
∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，PN⊥BF，根据角平分线的性质，得PM=PN。
∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC，根据角平分线的性质，得PM=PD。
∴PD=PN，又
∵PD⊥AC，PN⊥BF，根据角平分线的判定，可得CP平分∠ACF，故①正确。
2. 证明结论②：
在Rt△PAM和Rt△PAD中，$\{\begin{array}{l}PA=PA\\PM=PD\end{array} $，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得∠APM=∠APD。
同理可证Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得∠CPD=∠CPN。
∴∠MPN=∠APM+∠APD+∠CPD+∠CPN=2∠APC。
在四边形PMBN中，∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN+∠ABC=360°-90°-90°=180°。
将∠MPN=2∠APC代入得：∠ABC+2∠APC=180°，故②正确。
3. 证明结论③：
∵AP平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAP；
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABP。
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB。
∵∠EAP是△ABP的外角，
∴∠EAP=∠ABP+∠APB，等式两边乘2得：2∠EAP=2∠ABP+2∠APB，即∠EAC=∠ABC+2∠APB。
联立∠EAC=∠ABC+∠ACB，消去∠ABC和∠EAC，得∠ACB=2∠APB，故③正确。
4. 证明结论④：
由Rt△PAM≌Rt△PAD，得$S_{△MAP}=S_{△PAD}$；由Rt△PCD≌Rt△PCN，得$S_{△NCP}=S_{△PCD}$。
∴$S_{△MAP}+S_{△NCP}=S_{△PAD}+S_{△PCD}=S_{△PAC}$，故④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查角平分线相关的几何知识，构造垂直于AC的辅助线是解题的突破口，需要熟练运用全等三角形、三角形内外角关系逐一验证结论，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

5. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图,一把直尺压住射线 OB,另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P,小明说:“射线 OP 就是∠BOA 的平分线.”小明的做法,其理论依据是 .

5. 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

【分析】
首先明确两把完全相同的长方形直尺的宽度是相等的。点P是两把直尺的交点，点P到OA的距离等于压住OA的直尺的宽度，点P到OB的距离等于压住OB的直尺的宽度，由此可得点P到∠AOB两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理，就能推出OP是角平分线，进而得出对应的理论依据。
【解析】
因为两把长方形直尺完全相同，所以它们的宽度相等。点P作为两把直尺的交点，到射线OA的距离等于直尺的宽度，到射线OB的距离也等于直尺的宽度，即点P在∠AOB的内部，且到∠AOB两边的距离相等。根据角平分线的判定定理，可知射线OP就是∠BOA的平分线，因此该做法的理论依据是角平分线的判定定理。
【答案】
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题结合实际操作场景考查几何定理的应用，需要同学们将操作过程转化为几何条件，挖掘出点到角两边距离相等的隐含条件，侧重对基础定理的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

6. 如图，O为△ABC内角平分线的交点，过点O作OM⊥AB于点M.若∠ACB=60°,OM=2,则OC的长为.

6.4

【分析】
解题时首先明确O是△ABC的内心（三个内角平分线的交点），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得O到△ABC三边的距离都相等，即O到AC的距离等于OM=2；再由OC平分∠ACB，结合已知∠ACB=60°，可推出∠OCA=30°，最后在含30°角的直角三角形中，利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质即可求出OC的长度。
【解析】
解：
∵O是△ABC内角平分线的交点，
∴OC平分∠ACB，且点O到△ABC三边的距离相等，
过点O作ON⊥AC于点N，
∵OM⊥AB，OM=2，
∴ON=OM=2，
∵∠ACB=60°，
∴∠OCN=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
在Rt△ONC中，∠ONC=90°，∠OCN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC，
∴OC=2ON=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查角平分线的性质和特殊直角三角形的边的关系，解题的关键是抓住三角形内心到三边距离相等的特点，结合角度关系构造含30°角的直角三角形求解，是角平分线相关题型的典型考法。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,0),B(-1,2),C(3,2),则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是.

7.(1,-2)

【分析】
到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。首先观察B、C两点坐标特点，纵坐标相同，因此BC边平行于x轴，可先求出BC的垂直平分线，确定所求点的横坐标；再设所求点坐标，利用该点到点A、点B的距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
解：到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC三边垂直平分线的交点。
1. 求BC边的垂直平分线：
已知B(-1,2)，C(3,2)，两点纵坐标相等，因此BC平行于x轴。
BC的中点横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，纵坐标为$\frac{2+2}{2}=2$，即中点坐标为(1,2)。
BC的垂直平分线垂直于x轴，因此垂直平分线的解析式为$x=1$，即所求点的横坐标为1，设该点坐标为$(1,y)$。
2. 利用距离相等列方程求y：
该点到A(-3,0)和B(-1,2)的距离相等，根据两点间距离的平方相等可得：
$(1+3)^2 + (y-0)^2 = (1+1)^2 + (y-2)^2$
展开得：$16 + y^2 = 4 + y^2 -4y +4$
化简：$16 = -4y +8$，解得$y=-2$。
因此所求点的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点间距离计算；坐标与图形性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，结合坐标特点可先求出平行于坐标轴的边的垂直平分线，简化计算过程，同时要熟练掌握两点间距离的计算方法。
【难度系数】
0.7