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⑤一个长方形的周长为30，若它的长减少2，宽增加3，就变成一个正方形。
设该长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为。
设该长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为。
答案
5.$\begin{cases} 2(x+y)=30, \\ x-2=y+3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先从题目中提取两个核心等量关系：第一，已知长方形周长为30，可结合长方形周长公式列出第一个方程；第二，长减少2、宽增加3后变成正方形，正方形的边长全部相等，说明变化后的长和变化后的宽大小相等，据此列出第二个方程，将两个方程联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知长方形周长为30，长为$x$，宽为$y$，代入公式得：
$2(x+y)=30$
2. 长减少2后为$x-2$，宽增加3后为$y+3$，变化后图形为正方形，正方形边长相等，因此变化后的长、宽相等，可得：
$x-2=y+3$
将两个方程联立，即可得到对应方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2(x+y)=30, \\ x-2=y+3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长公式，正方形的性质
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题关键是准确梳理题目中的等量关系，结合基础几何公式列方程即可，主要考察对基础数量关系的提取能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目中提取两个核心等量关系：第一，已知长方形周长为30，可结合长方形周长公式列出第一个方程；第二，长减少2、宽增加3后变成正方形，正方形的边长全部相等，说明变化后的长和变化后的宽大小相等，据此列出第二个方程，将两个方程联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知长方形周长为30，长为$x$，宽为$y$，代入公式得：
$2(x+y)=30$
2. 长减少2后为$x-2$，宽增加3后为$y+3$，变化后图形为正方形，正方形边长相等，因此变化后的长、宽相等，可得：
$x-2=y+3$
将两个方程联立，即可得到对应方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2(x+y)=30, \\ x-2=y+3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长公式，正方形的性质
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题关键是准确梳理题目中的等量关系，结合基础几何公式列方程即可，主要考察对基础数量关系的提取能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
⑥有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45。设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组：。
答案
6.$\begin{cases} x+y=9, \\ (10x+y)-(10y+x)=45 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的两个等量关系：①个位数字与十位数字之和为9；②个位与十位数字对调后的新数比原数大45。其次要掌握两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字，分别表示出原数和对调后的新数，再对应等量关系列方程即可。
【解析】
第一步：根据“个位数字与十位数字之和为9”，已知个位数字为x，十位数字为y，可列第一个方程：$x + y = 9$；
第二步：表示原数和对调后的新数：原两位数的十位是y、个位是x，因此原数为$10y + x$；对调后新两位数的十位是x、个位是y，因此新数为$10x + y$；
第三步：根据“新数比原数大45”，可列第二个方程：$(10x + y) - (10y + x) = 45$；
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=9, \\ (10x+y)-(10y+x)=45 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的表示方法
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系，同时熟练掌握多位数的表示规则，注意区分数字对调前后十位和个位的对应位置，避免将原数和新数的大小关系搞反。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的两个等量关系：①个位数字与十位数字之和为9；②个位与十位数字对调后的新数比原数大45。其次要掌握两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字，分别表示出原数和对调后的新数，再对应等量关系列方程即可。
【解析】
第一步：根据“个位数字与十位数字之和为9”，已知个位数字为x，十位数字为y，可列第一个方程：$x + y = 9$；
第二步：表示原数和对调后的新数：原两位数的十位是y、个位是x，因此原数为$10y + x$；对调后新两位数的十位是x、个位是y，因此新数为$10x + y$；
第三步：根据“新数比原数大45”，可列第二个方程：$(10x + y) - (10y + x) = 45$；
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=9, \\ (10x+y)-(10y+x)=45 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的表示方法
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系，同时熟练掌握多位数的表示规则，注意区分数字对调前后十位和个位的对应位置，避免将原数和新数的大小关系搞反。
【难度系数】
0.7
⑦某出租车起步价所包含的路程为0～2 km，超过2 km的部分按每千米另收费.津津乘坐这种出租车走了7 km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km，付了28元.设这种出租车的起步价为x元，超过2 km后每千米收费y元，则可列方程组为.
答案
7.$\begin{cases} x+(7-2)y=16, \\ x+(13-2)y=28 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先明确出租车的分段计费规则：行驶路程不超过2km时仅收取起步价x元，超过2km时，总费用=起步价+超出2km的路程×超出部分每千米收费y元。接下来分别对应津津、盼盼的乘车路程和支付费用，代入上述等量关系分别列出方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
根据分段计费规则，可得总费用的等量关系：$\mathrm{总费用}=\mathrm{起步价}+(\mathrm{行驶总路程}-2\mathrm{km})×\mathrm{超出后每千米收费}$
1. 津津乘坐了7km，超出2km的路程为$(7-2)\mathrm{km}$，总费用为16元，代入等量关系得：$x+(7-2)y=16$
2. 盼盼乘坐了13km，超出2km的路程为$(13-2)\mathrm{km}$，总费用为28元，代入等量关系得：$x+(13-2)y=28$
将两个方程联立，即可得到方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+(7-2)y=16, \\ x+(13-2)y=28 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是准确把握分段计费的费用构成，理清不同行驶路程对应的超出起步路程的长度，就能快速列出符合要求的方程组。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确出租车的分段计费规则：行驶路程不超过2km时仅收取起步价x元，超过2km时，总费用=起步价+超出2km的路程×超出部分每千米收费y元。接下来分别对应津津、盼盼的乘车路程和支付费用，代入上述等量关系分别列出方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
根据分段计费规则，可得总费用的等量关系：$\mathrm{总费用}=\mathrm{起步价}+(\mathrm{行驶总路程}-2\mathrm{km})×\mathrm{超出后每千米收费}$
1. 津津乘坐了7km，超出2km的路程为$(7-2)\mathrm{km}$，总费用为16元，代入等量关系得：$x+(7-2)y=16$
2. 盼盼乘坐了13km，超出2km的路程为$(13-2)\mathrm{km}$，总费用为28元，代入等量关系得：$x+(13-2)y=28$
将两个方程联立，即可得到方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+(7-2)y=16, \\ x+(13-2)y=28 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是准确把握分段计费的费用构成，理清不同行驶路程对应的超出起步路程的长度，就能快速列出符合要求的方程组。
【难度系数】
0.8
三、耐心做一做。
⑧已知A市至B市的航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风飞往B市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的速度与风速.
⑧已知A市至B市的航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风飞往B市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的速度与风速.
答案
8. 飞机的速度为 420 km/h,风速为 60 km/h.
解析
【分析】
这是典型的顺风逆风类行程问题，解题思路如下：第一步先统一时间单位，将分钟换算为小时；第二步明确核心等量关系：顺风行驶速度=飞机无风时的速度+风速，逆风行驶速度=飞机无风时的速度-风速，且往返路程均为1200km，满足路程=速度×时间的公式；第三步设飞机速度和风速两个未知数，根据两个路程等量关系列二元一次方程组，求解方程组即可得到结果。
【解析】
首先进行单位换算：
2小时30分 = 2.5小时 = $\frac{5}{2}$小时，3小时20分 = $3\frac{1}{3}$小时 = $\frac{10}{3}$小时
设飞机无风时的平均速度为$x$ km/h，风速为$y$ km/h，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{5}{2}(x+y) = 1200 \\\frac{10}{3}(x-y) = 1200\end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边同时乘$\frac{2}{5}$，得：$x + y = 480$ ①
第二个方程两边同时乘$\frac{3}{10}$，得：$x - y = 360$ ②
①+②，得：$2x = 840$，解得$x = 420$
把$x=420$代入①，得：$420 + y = 480$，解得$y = 60$
【答案】
飞机的速度为 420 km/h,风速为 60 km/h.
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题
【点评】
本题是经典的飞行类顺风逆风问题，解题核心是准确梳理不同行驶状态下的速度组成，结合路程、速度、时间的关系列方程求解，掌握基础等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是典型的顺风逆风类行程问题，解题思路如下：第一步先统一时间单位，将分钟换算为小时；第二步明确核心等量关系：顺风行驶速度=飞机无风时的速度+风速，逆风行驶速度=飞机无风时的速度-风速，且往返路程均为1200km，满足路程=速度×时间的公式；第三步设飞机速度和风速两个未知数，根据两个路程等量关系列二元一次方程组，求解方程组即可得到结果。
【解析】
首先进行单位换算：
2小时30分 = 2.5小时 = $\frac{5}{2}$小时，3小时20分 = $3\frac{1}{3}$小时 = $\frac{10}{3}$小时
设飞机无风时的平均速度为$x$ km/h，风速为$y$ km/h，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{5}{2}(x+y) = 1200 \\\frac{10}{3}(x-y) = 1200\end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边同时乘$\frac{2}{5}$，得：$x + y = 480$ ①
第二个方程两边同时乘$\frac{3}{10}$，得：$x - y = 360$ ②
①+②，得：$2x = 840$，解得$x = 420$
把$x=420$代入①，得：$420 + y = 480$，解得$y = 60$
【答案】
飞机的速度为 420 km/h,风速为 60 km/h.
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题
【点评】
本题是经典的飞行类顺风逆风问题，解题核心是准确梳理不同行驶状态下的速度组成，结合路程、速度、时间的关系列方程求解，掌握基础等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
⑨根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：
甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
答案
9. 调整前甲地该商品的销售单价为 40 元，乙地该商品的销售单价为 50 元.
解析
【分析】
本题存在两个未知量，即调整前甲、乙两地的商品销售单价，适合用二元一次方程组求解。首先提取题目中的两个核心等量关系：①调整前甲地销售单价比乙地少10元；②调整后（甲地单价上涨10%，乙地单价降低5元）甲地销售单价比乙地少1元。接下来我们设两个未知数，根据等量关系列出方程组，求解后验证结果符合题意即可。
【解析】
解：设调整前甲地该商品的销售单价为$x$元，乙地该商品的销售单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y - x = 10\\(y - 5) - (1+10\%)x = 1\end{cases}$
将第一个方程变形为$y=x+10$，代入第二个方程：
$(x+10-5) - 1.1x = 1$
化简得：$x+5-1.1x=1$
合并同类项得：$-0.1x=-4$
解得：$x=40$
把$x=40$代入$y=x+10$，得$y=40+10=50$。
经检验，$x=40$、$y=50$符合题意。
【答案】
调整前甲地该商品的销售单价为 40 元，乙地该商品的销售单价为 50 元。
【知识点】
二元一次方程组应用、解二元一次方程组、实际问题等量分析
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题核心是找准调整前后的两个数量关系，建立方程组即可顺利求解，能够锻炼学生从实际问题中提取有效数学信息的能力。
【难度系数】
0.7
本题存在两个未知量，即调整前甲、乙两地的商品销售单价，适合用二元一次方程组求解。首先提取题目中的两个核心等量关系：①调整前甲地销售单价比乙地少10元；②调整后（甲地单价上涨10%，乙地单价降低5元）甲地销售单价比乙地少1元。接下来我们设两个未知数，根据等量关系列出方程组，求解后验证结果符合题意即可。
【解析】
解：设调整前甲地该商品的销售单价为$x$元，乙地该商品的销售单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y - x = 10\\(y - 5) - (1+10\%)x = 1\end{cases}$
将第一个方程变形为$y=x+10$，代入第二个方程：
$(x+10-5) - 1.1x = 1$
化简得：$x+5-1.1x=1$
合并同类项得：$-0.1x=-4$
解得：$x=40$
把$x=40$代入$y=x+10$，得$y=40+10=50$。
经检验，$x=40$、$y=50$符合题意。
【答案】
调整前甲地该商品的销售单价为 40 元，乙地该商品的销售单价为 50 元。
【知识点】
二元一次方程组应用、解二元一次方程组、实际问题等量分析
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题核心是找准调整前后的两个数量关系，建立方程组即可顺利求解，能够锻炼学生从实际问题中提取有效数学信息的能力。
【难度系数】
0.7
⑩一辆汽车从A地驶往B地，前$\frac{1}{3}$路段为普通公路，其余路段为高速公路。已知该汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，该汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h。请根据以上信息，就该汽车行驶的路程或时间，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程。
答案
10.（答案不唯一）问题:普通公路和高速公路的长各为多少千米? 设普通公路的长为x km,高速公路的长为y km. 根据题意,得$\begin{cases} 2x=y, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60, \\ y=120. \end{cases}$答:普通公路的长为 60 km,高速公路的长为 120 km.
解析
【分析】
首先我们需要结合题干信息提出一个能用二元一次方程组解决的合理问题，比如求普通公路和高速公路的长度。接下来找题中两个核心等量关系：①普通公路占总路程的$\frac{1}{3}$，高速公路占总路程的$\frac{2}{3}$，因此高速公路长度是普通公路长度的2倍；②汽车在普通公路的行驶时间+在高速公路的行驶时间=总行驶时间2.2h，其中行驶时间=路程÷行驶速度。找到等量关系后即可设未知数、列方程组求解。
【解析】
提出问题：普通公路和高速公路的长各为多少千米？
解：设普通公路的长为$x$ km，高速公路的长为$y$ km。
根据路程占比关系可得：$2x=y$
根据总行驶时间可得：$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2$
联立得方程组：$\begin{cases} 2x=y \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2 \end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得$\dfrac{x}{60}+\dfrac{2x}{100}=2.2$，两边同乘300消去分母得$5x+6x=660$，合并同类项得$11x=660$，解得$x=60$。
把$x=60$代入$y=2x$，得$y=2×60=120$。
【答案】
问题:普通公路和高速公路的长各为多少千米? 设普通公路的长为x km,高速公路的长为y km. 根据题意,得$\begin{cases} 2x=y, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60, \\ y=120. \end{cases}$答:普通公路的长为 60 km,高速公路的长为 120 km.
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程问题基本公式
【点评】
本题属于开放性行程问题，需要先结合题干提出合理的可求解问题，再准确挖掘等量关系建立方程模型求解，能够较好地考查信息提取能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先我们需要结合题干信息提出一个能用二元一次方程组解决的合理问题，比如求普通公路和高速公路的长度。接下来找题中两个核心等量关系：①普通公路占总路程的$\frac{1}{3}$，高速公路占总路程的$\frac{2}{3}$，因此高速公路长度是普通公路长度的2倍；②汽车在普通公路的行驶时间+在高速公路的行驶时间=总行驶时间2.2h，其中行驶时间=路程÷行驶速度。找到等量关系后即可设未知数、列方程组求解。
【解析】
提出问题：普通公路和高速公路的长各为多少千米？
解：设普通公路的长为$x$ km，高速公路的长为$y$ km。
根据路程占比关系可得：$2x=y$
根据总行驶时间可得：$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2$
联立得方程组：$\begin{cases} 2x=y \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2 \end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得$\dfrac{x}{60}+\dfrac{2x}{100}=2.2$，两边同乘300消去分母得$5x+6x=660$，合并同类项得$11x=660$，解得$x=60$。
把$x=60$代入$y=2x$，得$y=2×60=120$。
【答案】
问题:普通公路和高速公路的长各为多少千米? 设普通公路的长为x km,高速公路的长为y km. 根据题意,得$\begin{cases} 2x=y, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=2.2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60, \\ y=120. \end{cases}$答:普通公路的长为 60 km,高速公路的长为 120 km.
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程问题基本公式
【点评】
本题属于开放性行程问题，需要先结合题干提出合理的可求解问题，再准确挖掘等量关系建立方程模型求解，能够较好地考查信息提取能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
