登录
1 [2025 泗阳期末]已知等式$a=b$，则下列变形不正确的是（
A.$3a - 2 = 3b - 2$
B.$-3a = -3b$
C.$\frac{a}{5} = \frac{b}{5}$
D.$a + 1 = b - 1$
D
）A.$3a - 2 = 3b - 2$
B.$-3a = -3b$
C.$\frac{a}{5} = \frac{b}{5}$
D.$a + 1 = b - 1$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题思路为先明确等式的两个核心性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，找出不符合的选项即可。等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
根据等式的性质逐一分析选项：
A. 等式$a=b$两边先同时乘3得$3a=3b$，再同时减2得$3a-2=3b-2$，变形正确，不符合题意；
B. 等式$a=b$两边同时乘$-3$得$-3a=-3b$，变形正确，不符合题意；
C. 等式$a=b$两边同时除以5（5≠0）得$\frac{a}{5}=\frac{b}{5}$，变形正确，不符合题意；
D. 等式左边加1，右边减1，不是同时加或减同一个数，不符合等式性质1，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握等式变形的规则，注意等式两边的运算必须完全一致，做除法运算时除数不能为0。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式基本性质的应用，解题思路为先明确等式的两个核心性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，找出不符合的选项即可。等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
根据等式的性质逐一分析选项：
A. 等式$a=b$两边先同时乘3得$3a=3b$，再同时减2得$3a-2=3b-2$，变形正确，不符合题意；
B. 等式$a=b$两边同时乘$-3$得$-3a=-3b$，变形正确，不符合题意；
C. 等式$a=b$两边同时除以5（5≠0）得$\frac{a}{5}=\frac{b}{5}$，变形正确，不符合题意；
D. 等式左边加1，右边减1，不是同时加或减同一个数，不符合等式性质1，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握等式变形的规则，注意等式两边的运算必须完全一致，做除法运算时除数不能为0。
【难度系数】
0.9
2 已知$2x=3y(x≠0)$，则下列比例式成立的是（
A.$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
B
）A.$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查等式的性质与比例的基本性质应用，解题时有两种清晰的思路：思路一，直接对已知等式$2x=3y$利用等式的性质2，两边同时除以同一个不为0的数，变形为比例式后匹配选项；思路二，利用“比例的两内项之积等于两外项之积”，把每个选项的比例式转化为等积式，和已知的$2x=3y$对比，一致的即为正确选项，第二种交叉验证的方法更不易出错。
【解析】
我们可以通过交叉验证的方法逐个判断选项，根据比例的基本性质：比例的两内项乘积等于两外项乘积：
选项A：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，错误；
选项B：$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件完全一致，正确；
选项C：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，错误；
选项D：$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不符，错误。
也可以直接对已知式变形：等式$2x=3y$两边同时除以6，化简得$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，直接得到正确选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，熟练掌握比例式和等积式的互化方法，就能快速判断出正确选项，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式的性质与比例的基本性质应用，解题时有两种清晰的思路：思路一，直接对已知等式$2x=3y$利用等式的性质2，两边同时除以同一个不为0的数，变形为比例式后匹配选项；思路二，利用“比例的两内项之积等于两外项之积”，把每个选项的比例式转化为等积式，和已知的$2x=3y$对比，一致的即为正确选项，第二种交叉验证的方法更不易出错。
【解析】
我们可以通过交叉验证的方法逐个判断选项，根据比例的基本性质：比例的两内项乘积等于两外项乘积：
选项A：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，错误；
选项B：$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件完全一致，正确；
选项C：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，错误；
选项D：$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不符，错误。
也可以直接对已知式变形：等式$2x=3y$两边同时除以6，化简得$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，直接得到正确选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，熟练掌握比例式和等积式的互化方法，就能快速判断出正确选项，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.9
3 教材P106例1变式 根据下列情境中的等量关系列出一个等式.
(1) 比$x$的3倍小5的数等于$x$的4倍：
(2) 如图，将一个边长为$(a+b)$的正方形纸片，先剪去一个边长为$a$的正方形，再沿虚线剪开，可得两个完全重合的梯形：
(3) 某校组织七年级学生研学旅行，租用载客量为$m$人的同型号客车.若租用4辆，则还剩30人没有座位；若租用5辆，则还空10个座位：
(1) 比$x$的3倍小5的数等于$x$的4倍：
$3x-5=4x$
.(2) 如图，将一个边长为$(a+b)$的正方形纸片，先剪去一个边长为$a$的正方形，再沿虚线剪开，可得两个完全重合的梯形：
$(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
.(3) 某校组织七年级学生研学旅行，租用载客量为$m$人的同型号客车.若租用4辆，则还剩30人没有座位；若租用5辆，则还空10个座位：
$4m+30=5m-10$
.答案
(1) $3x-5=4x$
(2) $(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
(3) $4m+30=5m-10$
(2) $(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
(3) $4m+30=5m-10$
解析
【分析】
(1) 先拆解文字中的数量关系：先表示x的3倍，再表示比它小5的数，再表示x的4倍，根据二者相等列等式即可；
(2) 本题的等量关系是面积相等：大正方形面积减去剪去的小正方形面积，等于剩余两个梯形的总面积，分别计算两部分面积，再列等式；
(3) 本题的不变量是学生总人数，分别根据两种租车方案表示出总人数，二者相等即可列出等式。
【解析】
(1) x的3倍为$3x$，比$3x$小5的数为$3x-5$，x的4倍为$4x$，根据二者相等列式：$\boldsymbol{3x-5=4x}$；
(2) 边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，剪去的边长为$a$的小正方形面积为$a^2$，剩余部分面积为$(a+b)^2-a^2$；
单个梯形的上底为$a$、下底为$a+b$、高为$b$，单个梯形面积为$\frac{1}{2}(a+a+b)b$，两个完全相同的梯形总面积为$2×\frac{1}{2}(a+a+b)b=b(a+a+b)$，根据剩余面积相等列式：$\boldsymbol{(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)}$；
(3) 学生总人数固定，租用4辆客车时总人数为$4m+30$，租用5辆客车时总人数为$5m-10$，根据总人数相等列式：$\boldsymbol{4m+30=5m-10}$。
【答案】
(1) $3x-5=4x$
(2) $(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
(3) $4m+30=5m-10$
【知识点】
列代数式、面积等量关系、实际问题列等式
【点评】
本题考查从文字描述和几何图形中提取相等关系列等式的能力，是后续学习方程知识的基础，解题核心是准确找到不变量或对等的数量关系。
【难度系数】
0.85
(1) 先拆解文字中的数量关系：先表示x的3倍，再表示比它小5的数，再表示x的4倍，根据二者相等列等式即可；
(2) 本题的等量关系是面积相等：大正方形面积减去剪去的小正方形面积，等于剩余两个梯形的总面积，分别计算两部分面积，再列等式；
(3) 本题的不变量是学生总人数，分别根据两种租车方案表示出总人数，二者相等即可列出等式。
【解析】
(1) x的3倍为$3x$，比$3x$小5的数为$3x-5$，x的4倍为$4x$，根据二者相等列式：$\boldsymbol{3x-5=4x}$；
(2) 边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，剪去的边长为$a$的小正方形面积为$a^2$，剩余部分面积为$(a+b)^2-a^2$；
单个梯形的上底为$a$、下底为$a+b$、高为$b$，单个梯形面积为$\frac{1}{2}(a+a+b)b$，两个完全相同的梯形总面积为$2×\frac{1}{2}(a+a+b)b=b(a+a+b)$，根据剩余面积相等列式：$\boldsymbol{(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)}$；
(3) 学生总人数固定，租用4辆客车时总人数为$4m+30$，租用5辆客车时总人数为$5m-10$，根据总人数相等列式：$\boldsymbol{4m+30=5m-10}$。
【答案】
(1) $3x-5=4x$
(2) $(a+b)^2-a^2=b(a+a+b)$
(3) $4m+30=5m-10$
【知识点】
列代数式、面积等量关系、实际问题列等式
【点评】
本题考查从文字描述和几何图形中提取相等关系列等式的能力，是后续学习方程知识的基础，解题核心是准确找到不变量或对等的数量关系。
【难度系数】
0.85
4 王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说：“$x=5.$”小刚说：“不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立.”请判断他们两人的说法是否正确，并用等式的基本性质说明理由.
答案
小明的说法错误,小刚的说法正确 理由:当$m-3=0$时,$x$可以为任意数;当$m-3≠0$时,$x=5$,所以小明的说法错误,小刚的说法正确.
解析
【分析】
要判断两人说法是否正确，首先要明确等式基本性质2的使用前提：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题中x的系数是含字母m的整式(m-3)，不能直接将等式两边同时除以(m-3)，需要分两种情况讨论：①m-3=0；②m-3≠0，结合两种情况判断x的取值，即可得出结论。
【解析】
根据等式的基本性质，分类讨论如下：
1. 当$m-3=0$（即$m=3$）时，等式左边为$0 × x = 0$，等式右边为$5 × 0 = 0$，此时无论x取任意数值，等式都成立，因此x不一定等于5；
2. 当$m-3 ≠ 0$时，根据等式的基本性质2，等式两边可同时除以不为0的$(m-3)$，解得$x=5$。
因此小明未考虑$m-3=0$的特殊情况，说法错误；小刚的说法符合两种情况的讨论结果，是正确的。
【答案】
小明的说法错误,小刚的说法正确 理由:当$m-3=0$时,$x$可以为任意数;当$m-3≠0$时,$x=5$,所以小明的说法错误,小刚的说法正确.
【知识点】
等式的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等式两边同时除以的整式可能为0的情况，解题时遇到含字母的系数，需要先判断系数是否为0，分情况讨论，避免因忽略特殊情况出错。
【难度系数】
0.6
要判断两人说法是否正确，首先要明确等式基本性质2的使用前提：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题中x的系数是含字母m的整式(m-3)，不能直接将等式两边同时除以(m-3)，需要分两种情况讨论：①m-3=0；②m-3≠0，结合两种情况判断x的取值，即可得出结论。
【解析】
根据等式的基本性质，分类讨论如下：
1. 当$m-3=0$（即$m=3$）时，等式左边为$0 × x = 0$，等式右边为$5 × 0 = 0$，此时无论x取任意数值，等式都成立，因此x不一定等于5；
2. 当$m-3 ≠ 0$时，根据等式的基本性质2，等式两边可同时除以不为0的$(m-3)$，解得$x=5$。
因此小明未考虑$m-3=0$的特殊情况，说法错误；小刚的说法符合两种情况的讨论结果，是正确的。
【答案】
小明的说法错误,小刚的说法正确 理由:当$m-3=0$时,$x$可以为任意数;当$m-3≠0$时,$x=5$,所以小明的说法错误,小刚的说法正确.
【知识点】
等式的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等式两边同时除以的整式可能为0的情况，解题时遇到含字母的系数，需要先判断系数是否为0，分情况讨论，避免因忽略特殊情况出错。
【难度系数】
0.6
5 利用等式的基本性质，将下列等式变形为$x=c$（$c$为常数）的形式：
(1) $\frac{1}{2}+x=-3$；
(2) $\frac{1}{3}x=-9$；
(3) $-2x=-3x+\frac{5}{3}$。
(1) $\frac{1}{2}+x=-3$；
(2) $\frac{1}{3}x=-9$；
(3) $-2x=-3x+\frac{5}{3}$。
答案
(1) $x=-3\frac{1}{2}$
(2) $x=-27$
(3) $x=\frac{5}{3}$
(2) $x=-27$
(3) $x=\frac{5}{3}$
解析
【分析】
解题需运用等式的两条基本性质：①等式两边同时加（或减）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。针对每个等式的结构特征选择对应性质变形：(1)左边含常数项$\frac{1}{2}$，两边同时减$\frac{1}{2}$可消去左侧常数项；(2)x的系数为$\frac{1}{3}$，两边同时乘3可把系数化为1；(3)两边同时加3x可将含x的项全部移到左侧，直接得到x的值。
【解析】
(1) 根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}=-3-\frac{1}{2}$
化简得：$x=-3\frac{1}{2}$
(2) 根据等式的基本性质2，等式两边同时乘3，得：
$\frac{1}{3}x×3=-9×3$
化简得：$x=-27$
(3) 根据等式的基本性质1，等式两边同时加上$3x$，得：
$-2x+3x=-3x+\frac{5}{3}+3x$
化简得：$x=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $x=-3\frac{1}{2}$
(2) $x=-27$
(3) $x=\frac{5}{3}$
【知识点】
等式的基本性质、移项、系数化为1
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，核心考查等式变形时需保证两边同时进行相同运算，解题时要注意运算符号的变化，避免漏算错算。
【难度系数】
0.9
解题需运用等式的两条基本性质：①等式两边同时加（或减）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。针对每个等式的结构特征选择对应性质变形：(1)左边含常数项$\frac{1}{2}$，两边同时减$\frac{1}{2}$可消去左侧常数项；(2)x的系数为$\frac{1}{3}$，两边同时乘3可把系数化为1；(3)两边同时加3x可将含x的项全部移到左侧，直接得到x的值。
【解析】
(1) 根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}=-3-\frac{1}{2}$
化简得：$x=-3\frac{1}{2}$
(2) 根据等式的基本性质2，等式两边同时乘3，得：
$\frac{1}{3}x×3=-9×3$
化简得：$x=-27$
(3) 根据等式的基本性质1，等式两边同时加上$3x$，得：
$-2x+3x=-3x+\frac{5}{3}+3x$
化简得：$x=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $x=-3\frac{1}{2}$
(2) $x=-27$
(3) $x=\frac{5}{3}$
【知识点】
等式的基本性质、移项、系数化为1
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，核心考查等式变形时需保证两边同时进行相同运算，解题时要注意运算符号的变化，避免漏算错算。
【难度系数】
0.9
6 [2025 宿城期末]下列变形中，不正确的是（
A.若 $ a - 3 = b - 3 $，则 $ a = b $
B.若 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $，则 $ a = b $
C.若 $ a = b $，则 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $
D.若 $ ac = bc $，则 $ a = b $
D
）A.若 $ a - 3 = b - 3 $，则 $ a = b $
B.若 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $，则 $ a = b $
C.若 $ a = b $，则 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $
D.若 $ ac = bc $，则 $ a = b $
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质，尤其要注意“等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0”的限制条件，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，最终选出不正确的选项。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
1. 等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；
2. 等式两边同时乘同一个数（或整式），或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
A选项：等式$a-3=b-3$两边同时加3，得$a=b$，变形符合等式性质1，正确，不符合题意；
B选项：式子$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$中$c$是分母，因此$c≠0$，等式两边同时乘$c$，得$a=b$，变形符合等式性质2，正确，不符合题意；
C选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0，等式$a=b$两边同时除以$c^2+1$，得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，变形符合等式性质2，正确，不符合题意；
D选项：当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，$ac=bc$都成立，此时不能直接两边除以$c$得到$a=b$，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、平方的非负性、分式有意义的条件
【点评】
本题是等式变形的基础易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以含字母的式子时，要先确认该式子不为0，避免默认字母取值不为0导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查等式基本性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质，尤其要注意“等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0”的限制条件，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，最终选出不正确的选项。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
1. 等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；
2. 等式两边同时乘同一个数（或整式），或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
A选项：等式$a-3=b-3$两边同时加3，得$a=b$，变形符合等式性质1，正确，不符合题意；
B选项：式子$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$中$c$是分母，因此$c≠0$，等式两边同时乘$c$，得$a=b$，变形符合等式性质2，正确，不符合题意；
C选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0，等式$a=b$两边同时除以$c^2+1$，得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，变形符合等式性质2，正确，不符合题意；
D选项：当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，$ac=bc$都成立，此时不能直接两边除以$c$得到$a=b$，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、平方的非负性、分式有意义的条件
【点评】
本题是等式变形的基础易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以含字母的式子时，要先确认该式子不为0，避免默认字母取值不为0导致判断错误。
【难度系数】
0.7
