7 已知$2a = b + 1$. 给出下列等式:① $2a + 1 = b + 2$;② $2a - b = 1$;③ $a = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$;④ $4a = 2b + 1$. 其中,不成立的是________(填序号).

④

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时首先回忆等式的两条核心性质：等式两边同时加/减同一个整式，等式仍成立；等式两边同时乘/除以同一个不为0的整式，等式仍成立。我们以已知等式$2a = b + 1$为基础，按照等式性质逐个验证4个给出的等式是否成立，验证时注意所有项要同步变形，不能漏项。
【解析】
已知$2a = b + 1$，逐一判断：
1. 验证①：根据等式性质1，等式两边同时加1，左边为$2a+1$，右边为$b+1+1=b+2$，可得$2a + 1 = b + 2$，故①成立；
2. 验证②：根据等式性质1，等式两边同时减$b$，左边为$2a - b$，右边为$b+1 - b=1$，可得$2a - b = 1$，故②成立；
3. 验证③：根据等式性质2，等式两边同时除以2，左边为$a$，右边为$\frac{b+1}{2}=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}$，可得$a = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$，故③成立；
4. 验证④：根据等式性质2，等式两边同时乘2，左边为$4a$，右边为$2(b+1)=2b+2$，不等于$2b+1$，故④不成立。
【答案】
④
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；等式变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点为对等式两边同时乘除一个数时，漏乘常数项，比如验证④时容易忽略给右侧的1乘2，只要熟练掌握等式性质、变形时确保每一项同步操作就能正确解题。
【难度系数】
0.8

8（易错题）在将等式$3x-2y=2x-2y$变形时，小明的变形过程如下：
因为$3x-2y=2x-2y$，所以$3x=2x$.（第一步）
所以$3=2$.（第二步）
（1）上述过程中，第一步的依据是什么？
（2）小明第二步的结论正确吗？请说明理由。

(1) 第一步的依据是等式的基本性质1
(2) 小明第二步的结论不正确 理由:因为根据等式的基本性质2,等式两边都除以同一个不为0的数,等式仍然成立,所以当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立.所以小明第二步的结论不正确.

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：1. 解决第一问时，先观察第一步的变形特征：等式左右两边同时加上了2y，对应等式的基本性质1即可得出依据；2. 解决第二问时，先回忆等式基本性质2的限制条件：等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，第二步是等式两边同时除以x，需要考虑x是否可能为0，若x为0则该变形不成立，由此判断结论正误并说明理由。
【解析】
(1) 第一步是对等式$3x-2y=2x-2y$的左右两边同时加上$2y$，得到$3x=2x$，符合等式基本性质1的内容，因此第一步的依据为等式的基本性质1。
(2) 小明第二步的结论是错误的。第二步变形是对$3x=2x$的两边同时除以x得到$3=2$，根据等式基本性质2的要求，等式两边除以的数必须不为0，此处x有可能等于0，当x=0时，不能直接对等式两边除以x，因此该变形不成立，结论错误。
【答案】
(1) 第一步的依据是等式的基本性质1
(2) 小明第二步的结论不正确 理由:因为根据等式的基本性质2,等式两边都除以同一个不为0的数,等式仍然成立,所以当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立.所以小明第二步的结论不正确.
【知识点】
1. 等式的基本性质1
2. 等式的基本性质2
【点评】
本题是等式变形类的易错题，主要考查对等式基本性质的精准理解，尤其是等式基本性质2中“除数不能为0”的前提限制，做题时要注意考虑特殊取值情况，避免忽略限制条件出现错误。
【难度系数】
0.7

9 教材P108例2变式 利用等式的基本性质，将下列等式变形为$x=c$（$c$为常数）的形式：
(1) $\frac{5}{2}x -7=\frac{3}{2}x +1$；
(2) $56=3x +32 -2x$；
(3) $\frac{2}{3}x -7=1$；
(4) $7.9x +1.58 +2x=7.9x -8.42$。

(1) $x=8$
(2) $x=24$
(3) $x=12$
(4) $x=-5$

【分析】
本题要求利用等式的基本性质将方程变形为$x=c$的形式，解题核心思路为：①利用等式性质1，将含未知数$x$的项移到等式同侧，常数项移到等式另一侧（移项要变号）；②合并同类项，将方程化为$ax=b$（$a≠0$）的形式；③利用等式性质2，两边同时除以$a$（或乘$a$的倒数），将$x$的系数化为1，即可得到$x=c$的结果。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$\frac{3}{2}x$、加上7，得：
$\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}x = 1 + 7$
合并同类项得：$x=8$
(2) 先合并等式右边的同类项，得：
$56 = x + 32$
根据等式的性质1，等式两边同时减去32，得：
$56 - 32 = x$
即$x=24$
(3) 根据等式的性质1，等式两边同时加上7，得：
$\frac{2}{3}x = 8$
根据等式的性质2，等式两边同时乘$\frac{3}{2}$，得：
$x = 8 × \frac{3}{2} = 12$
(4) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$7.9x$，得：
$1.58 + 2x = -8.42$
再根据等式的性质1，等式两边同时减去1.58，得：
$2x = -8.42 - 1.58$
合并同类项得：$2x = -10$
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$x = -5$
【答案】
(1) $x=8$
(2) $x=24$
(3) $x=12$
(4) $x=-5$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程求解，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察等式基本性质的应用，是后续解复杂方程的基础，解题时需注意移项要改变符号，计算过程认真细心即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8

10 问题:怎样将$0.\dot{8}$表示成分数? 小明的探究过程如下:设 $x=0.\dot{8}$①. 所以 $10x=10×0.\dot{8}$②, 即 $10x=8.\dot{8}$③. 所以 $10x=8+0.\dot{8}$④, 即 $10x=8+x$⑤. 所以 $9x=8$⑥. 所以 $x=\frac{8}{9}$⑦, 即 $0.\dot{8}=\frac{8}{9}$.
根据以上信息,回答下面的问题:
(1) 从步骤①到步骤②,变形的依据是,从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是;
(2) 仿照上述探究过程,请将 $0.\ddot{36}$ 表示成分数.

(1) 等式的基本性质2 等式的基本性质1
(2) 设 $0.\ddot{36}=x$. 所以 $100x=100×0.\ddot{36}$, 即 $100x=36.\ddot{36}$. 所以 $100x=36+0.\ddot{36}$, 即 $100x=36+x$. 所以 $99x=36$. 所以 $x=\frac{4}{11}$, 即 $0.\ddot{36}=\frac{4}{11}$

【分析】
（1）首先明确等式的两条基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立，为等式基本性质2；等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍成立，为等式基本性质1。步骤①到②是等式两边同乘10，对应性质2；步骤⑤到⑥是等式两边同减x，对应性质1。
（2）仿照示例方法，先观察到$0.\ddot{36}$的循环节是2位，因此将原数乘100，使乘后所得数的小数部分和原数小数部分完全相同，再通过两式相减消去循环小数部分，解一元一次方程即可得到对应分数。
【解析】
（1）从步骤①到步骤②，是给等式$x=0.\dot{8}$左右两边同时乘10，变形依据是等式的基本性质2；从步骤⑤到步骤⑥，是给等式$10x=8+x$左右两边同时减x，变形依据是等式的基本性质1。
（2）设$0.\ddot{36}=x$，
等式两边同时乘100，得$100x=100×0.\ddot{36}$，即$100x=36.\ddot{36}$，
所以$100x=36+0.\ddot{36}$，将$0.\ddot{36}=x$代入得$100x=36+x$，
等式两边同时减x，得$99x=36$，
等式两边同时除以99，化简得$x=\frac{4}{11}$。
【答案】
(1) 等式的基本性质2 等式的基本性质1
(2) $0.\ddot{36}=\frac{4}{11}$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程的解法，循环小数化分数
【点评】
本题考查等式基本性质的灵活应用，解题核心是根据循环节的位数将循环小数扩大对应倍数，使扩大后的数与原数的小数部分完全相同，进而消去循环部分转化为一元一次方程求解，属于方法迁移类题型，掌握规律后难度较低。
【难度系数】
0.8