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1.「2025江苏无锡月考」下列说法中，不正确的是（
A.圆是轴对称图形
B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
C
）A.圆是轴对称图形
B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
答案
1.C 圆是轴对称图形,故A说法正确;圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴,故B,D说法正确,C说法错误.故选C.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是轴对称图形的对称轴为直线，不是线段或射线；二是圆的轴对称性特征：圆是轴对称图形，所有经过圆心的直线都是它的对称轴。接下来逐个验证选项，重点区分“直径（线段）”和“直径所在的直线（直线）”的差异，即可判断出错误选项。
【解析】
结合概念逐一分析选项：
1. 选项A：圆沿任意一条过圆心的直线对折后，直线两侧的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形，A说法正确。
2. 选项B：对称轴是直线，圆的任意一条直径所在的直线都过圆心，属于圆的对称轴，B说法正确。
3. 选项C：直径是连接圆上两点且过圆心的线段，而对称轴必须是直线，因此不能说直径是圆的对称轴，C说法错误。
4. 选项D：经过圆心的任意直线都能让圆对折后完全重合，都是圆的对称轴，D说法正确。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的轴对称性
2. 对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是易忽略对称轴为直线的要求，误将线段（直径）当作对称轴，只要准确掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心概念：一是轴对称图形的对称轴为直线，不是线段或射线；二是圆的轴对称性特征：圆是轴对称图形，所有经过圆心的直线都是它的对称轴。接下来逐个验证选项，重点区分“直径（线段）”和“直径所在的直线（直线）”的差异，即可判断出错误选项。
【解析】
结合概念逐一分析选项：
1. 选项A：圆沿任意一条过圆心的直线对折后，直线两侧的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形，A说法正确。
2. 选项B：对称轴是直线，圆的任意一条直径所在的直线都过圆心，属于圆的对称轴，B说法正确。
3. 选项C：直径是连接圆上两点且过圆心的线段，而对称轴必须是直线，因此不能说直径是圆的对称轴，C说法错误。
4. 选项D：经过圆心的任意直线都能让圆对折后完全重合，都是圆的对称轴，D说法正确。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的轴对称性
2. 对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是易忽略对称轴为直线的要求，误将线段（直径）当作对称轴，只要准确掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.下列结论中：
①弦的垂直平分线经过圆心；
②平分弦的直径垂直于弦；
③平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；
④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
错误的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①弦的垂直平分线经过圆心；
②平分弦的直径垂直于弦；
③平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；
④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
错误的有 （
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.B 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,平分弦(不是直径)的直径,平分这条弦所对的弧,故②④错误,易知①③正确.故选B.
解析
【分析】
解题时需结合垂径定理及其推论逐一判断每个结论的正误，核心注意点是垂径定理相关推论中“平分弦”的前提是被平分的弦不是直径，避免忽略特殊情况导致判断错误。首先回忆圆的基本性质：圆心到弦两端点的距离等于半径，因此弦的垂直平分线必然经过圆心；再逐一验证四个结论，对涉及“平分弦”的结论额外考虑弦为直径的特殊情况即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：圆的半径都相等，因此圆心到弦两个端点的距离相等，说明圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心，该结论正确。
2. 结论②：若被平分的弦本身是直径，那么两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此该结论缺少“弦不是直径”的前提，是错误的。
3. 结论③：根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，该结论不存在特殊情况限制，是正确的。
4. 结论④：同样，若被平分的弦是直径，平分这条弦的另一条直径不一定平分它所对的弧，缺少“弦不是直径”的前提，该结论错误。
综上，错误的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；圆的基本性质
【点评】
本题重点考查对垂径定理及推论的理解掌握，易错点是忽略“平分弦的直径垂直于弦、平分弦所对的弧”的前提是被平分的弦不是直径，解题时要注意对特殊情况的排查，避免因考虑不全面失分。
【难度系数】
0.65
解题时需结合垂径定理及其推论逐一判断每个结论的正误，核心注意点是垂径定理相关推论中“平分弦”的前提是被平分的弦不是直径，避免忽略特殊情况导致判断错误。首先回忆圆的基本性质：圆心到弦两端点的距离等于半径，因此弦的垂直平分线必然经过圆心；再逐一验证四个结论，对涉及“平分弦”的结论额外考虑弦为直径的特殊情况即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：圆的半径都相等，因此圆心到弦两个端点的距离相等，说明圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心，该结论正确。
2. 结论②：若被平分的弦本身是直径，那么两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此该结论缺少“弦不是直径”的前提，是错误的。
3. 结论③：根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，该结论不存在特殊情况限制，是正确的。
4. 结论④：同样，若被平分的弦是直径，平分这条弦的另一条直径不一定平分它所对的弧，缺少“弦不是直径”的前提，该结论错误。
综上，错误的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；圆的基本性质
【点评】
本题重点考查对垂径定理及推论的理解掌握，易错点是忽略“平分弦的直径垂直于弦、平分弦所对的弧”的前提是被平分的弦不是直径，解题时要注意对特殊情况的排查，避免因考虑不全面失分。
【难度系数】
0.65
3.「2025湖南长沙中考」如图，AB为$\odot O$的弦，$OC ⊥ AB$于点C，连接OA，OB，若$AB=OA$，$AC=3$，则OA的长为
6
。答案
3.答案 6
解析 $\because OC ⊥ AB$于点C,
$\therefore AB=2AC=2×3=6,\therefore OA=AB=6.$
解析 $\because OC ⊥ AB$于点C,
$\therefore AB=2AC=2×3=6,\therefore OA=AB=6.$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$OC⊥AB$切入，回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，据此可以先计算出弦$AB$的长度；再结合题目给出的$AB=OA$的等量关系，即可直接求出$OA$的长度。
【解析】
$\because OC⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理，$OC$平分弦$AB$，
$\therefore AB=2AC=2×3=6$，
又$\because AB=OA$，
$\therefore OA=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
垂径定理、等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查垂径定理的直接应用，只要熟练掌握垂径定理的内容，结合题干给出的等量关系就能快速求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件$OC⊥AB$切入，回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，据此可以先计算出弦$AB$的长度；再结合题目给出的$AB=OA$的等量关系，即可直接求出$OA$的长度。
【解析】
$\because OC⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理，$OC$平分弦$AB$，
$\therefore AB=2AC=2×3=6$，
又$\because AB=OA$，
$\therefore OA=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
垂径定理、等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查垂径定理的直接应用，只要熟练掌握垂径定理的内容，结合题干给出的等量关系就能快速求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
4.「2025江苏宿迁宿城期中」在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10 cm，在操场地上砸出一个深2 cm的小坑，如图，则该坑的直径AB为
8
cm.答案
4.答案 8
解析 如图,过点O作$OE ⊥ AB$于点D,交圆O于点E,连接OA,
根据题意得 $DE=2\ \mathrm{cm},OA=OE=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm}),$
$\therefore OD=5-2=3\ (\mathrm{cm}),\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中, $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=4\ \mathrm{cm},\because OE ⊥ AB,\therefore AB=2AD=8\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
本题是垂径定理在实际场景中的应用，要求坑的直径AB也就是求圆中弦AB的长度，解题思路如下：1. 遇到圆中求弦长的问题，优先考虑垂径定理，需过圆心作弦AB的垂线，构造出"半径、半弦长、圆心到弦的距离"组成的直角三角形；2. 结合已知条件：铅球直径为10cm可得半径长，坑深2cm可得圆心到弦AB的距离；3. 利用勾股定理求出半弦长，再乘2即可得到弦AB的全长。
【解析】
解：如图，过点O作$OE ⊥ AB$于点D，交$\odot O$于点E，连接OA。
由题意得，铅球直径为10cm，因此$\odot O$的半径$OA=OE=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，坑深$DE=2\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 圆心到弦AB的距离$OD=OE-DE=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
$\because OE ⊥ AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
$\therefore AB=2AD=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查垂径定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，将实际问题转化为圆内弦长计算的几何问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理在实际场景中的应用，要求坑的直径AB也就是求圆中弦AB的长度，解题思路如下：1. 遇到圆中求弦长的问题，优先考虑垂径定理，需过圆心作弦AB的垂线，构造出"半径、半弦长、圆心到弦的距离"组成的直角三角形；2. 结合已知条件：铅球直径为10cm可得半径长，坑深2cm可得圆心到弦AB的距离；3. 利用勾股定理求出半弦长，再乘2即可得到弦AB的全长。
【解析】
解：如图，过点O作$OE ⊥ AB$于点D，交$\odot O$于点E，连接OA。
由题意得，铅球直径为10cm，因此$\odot O$的半径$OA=OE=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，坑深$DE=2\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 圆心到弦AB的距离$OD=OE-DE=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
$\because OE ⊥ AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
$\therefore AB=2AD=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查垂径定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，将实际问题转化为圆内弦长计算的几何问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.7
5.「2026江苏南京鼓楼二模」如图,在$\odot O$中,C,D分别是$\overset{\frown}{AB}$和弦AB的中点,若$AB=8,CD=2$,则$\odot O$的半径是
5
.答案
5.答案 5
解析 如图,连接OA,OD,OC,
$\because$ 点 C,D 分别是$\overset{\frown}{AB}$和弦 AB 的中点,$AB=8,\therefore OD ⊥ AB,OC ⊥ AB,AD=\frac{1}{2}AB=4,\therefore O,D,C$ 三点在一条直线上,设半径 $OA=OC=r$, 则 $OD=OC-CD=r-2$,
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中, 由勾股定理得 $OA^2=AD^2+OD^2$,
$\therefore r^2=4^2+(r-2)^2$, 解得 $r=5$, 故 $\odot O$ 的半径是 5.
解析
【分析】
遇到圆中涉及弦中点、弧中点的问题，首先考虑垂径定理的应用。首先根据弧中点和弦中点的性质，可知过弧中点与圆心的直线垂直平分弦，因此连接半径OA、OC，可得O、D、C三点共线且OC⊥AB，得到直角三角形AOD；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，再利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
连接OA、OC，
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是弦AB的中点，$AB=8$，
$\therefore OC⊥ AB$，$OD⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
$\therefore O、D、C$三点在同一条直线上，
设$\odot O$的半径$OA=OC=r$，则$OD=OC-CD=r-2$，
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$，
解得$r=5$。
【答案】5
【知识点】垂径定理，勾股定理
【点评】本题是圆中求半径的基础常考题，核心是结合垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】0.7
遇到圆中涉及弦中点、弧中点的问题，首先考虑垂径定理的应用。首先根据弧中点和弦中点的性质，可知过弧中点与圆心的直线垂直平分弦，因此连接半径OA、OC，可得O、D、C三点共线且OC⊥AB，得到直角三角形AOD；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，再利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
连接OA、OC，
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是弦AB的中点，$AB=8$，
$\therefore OC⊥ AB$，$OD⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
$\therefore O、D、C$三点在同一条直线上，
设$\odot O$的半径$OA=OC=r$，则$OD=OC-CD=r-2$，
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$，
解得$r=5$。
【答案】5
【知识点】垂径定理，勾股定理
【点评】本题是圆中求半径的基础常考题，核心是结合垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】0.7
6.「2026江苏南通崇川启秀中学月考，★☆」已知$\odot O$的半径为10，P为$\odot O$内一点，且$OP=6$，则过P点且长度为整数的弦有（
A.5条
B.6条
C.8条
D.10条
C
）A.5条
B.6条
C.8条
D.10条
答案
6.C 如图,AB是直径,过点P作$CD ⊥ AB$,交圆于C,D两点,由垂径定理知,点P是CD的中点,由勾股定理得 $PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=8,\therefore CD=2PC=16,\therefore CD$ 是过点P最短的弦,长为16,AB是过P最长的弦,长为20,$\therefore$ 过点P且长度为整数的弦还有长为17,18,19的各两条,$\therefore$ 总共有8条过点P且长度为整数的弦.故选C.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确过圆内一点的弦的长度特征：过该点的最长弦为直径，最短弦为过该点且垂直于过该点直径的弦。首先计算出最长弦和最短弦的长度，得到过P点的弦的长度取值范围，再找出范围内的所有整数长度，注意除最长、最短弦外，其余每个整数长度的弦均关于过P点的直径对称，各有2条，最后统计总条数即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径为10，因此$\odot O$的直径长为$2×10=20$，即过点P的最长弦为直径AB，长度为20，仅存在1条。
过点P作$CD⊥ AB$，交$\odot O$于C、D两点，由垂径定理可知，点P是CD的中点。
在$Rt△ COP$中，$OC=10$，$OP=6$，根据勾股定理可得：
$PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
因此最短弦$CD=2PC=16$，仅存在1条。
综上，过点P的弦的长度范围为$16≤ 弦长≤20$，其中整数长度为16、17、18、19、20：
长度为16、20的弦各1条；
长度为17、18、19的弦各2条（关于直径AB对称）。
总条数为$1+2+2+2+1=8$条。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题的核心是先确定过圆内定点的弦的长度范围，再结合对称性统计整数长度弦的条数，易错点是容易误认为所有整数长度的弦都有2条，忽略最长、最短弦各仅有1条，导致计数错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确过圆内一点的弦的长度特征：过该点的最长弦为直径，最短弦为过该点且垂直于过该点直径的弦。首先计算出最长弦和最短弦的长度，得到过P点的弦的长度取值范围，再找出范围内的所有整数长度，注意除最长、最短弦外，其余每个整数长度的弦均关于过P点的直径对称，各有2条，最后统计总条数即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径为10，因此$\odot O$的直径长为$2×10=20$，即过点P的最长弦为直径AB，长度为20，仅存在1条。
过点P作$CD⊥ AB$，交$\odot O$于C、D两点，由垂径定理可知，点P是CD的中点。
在$Rt△ COP$中，$OC=10$，$OP=6$，根据勾股定理可得：
$PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
因此最短弦$CD=2PC=16$，仅存在1条。
综上，过点P的弦的长度范围为$16≤ 弦长≤20$，其中整数长度为16、17、18、19、20：
长度为16、20的弦各1条；
长度为17、18、19的弦各2条（关于直径AB对称）。
总条数为$1+2+2+2+1=8$条。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题的核心是先确定过圆内定点的弦的长度范围，再结合对称性统计整数长度弦的条数，易错点是容易误认为所有整数长度的弦都有2条，忽略最长、最短弦各仅有1条，导致计数错误。
【难度系数】
0.7
7.「2025湖北武汉中考改编，★☆」如图，四边形ABCD的顶点在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。若$AB=6$，$CD=\sqrt{13}$，则$\odot O$的半径是（
A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A
）A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
7.A 如图,过点O作$OE ⊥ AB$,垂足为F,交$\odot O$于点E,连接OA,AE,则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE},AF=BF=\frac{1}{2}AB=3,$
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD},\therefore AE=CD=\sqrt{13},\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, $AE=\sqrt{13},AF=3,\therefore EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=2$,设半径为R,则$OA=R,OF=R-2,\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中, 由勾股定理得 $OA^2=OF^2+AF^2,\therefore R^2=(R-2)^2+3^2$, 解得 $R=\frac{13}{4}$. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从已知的弧的等量关系入手：①已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，首先想到利用垂径定理将$\overset{\frown}{AB}$平分，得到两段和$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，进而得到等弧对应的等弦，建立两条已知弦长的联系；②构造直角三角形，先利用已知弦长求出辅助线的短边长度，再设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为F，交$\odot O$于点E，连接OA、AE，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=3$，
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧对应的弦相等，可得$AE=CD=\sqrt{13}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$AE=\sqrt{13}$，$AF=3$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$，
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=R$，$OF=R-EF=R-2$，
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：$OA^2=OF^2+AF^2$，
代入得：$R^2=(R-2)^2+3^2$，
展开得：$R^2=R^2-4R+4+9$，
移项化简得：$4R=13$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题通过构造垂直于弦的直径，结合垂径定理和同圆中弧与弦的对应关系，将已知条件转化到直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解，是圆中求半径的典型考法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从已知的弧的等量关系入手：①已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，首先想到利用垂径定理将$\overset{\frown}{AB}$平分，得到两段和$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，进而得到等弧对应的等弦，建立两条已知弦长的联系；②构造直角三角形，先利用已知弦长求出辅助线的短边长度，再设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为F，交$\odot O$于点E，连接OA、AE，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=3$，
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧对应的弦相等，可得$AE=CD=\sqrt{13}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$AE=\sqrt{13}$，$AF=3$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$，
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=R$，$OF=R-EF=R-2$，
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：$OA^2=OF^2+AF^2$，
代入得：$R^2=(R-2)^2+3^2$，
展开得：$R^2=R^2-4R+4+9$，
移项化简得：$4R=13$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题通过构造垂直于弦的直径，结合垂径定理和同圆中弧与弦的对应关系，将已知条件转化到直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解，是圆中求半径的典型考法。
【难度系数】
0.7
8. 情境 数学文化 发展史「2026江苏扬州期中，★☆」《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ DC$于E，$ED=1$寸，$AB=6$寸，求直径CD的长。则CD的长是
10
寸。答案
8.答案 10
解析 连接OA,如图,
$\because AB ⊥ DC$,且$AB=6$寸,$\therefore AE=BE=3$寸,设$\odot O$的半径为a寸,则$OC=OD=OA=a$寸,$\because ED=1$寸,$\therefore OE=(a-1)$寸,$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中, $AO^2-OE^2=AE^2,\therefore a^2-(a-1)^2=3^2$, 解得 $a=5,\therefore CD=5×2=10$ 寸.
解析
【分析】
遇到圆中弦与直径垂直的问题，首先考虑运用垂径定理得到弦长的一半；要求直径长，可先设圆的半径为未知数，连接半径构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求出半径，最后根据直径是半径的2倍得到CD的长度。
【解析】
连接OA，如图
$\because AB ⊥ DC$，且$AB=6$寸，
$\therefore$ 根据垂径定理可得$AE=BE=3$寸。
设$\odot O$的半径为a寸，则$OA=OD=a$寸，
$\because ED=1$寸，
$\therefore OE=OD-ED=(a-1)$寸。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：$AO^2=OE^2+AE^2$，
即$a^2=(a-1)^2+3^2$，
展开计算得$a^2=a^2-2a+1+9$，
化简得$2a=10$，解得$a=5$。
$\therefore CD=2a=2×5=10$寸。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合我国古代数学著作的记载出题，既渗透了数学文化，又考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，解题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解半径，是圆部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
遇到圆中弦与直径垂直的问题，首先考虑运用垂径定理得到弦长的一半；要求直径长，可先设圆的半径为未知数，连接半径构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求出半径，最后根据直径是半径的2倍得到CD的长度。
【解析】
连接OA，如图
$\because AB ⊥ DC$，且$AB=6$寸，
$\therefore$ 根据垂径定理可得$AE=BE=3$寸。
设$\odot O$的半径为a寸，则$OA=OD=a$寸，
$\because ED=1$寸，
$\therefore OE=OD-ED=(a-1)$寸。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：$AO^2=OE^2+AE^2$，
即$a^2=(a-1)^2+3^2$，
展开计算得$a^2=a^2-2a+1+9$，
化简得$2a=10$，解得$a=5$。
$\therefore CD=2a=2×5=10$寸。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合我国古代数学著作的记载出题，既渗透了数学文化，又考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，解题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解半径，是圆部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
9.「2025江苏南通中考，★☆」在平面直角坐标系中，以点$A(3,0)$为圆心，$\sqrt{13}$为半径作$\odot A$，直线$y=kx-3k+2$与$\odot A$交于$B,C$两点，则$BC$的最小值为
6
.答案
9.答案 6
解析 $\because y=kx-3k+2=k(x-3)+2,\therefore$ 直线 $y=kx-3k+2$ 过定点 $(3,2)$, 设该定点为 $P,\because$ 点 $A(3,0),\therefore AP=2$,易知过点P的所有弦中,与AP垂直的弦最短,$\therefore$ 当直线 $y=kx-3k+2$ 与AP垂直时,BC的值最小,如图所示,
由垂径定理得 $BP=CP$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中, 由勾股定理得 $BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=3$,
$\therefore BC=2BP=6,\therefore BC$ 的最小值为 6.
知识拓展 圆中过某点的最长弦为直径,最短弦为与过这点的直径垂直的弦.
解析
【分析】
遇到含参数的动直线与圆相交求弦长最值的问题，第一步先确定动直线恒过的定点：将直线方程整理后提取参数，找到不受参数取值影响的点坐标即为定点；第二步计算定点到圆心的距离，判断定点在圆内后，结合圆的性质：过圆内一点的所有弦中，与该点和圆心的连线垂直的弦最短，确定最短弦的位置；最后结合垂径定理和勾股定理计算最短弦长即可。
【解析】
解：先对直线方程变形：
$y=kx-3k+2=k(x-3)+2$，
当$x=3$时，$y=2$，结果与$k$的取值无关，因此直线$y=kx-3k+2$恒过定点$P(3,2)$。
已知圆心$A(3,0)$，$\odot A$半径为$\sqrt{13}$，计算得$AP=|2-0|=2＜\sqrt{13}$，可知点$P$在$\odot A$内部。
根据圆的性质，过圆内点$P$的弦中，与$AP$垂直的弦最短，即当$BC⊥ AP$时，$BC$长度最小。
由垂径定理得$AP$垂直平分$BC$，即$BP=CP=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由勾股定理：
$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{9}=3$，
因此$BC=2BP=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数定点问题，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与圆结合的常考题型，解题核心是准确找到动直线的定点，再结合圆内弦长的最值规律和垂径定理求解，能有效考查学生对动态问题的分析能力和基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
遇到含参数的动直线与圆相交求弦长最值的问题，第一步先确定动直线恒过的定点：将直线方程整理后提取参数，找到不受参数取值影响的点坐标即为定点；第二步计算定点到圆心的距离，判断定点在圆内后，结合圆的性质：过圆内一点的所有弦中，与该点和圆心的连线垂直的弦最短，确定最短弦的位置；最后结合垂径定理和勾股定理计算最短弦长即可。
【解析】
解：先对直线方程变形：
$y=kx-3k+2=k(x-3)+2$，
当$x=3$时，$y=2$，结果与$k$的取值无关，因此直线$y=kx-3k+2$恒过定点$P(3,2)$。
已知圆心$A(3,0)$，$\odot A$半径为$\sqrt{13}$，计算得$AP=|2-0|=2＜\sqrt{13}$，可知点$P$在$\odot A$内部。
根据圆的性质，过圆内点$P$的弦中，与$AP$垂直的弦最短，即当$BC⊥ AP$时，$BC$长度最小。
由垂径定理得$AP$垂直平分$BC$，即$BP=CP=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由勾股定理：
$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{9}=3$，
因此$BC=2BP=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数定点问题，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与圆结合的常考题型，解题核心是准确找到动直线的定点，再结合圆内弦长的最值规律和垂径定理求解，能有效考查学生对动态问题的分析能力和基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
