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10.「2026湖北武汉江夏月考，★☆」如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，点C在线段AB上运动，过点C的弦$DE ⊥ AB$，将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
。答案
10.答案 $2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
解析 $\because AB$ 为直径,DE 为弦,$\therefore DE ≤ AB,\therefore$ 当 DE 的长为正整数时, $DE=1$ 或 2. 当 $DE=2$ 时,DE 为直径,$\because DE ⊥ AB,\therefore$ 将$\overset{\frown}{DBE}$沿 DE 翻折后,点 F 与点 A 重合,$\therefore FB=AB=2$. 如图 1, 当 $DE=1$, 且点 C 在线段 OB 上时, 连接 OD, 则 $OD=OB=\frac{1}{2}AB=1$,
$\because DE ⊥ AB,\therefore DC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2},\therefore OC=\sqrt{OD^2-DC^2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore BC=OB-OC=\frac{2-\sqrt{3}}{2},\therefore FB=2BC=2-\sqrt{3}.$
如图 2, 当 $DE=1$, 且点 C 在线段 OA 上时, 连接 OD,
同理可得 $OC=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore BC=OB+OC=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore FB=2BC=2+\sqrt{3}.$
综上,线段 FB 的长为 $2-\sqrt{3}$ 或 $2+\sqrt{3}$ 或 2.
解析
【分析】
解题时首先明确圆中弦长的取值范围：直径是最长的弦，已知AB=2，所以DE≤2，结合DE为正整数，可确定DE的可能取值为1或2。接下来分情况讨论：①当DE=2时，DE是直径，结合DE⊥AB的条件，根据翻折的对称性可知翻折后点F与点A重合，直接可得FB的长度；②当DE=1时，需考虑点C的位置：分别是点C在线段OB上、点C在线段OA上两种情况，每种情况都先连接OD，利用垂径定理得到DC的长度，再用勾股定理算出OC的长度，结合翻折的对称性（翻折后点F与点B关于DE对称，故FB=2BC）计算FB的长度即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，
∴$\odot O$的半径为1，且弦长$DE≤AB=2$，
∵DE的长为正整数，
∴$DE=1$或$DE=2$。
1. 当$DE=2$时，DE为$\odot O$的直径，
∵$DE ⊥ AB$，
∴将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折后，点F与点A重合，
∴$FB=AB=2$。
2. 当$DE=1$时，分两种情况：
（1）如图1，点C在线段OB上，连接OD，
∵$DE ⊥ AB$，由垂径定理得$DC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}$，
在$Rt△ ODC$中，$OD=1$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2-DC^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=OB-OC=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
由翻折的对称性可知，点F和点B关于DE对称，
∴$FB=2BC=2-\sqrt{3}$。
（2）如图2，点C在线段OA上，连接OD，
同理可得$OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=OB+OC=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
由翻折的对称性得$FB=2BC=2+\sqrt{3}$。
综上，线段FB的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2。
【答案】
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题考查圆的相关性质与几何折叠的综合应用，解题的关键是先确定DE的取值范围，再对DE的长度和点C的位置分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用垂径定理和勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确圆中弦长的取值范围：直径是最长的弦，已知AB=2，所以DE≤2，结合DE为正整数，可确定DE的可能取值为1或2。接下来分情况讨论：①当DE=2时，DE是直径，结合DE⊥AB的条件，根据翻折的对称性可知翻折后点F与点A重合，直接可得FB的长度；②当DE=1时，需考虑点C的位置：分别是点C在线段OB上、点C在线段OA上两种情况，每种情况都先连接OD，利用垂径定理得到DC的长度，再用勾股定理算出OC的长度，结合翻折的对称性（翻折后点F与点B关于DE对称，故FB=2BC）计算FB的长度即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，
∴$\odot O$的半径为1，且弦长$DE≤AB=2$，
∵DE的长为正整数，
∴$DE=1$或$DE=2$。
1. 当$DE=2$时，DE为$\odot O$的直径，
∵$DE ⊥ AB$，
∴将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折后，点F与点A重合，
∴$FB=AB=2$。
2. 当$DE=1$时，分两种情况：
（1）如图1，点C在线段OB上，连接OD，
∵$DE ⊥ AB$，由垂径定理得$DC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}$，
在$Rt△ ODC$中，$OD=1$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2-DC^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=OB-OC=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
由翻折的对称性可知，点F和点B关于DE对称，
∴$FB=2BC=2-\sqrt{3}$。
（2）如图2，点C在线段OA上，连接OD，
同理可得$OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=OB+OC=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
由翻折的对称性得$FB=2BC=2+\sqrt{3}$。
综上，线段FB的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2。
【答案】
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题考查圆的相关性质与几何折叠的综合应用，解题的关键是先确定DE的取值范围，再对DE的长度和点C的位置分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用垂径定理和勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
11.「2026浙江杭州期末，★☆」一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF过圆心O且EF⊥AB，EF=AB=8米，CD//AB。
(1)求桥洞所在圆的半径。
(2)当水深GF为5米时，求此时水面CD的宽。
(1)求桥洞所在圆的半径。
(2)当水深GF为5米时，求此时水面CD的宽。
答案
11.解析 (1)连接 OA,如图,设 $\odot O$ 的半径为 r 米,则 $OF=(8-r)$ 米,$\because EF ⊥ AB,\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB=4$ 米, 在 $\mathrm{Rt}△ OAF$ 中, $4^2+(8-r)^2=r^2$, 解得 $r=5,\therefore$ 桥洞所在圆的半径为 5 米.
(2)连接 OC,如图,$\because AB // CD,EF ⊥ AB,\therefore EF ⊥ CD$,$\therefore CG=DG,\because OF=8-5=3$(米),$\therefore OG=GF-OF=5-3=2$(米), 在 $\mathrm{Rt}△ OCG$ 中, $CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$(米),$\therefore CD=2CG=2\sqrt{21}$ 米, 即此时水面 CD 的宽为 $2\sqrt{21}$ 米.
解析
【分析】
(1) 求圆的半径可借助垂径定理构造直角三角形求解：先连接半径OA，已知EF过圆心且垂直AB，根据垂径定理可得到AF的长度，设半径为r，则OF的长度为EF的总长减去半径，再在Rt△OAF中利用勾股定理列方程即可解出半径。
(2) 求水面CD的宽同样利用垂径定理：因为CD平行AB，EF垂直AB，所以EF也垂直CD，可得CD=2CG，先求出OG的长度，再在Rt△OCG中用勾股定理算出CG的长度，乘2即可得到CD的宽度。
【解析】
(1) 连接 OA，如图，设 $\odot O$ 的半径为 r 米，则 $OF=(8-r)$ 米，
$\because EF ⊥ AB$，
$\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB=4$ 米，
在 $\mathrm{Rt}△ OAF$ 中，根据勾股定理得：$4^2+(8-r)^2=r^2$，
解得 $r=5$，
$\therefore$ 桥洞所在圆的半径为 5 米。
(2) 连接 OC，如图，
$\because AB // CD,EF ⊥ AB$，
$\therefore EF ⊥ CD$，
$\therefore CG=DG$，
$\because OF=8-5=3$（米），
$\therefore OG=GF-OF=5-3=2$（米），
在 $\mathrm{Rt}△ OCG$ 中，$CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$（米），
$\therefore CD=2CG=2\sqrt{21}$ 米，即此时水面 CD 的宽为 $2\sqrt{21}$ 米。
【答案】
(1) 桥洞所在圆的半径为5米；
(2) 此时水面CD的宽为$2\sqrt{21}$米。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是垂径定理的实际应用题，解题核心是通过作半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程或计算求解，需熟练掌握垂径定理的内容，能准确梳理线段间的长度关系。
【难度系数】
0.8
(1) 求圆的半径可借助垂径定理构造直角三角形求解：先连接半径OA，已知EF过圆心且垂直AB，根据垂径定理可得到AF的长度，设半径为r，则OF的长度为EF的总长减去半径，再在Rt△OAF中利用勾股定理列方程即可解出半径。
(2) 求水面CD的宽同样利用垂径定理：因为CD平行AB，EF垂直AB，所以EF也垂直CD，可得CD=2CG，先求出OG的长度，再在Rt△OCG中用勾股定理算出CG的长度，乘2即可得到CD的宽度。
【解析】
(1) 连接 OA，如图，设 $\odot O$ 的半径为 r 米，则 $OF=(8-r)$ 米，
$\because EF ⊥ AB$，
$\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB=4$ 米，
在 $\mathrm{Rt}△ OAF$ 中，根据勾股定理得：$4^2+(8-r)^2=r^2$，
解得 $r=5$，
$\therefore$ 桥洞所在圆的半径为 5 米。
(2) 连接 OC，如图，
$\because AB // CD,EF ⊥ AB$，
$\therefore EF ⊥ CD$，
$\therefore CG=DG$，
$\because OF=8-5=3$（米），
$\therefore OG=GF-OF=5-3=2$（米），
在 $\mathrm{Rt}△ OCG$ 中，$CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$（米），
$\therefore CD=2CG=2\sqrt{21}$ 米，即此时水面 CD 的宽为 $2\sqrt{21}$ 米。
【答案】
(1) 桥洞所在圆的半径为5米；
(2) 此时水面CD的宽为$2\sqrt{21}$米。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是垂径定理的实际应用题，解题核心是通过作半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程或计算求解，需熟练掌握垂径定理的内容，能准确梳理线段间的长度关系。
【难度系数】
0.8
12. 核心素养 应用意识 「2026江苏无锡新吴期中改编」一次综合实践主题为“只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？”小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7 cm，AB=8 cm，CD=6 cm，请你帮忙计算纸杯杯口的直径.
答案
12.解析 如图,设圆心为点O,过点O作$OM ⊥ CD$于点M,延长MO交AB于点N,连接OD,OB,
则 $DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm}),\because CD // AB,\therefore MN ⊥ AB,\therefore MN=7\ \mathrm{cm},BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$, 设 $OM=x\ \mathrm{cm},\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm},\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB,\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2,\therefore x^2+3^2=(7-x)^2+4^2$, 解得 $x=4,\therefore OM=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore OD=\sqrt{OM^2+DM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm}),\therefore$ 纸杯杯口的直径为 $5×2=10(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
要计算圆形杯口的直径，本质是求圆的直径。已知圆内两条平行弦AB、CD的长度，以及两弦的间距（即纸条宽度7cm），我们可以利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，得到两条弦的半长；再设圆心到其中一条弦的距离为未知数，结合两弦间距表示出圆心到另一条弦的距离；最后根据圆的半径相等，结合勾股定理列方程求解，得到半径后即可算出直径。
【解析】
设圆心为点O，过点O作$OM ⊥ CD$于点M，延长MO交AB于点N，连接OD，OB，
根据垂径定理得：$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
$\because CD// AB$，$\therefore MN⊥ AB$，MN为纸条宽度，即$MN=7\ \mathrm{cm}$，
同理根据垂径定理得：$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$，
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ OMD$中，由勾股定理得：$OM^2+MD^2=OD^2$，
在$Rt△ ONB$中，由勾股定理得：$ON^2+BN^2=OB^2$，
$\because OD、OB$均为圆的半径，$\therefore OD=OB$，即$OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$，
代入数据得：$x^2+3^2=(7-x)^2+4^2$，
解得 $x=4$，即$OM=4\ \mathrm{cm}$，
代入$Rt△ OMD$得半径：$OD=\sqrt{OM^2+DM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$，
$\therefore$ 纸杯杯口的直径为 $5×2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
纸杯杯口的直径为$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用半径相等建立方程求解，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算圆形杯口的直径，本质是求圆的直径。已知圆内两条平行弦AB、CD的长度，以及两弦的间距（即纸条宽度7cm），我们可以利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，得到两条弦的半长；再设圆心到其中一条弦的距离为未知数，结合两弦间距表示出圆心到另一条弦的距离；最后根据圆的半径相等，结合勾股定理列方程求解，得到半径后即可算出直径。
【解析】
设圆心为点O，过点O作$OM ⊥ CD$于点M，延长MO交AB于点N，连接OD，OB，
根据垂径定理得：$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
$\because CD// AB$，$\therefore MN⊥ AB$，MN为纸条宽度，即$MN=7\ \mathrm{cm}$，
同理根据垂径定理得：$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$，
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ OMD$中，由勾股定理得：$OM^2+MD^2=OD^2$，
在$Rt△ ONB$中，由勾股定理得：$ON^2+BN^2=OB^2$，
$\because OD、OB$均为圆的半径，$\therefore OD=OB$，即$OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$，
代入数据得：$x^2+3^2=(7-x)^2+4^2$，
解得 $x=4$，即$OM=4\ \mathrm{cm}$，
代入$Rt△ OMD$得半径：$OD=\sqrt{OM^2+DM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$，
$\therefore$ 纸杯杯口的直径为 $5×2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
纸杯杯口的直径为$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用半径相等建立方程求解，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
1.「2025江苏苏州月考」已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，若$CD=6$，$AB=10$，则AE的长为
1或9
.答案
1.答案 1或9
解析 有两种情况:①如图1,连接OC,
$\because$ 直径 $AB ⊥$ 弦 $CD,\therefore EC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$,
$\because AB=10,\therefore OC=OA=5$,
在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中, $OE=\sqrt{5^2-3^2}=4,\therefore AE=OA-OE=1$.
②如图2,同理可得 $OE=4,\therefore AE=OE+OA=9$.
综上,AE的长为1或9.
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此可先求出弦CD一半的长度。接着连接半径OC，构造直角三角形OCE，利用圆的半径相等得到OC的长度，再通过勾股定理求出OE的长度。最后注意弦CD的位置有两种情况，对应点E在OA段和OB段两种情况，分别计算AE的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 如图1，连接OC：
∵ 直径AB⊥弦CD，根据垂径定理，得$EC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ AB是直径且AB=10，
∴ 圆的半径$OC=OA=5$，
在$\mathrm{Rt}△OCE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
此时点E在线段OA上，
∴ $AE=OA-OE=5-4=1$。
② 如图2，同理可得$OE=4$，此时点E在线段OB上，
∴ $AE=OA+OE=5+4=9$。
综上，AE的长为1或9。
【答案】
1或9
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理计算线段长度，易错点是忽略弦的位置有两种情况，造成漏解，做题时要结合图形分类讨论，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此可先求出弦CD一半的长度。接着连接半径OC，构造直角三角形OCE，利用圆的半径相等得到OC的长度，再通过勾股定理求出OE的长度。最后注意弦CD的位置有两种情况，对应点E在OA段和OB段两种情况，分别计算AE的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 如图1，连接OC：
∵ 直径AB⊥弦CD，根据垂径定理，得$EC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ AB是直径且AB=10，
∴ 圆的半径$OC=OA=5$，
在$\mathrm{Rt}△OCE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
此时点E在线段OA上，
∴ $AE=OA-OE=5-4=1$。
② 如图2，同理可得$OE=4$，此时点E在线段OB上，
∴ $AE=OA+OE=5+4=9$。
综上，AE的长为1或9。
【答案】
1或9
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理计算线段长度，易错点是忽略弦的位置有两种情况，造成漏解，做题时要结合图形分类讨论，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
2.已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm},AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为
3.「2026浙江温州期末」在$\odot O$中，弦$AB// CD,AB=$
$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
.3.「2026浙江温州期末」在$\odot O$中，弦$AB// CD,AB=$
答案
2.答案 $2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
解析 连接AC,AO,如图,
$\because \odot O$ 的直径 $CD=10\ \mathrm{cm},AB ⊥ CD,AB=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm}),OD=OC=5\ \mathrm{cm}$.
当C点位置如图1所示时,
$\because OA=5\ \mathrm{cm},AM=4\ \mathrm{cm},CD ⊥ AB$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAM$ 中, $OM=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$,
$\therefore CM=OC+OM=5+3=8(\mathrm{cm})$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中, $AC=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.
当C点位置如图2所示时,同理可得 $OM=3\ \mathrm{cm}$,
$\because OC=5\ \mathrm{cm},\therefore MC=5-3=2(\mathrm{cm})$,
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中, $AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.
综上,AC的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解决本题首先根据直径垂直于弦的条件，想到运用垂径定理得到弦长的一半，再结合圆的半径已知，构造直角三角形利用勾股定理求解。需要注意点C的位置有两种情况（分别在弦AB靠近和远离的一侧），因此要分类讨论，避免漏解。具体步骤为：1. 连接半径OA，利用垂径定理求出AM的长度；2. 在Rt△OAM中用勾股定理求出OM的长度；3. 分两种情况计算CM的长度；4. 在Rt△ACM中用勾股定理求出AC的长度。
【解析】
连接AC、AO，如图：
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm},AB ⊥ CD,AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm}),OD=OC=OA=5\ \mathrm{cm}$。
当C点位置如图1所示时：
∵$OA=5\ \mathrm{cm},AM=4\ \mathrm{cm},CD ⊥ AB$，
∴在 $\mathrm{Rt}△ OAM$ 中, $OM=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$，
∴$CM=OC+OM=5+3=8(\mathrm{cm})$，
∴在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中, $AC=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
当C点位置如图2所示时：
同理可得 $OM=3\ \mathrm{cm}$，
∵$OC=5\ \mathrm{cm},\therefore MC=5-3=2(\mathrm{cm})$，
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中, $AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
综上，AC的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题重点考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题意考虑到点C的两种位置，做到分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
解决本题首先根据直径垂直于弦的条件，想到运用垂径定理得到弦长的一半，再结合圆的半径已知，构造直角三角形利用勾股定理求解。需要注意点C的位置有两种情况（分别在弦AB靠近和远离的一侧），因此要分类讨论，避免漏解。具体步骤为：1. 连接半径OA，利用垂径定理求出AM的长度；2. 在Rt△OAM中用勾股定理求出OM的长度；3. 分两种情况计算CM的长度；4. 在Rt△ACM中用勾股定理求出AC的长度。
【解析】
连接AC、AO，如图：
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm},AB ⊥ CD,AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm}),OD=OC=OA=5\ \mathrm{cm}$。
当C点位置如图1所示时：
∵$OA=5\ \mathrm{cm},AM=4\ \mathrm{cm},CD ⊥ AB$，
∴在 $\mathrm{Rt}△ OAM$ 中, $OM=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$，
∴$CM=OC+OM=5+3=8(\mathrm{cm})$，
∴在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中, $AC=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
当C点位置如图2所示时：
同理可得 $OM=3\ \mathrm{cm}$，
∵$OC=5\ \mathrm{cm},\therefore MC=5-3=2(\mathrm{cm})$，
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中, $AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
综上，AC的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题重点考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题意考虑到点C的两种位置，做到分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
16,CD=12,⊙O的直径为20,则弦AB,CD之间的距离为
2或14
.答案
3.答案 2或14
解析 ①当弦AB,CD在圆心同侧时,如图1,连接OA,OC,过点O作$OE ⊥ CD$于点E,交AB于点F,
则 $CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$,
$\because AB // CD,\therefore OE ⊥ AB$,
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$,
$\because OA=OC=\frac{1}{2}×20=10$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ COE$ 中,
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中,
$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\therefore EF=OE-OF=8-6=2$.
②当弦AB,CD在圆心异侧时,如图2,
过点O作$OE ⊥ CD$于点E,延长EO交AB于点F,连接OA,OC,
同①可知 $OE=8,OF=6$,
$\therefore EF=OE+OF=8+6=14$.
综上,弦AB,CD之间的距离为2或14.
解析
【分析】
要求两条平行弦AB和CD的距离，首先需考虑两条弦相对于圆心的位置，存在两种情况：①两弦在圆心同侧；②两弦在圆心异侧，避免漏解。接下来过圆心作两条弦的垂线，根据垂径定理可得到两条弦的半弦长，再结合圆的半径，利用勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，最后根据两种位置关系，对两个弦心距作差或求和，即可得到两弦之间的距离。
【解析】
分两种情况讨论：
①当弦AB、CD在圆心同侧时，如图1，连接OA、OC，过点O作$OE ⊥ CD$于点E，交AB于点F，
则 $CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$，
$\because AB // CD,\therefore OE ⊥ AB$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
$\because OA=OC=\frac{1}{2}×20=10$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△COE$ 中，
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
在 $\mathrm{Rt}△AOF$ 中，
$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore EF=OE-OF=8-6=2$。
②当弦AB、CD在圆心异侧时，如图2，过点O作$OE ⊥ CD$于点E，延长EO交AB于点F，连接OA、OC，
同①可知 $OE=8,OF=6$，
$\therefore EF=OE+OF=8+6=14$。
综上，弦AB、CD之间的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题的关键是明确两条平行弦在圆内存在两种位置关系，避免漏解，同时需熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合运用，考查学生的逻辑推理能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
要求两条平行弦AB和CD的距离，首先需考虑两条弦相对于圆心的位置，存在两种情况：①两弦在圆心同侧；②两弦在圆心异侧，避免漏解。接下来过圆心作两条弦的垂线，根据垂径定理可得到两条弦的半弦长，再结合圆的半径，利用勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，最后根据两种位置关系，对两个弦心距作差或求和，即可得到两弦之间的距离。
【解析】
分两种情况讨论：
①当弦AB、CD在圆心同侧时，如图1，连接OA、OC，过点O作$OE ⊥ CD$于点E，交AB于点F，
则 $CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$，
$\because AB // CD,\therefore OE ⊥ AB$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
$\because OA=OC=\frac{1}{2}×20=10$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△COE$ 中，
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
在 $\mathrm{Rt}△AOF$ 中，
$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore EF=OE-OF=8-6=2$。
②当弦AB、CD在圆心异侧时，如图2，过点O作$OE ⊥ CD$于点E，延长EO交AB于点F，连接OA、OC，
同①可知 $OE=8,OF=6$，
$\therefore EF=OE+OF=8+6=14$。
综上，弦AB、CD之间的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题的关键是明确两条平行弦在圆内存在两种位置关系，避免漏解，同时需熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合运用，考查学生的逻辑推理能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
4.半径为2的$\odot O$中有两条弦$AB,AC,AB=2\sqrt{3},AC=2\sqrt{2}$,则$∠ BAC=$
$75°$或$15°$
.答案
4.答案 $75°$或$15°$
解析 ①当两弦在圆心异侧时,如图1,过点O作$OD ⊥ AB$于点D,$OE ⊥ AC$于点E,连接OA,
则 $AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3},AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$,
$\therefore \cos ∠ BAO=\frac{AD}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos ∠ CAO=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore ∠ BAO=30°,∠ CAO=45°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAO+∠ CAO=30°+45°=75°$.
②当两弦在圆心O同侧时,如图2,过点O作$OD ⊥ AB$于点D,$OE ⊥ AC$于点E,连接OA,
同理可得 $∠ BAO=30°,∠ CAO=45°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ CAO-∠ BAO=45°-30°=15°$.
综上,$∠ BAC$的度数为$75°$或$15°$.
解析
【分析】
求解本题首先要明确弦AB、AC相对圆心O的位置存在两种可能：两弦在圆心异侧、两弦在圆心同侧，需分类讨论避免漏解。解题时可运用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，构造含半径、弦长一半的直角三角形，再通过锐角三角函数求出∠BAO和∠CAO的度数，最后根据弦的位置关系对两个角度求和或求差，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
①当两弦在圆心异侧时，如图1，过点O作$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，连接OA。
根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3},AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
已知$\odot O$半径$OA=2$，在$Rt△ ADO$中，$\cos ∠ BAO=\frac{AD}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$∠ BAO=30°$；
在$Rt△ AEO$中，$\cos ∠ CAO=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$∠ CAO=45°$；
此时$∠ BAC=∠ BAO+∠ CAO=30°+45°=75°$。
②当两弦在圆心O同侧时，如图2，过点O作$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，连接OA。
同理可得 $∠ BAO=30°,∠ CAO=45°$，
此时$∠ BAC=∠ CAO-∠ BAO=45°-30°=15°$。
综上，$∠ BAC$的度数为$75°$或$15°$。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
垂径定理、锐角三角函数、分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略两条弦的位置有两种情况，造成漏解。解题时要结合图形分析所有可能的位置关系，熟练运用垂径定理构造直角三角形，将弦长条件转化为角度条件求解。
【难度系数】
0.6
求解本题首先要明确弦AB、AC相对圆心O的位置存在两种可能：两弦在圆心异侧、两弦在圆心同侧，需分类讨论避免漏解。解题时可运用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，构造含半径、弦长一半的直角三角形，再通过锐角三角函数求出∠BAO和∠CAO的度数，最后根据弦的位置关系对两个角度求和或求差，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
①当两弦在圆心异侧时，如图1，过点O作$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，连接OA。
根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3},AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
已知$\odot O$半径$OA=2$，在$Rt△ ADO$中，$\cos ∠ BAO=\frac{AD}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$∠ BAO=30°$；
在$Rt△ AEO$中，$\cos ∠ CAO=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$∠ CAO=45°$；
此时$∠ BAC=∠ BAO+∠ CAO=30°+45°=75°$。
②当两弦在圆心O同侧时，如图2，过点O作$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，连接OA。
同理可得 $∠ BAO=30°,∠ CAO=45°$，
此时$∠ BAC=∠ CAO-∠ BAO=45°-30°=15°$。
综上，$∠ BAC$的度数为$75°$或$15°$。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
垂径定理、锐角三角函数、分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略两条弦的位置有两种情况，造成漏解。解题时要结合图形分析所有可能的位置关系，熟练运用垂径定理构造直角三角形，将弦长条件转化为角度条件求解。
【难度系数】
0.6
