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11 甲、乙两家工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，在2025年两家工厂12个月的蓝莓蜜饯产量(吨)统计如下：
甲工厂:12 13 17 20 18 16 15 15 14 13 12 14
乙工厂:14 13 18 20 19 17 17 13 12 15 13 14
(1) 请画出甲、乙两工厂蓝莓蜜饯产量的箱线图，并据图分析两家工厂的生产情况。
(2) 已知甲工厂蓝莓的采购成本价$y$(万元/吨)与蓝莓的采购量$x$(吨)成一次函数关系，其中的几组数据如表所示。每吨原材料(蓝莓)的加工费为1万元，减重率为50%，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图(如图)。
① 求$y$与$x$的函数表达式(不写$x$的取值范围)。
② 求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价。
③ 根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润。如果能，求需要采购蓝莓的质量；如果不能，请说明理由。
(注:蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后质量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式:$减重率=\frac{原始质量-最终质量}{原始质量}×100\%$)
12 某电影上映10天突破60亿票房。为了解大家对该电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对该电影进行评价，并对评分(十分制)进行统计整理，所有观众的评分均高于8分(电影评分用$x$表示，共分成四组: A.$8＜x≤8.5$；B.$8.5＜x≤9$；C.$9＜x≤9.5$；D.$9.5＜x≤10$)，下面给出了部分信息:
C组的数据是:9.1、9.2、9.3、9.3、9.3、9.3、9.4、9.4。
(1) 求出C组数据的中位数和众数。
(2) 补全频数分布直方图。
(3) 若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀($x＞9.2$)的观众人数是多少。
甲工厂:12 13 17 20 18 16 15 15 14 13 12 14
乙工厂:14 13 18 20 19 17 17 13 12 15 13 14
(1) 请画出甲、乙两工厂蓝莓蜜饯产量的箱线图，并据图分析两家工厂的生产情况。
(2) 已知甲工厂蓝莓的采购成本价$y$(万元/吨)与蓝莓的采购量$x$(吨)成一次函数关系，其中的几组数据如表所示。每吨原材料(蓝莓)的加工费为1万元，减重率为50%，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图(如图)。
① 求$y$与$x$的函数表达式(不写$x$的取值范围)。
② 求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价。
③ 根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润。如果能，求需要采购蓝莓的质量；如果不能，请说明理由。
(注:蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后质量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式:$减重率=\frac{原始质量-最终质量}{原始质量}×100\%$)
12 某电影上映10天突破60亿票房。为了解大家对该电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对该电影进行评价，并对评分(十分制)进行统计整理，所有观众的评分均高于8分(电影评分用$x$表示，共分成四组: A.$8＜x≤8.5$；B.$8.5＜x≤9$；C.$9＜x≤9.5$；D.$9.5＜x≤10$)，下面给出了部分信息:
C组的数据是:9.1、9.2、9.3、9.3、9.3、9.3、9.4、9.4。
(1) 求出C组数据的中位数和众数。
(2) 补全频数分布直方图。
(3) 若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀($x＞9.2$)的观众人数是多少。
答案
11 (1) 箱线图如图所示,据图可知两家工厂的蓝莓蜜饯产量的第1四分位数和中位数都相同,但是乙工厂的第3四分位数大于甲工厂,因此可知乙工厂生产力相对来说更强。(答案不唯一)
(2) ① 设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
代入(100, 1.8), (200, 1.6),得$\begin{cases}1.8=100k+b,\\1.6=200k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.002,\\b=2,\end{cases}$ 所以$y=-0.002x+2$。
② $\frac{15×8+25×10+5×12+5×14}{15+25+5+5}=10$(万元/吨)。
③ 由题意得$10×\frac{x}{2}-(-0.002x+2)x-1×x=780$,所以得$x^2+1000x-390000=0$,解得$x_1=300$,$x_2=-1300$(舍)。所以需要采购蓝莓的质量为300吨。
12 (1) C组数据的中位数为9.3,众数为9.3。
(2) 总人数为$1÷5\%=20$人,所以A组的人数为$20×\frac{54}{360}=3$人,D组人数为$20-3-1-8=8$人,频数分布直方图补全如下:
(3) $800×\frac{6+8}{20}=560$,即估计此次评分调查认为电影特别优秀($x＞9.2$)的观众人数是560人。
解析
【分析】
11题解题思路
(1) 绘制箱线图需先将两家工厂的产量数据从小到大排序，计算最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个统计量，对应绘制即可；再对比两组数据的统计量差异分析生产情况。
(2) ① 求一次函数表达式用待定系数法，设函数为$y=kx+b(k≠0)$，代入两组已知的$x、y$值，解二元一次方程组得到$k、b$即可。
② 平均销售价为加权平均数，用各售价乘以对应频数求和后，除以总频数即可算出。
③ 先梳理利润计算逻辑：减重率50%，因此采购$x$吨蓝莓可产出$0.5x$吨蜜饯，销售额为平均售价×蜜饯产量；总成本包含蓝莓采购成本和加工成本，根据“利润=销售额-总成本”列方程求解，舍去不符合实际的负根即可。
12题解题思路
(1) 中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两数的平均数；众数是出现次数最多的数，对C组数据排序后直接计算即可。
(2) 先根据B组的频数和占比计算抽取的总人数，再计算A组人数，用总人数减去A、B、C组人数得到D组人数，即可补全直方图。
(3) 先统计样本中$x＞9.2$的人数，计算其在样本中的占比，再乘以总观众数800即可得到估计人数。
【解析】
11 (1) 分别对甲、乙两厂产量排序，计算得到对应的5个统计量后绘制箱线图；对比可知两厂产量的第一四分位数、中位数相同，乙厂第三四分位数更高，说明乙厂高产量月份更多，生产力更强。
(2) ① 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(100,1.8)、(200,1.6)$代入得：
$\begin{cases}1.8=100k+b\\1.6=200k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.002\\b=2\end{cases}$，因此函数表达式为$y=-0.002x+2$。
② 平均销售价为：$\frac{15×8+25×10+5×12+5×14}{15+25+5+5}=10$（万元/吨）。
③ 设采购蓝莓质量为$x$吨，根据题意列方程：
$10×\frac{x}{2}-(-0.002x+2)x-1×x=780$
整理得$x^2+1000x-390000=0$，解得$x_1=300$，$x_2=-1300$（采购量不能为负，舍去），因此需要采购蓝莓300吨。
12 (1) 将C组数据排序为9.1、9.2、9.3、9.3、9.3、9.3、9.4、9.4，中位数为第4、5个数的平均数：$\frac{9.3+9.3}{2}=9.3$；9.3出现次数最多，众数为9.3。
(2) 总人数为$1÷5\%=20$人，A组人数为$20×\frac{54}{360}=3$人，D组人数为$20-3-1-8=8$人，按照D组人数8补全直方图。
(3) 样本中$x＞9.2$的共$6+8=14$人，占比为$\frac{14}{20}$，因此800名观众中估计人数为$800×\frac{14}{20}=560$人。
【答案】
11 (1) 箱线图如图所示,据图可知两家工厂的蓝莓蜜饯产量的第1四分位数和中位数都相同,但是乙工厂的第3四分位数大于甲工厂,因此可知乙工厂生产力相对来说更强。(答案不唯一)
(2) ① $y=-0.002x+2$
② 10万元/吨
③ 能，需要采购蓝莓的质量为300吨。
12 (1) C组数据的中位数为9.3，众数为9.3。
(2) 频数分布直方图补全如下:
(3) 估计此次评分调查认为电影特别优秀（$x＞9.2$）的观众人数是560人。
【知识点】
统计图表分析，一次函数应用，用样本估计总体
【点评】
题目结合生产、生活实际场景，综合考察了统计知识与函数、方程的应用，既要求掌握基础统计量计算、统计图表的绘制与解读，也要求能够结合实际梳理数量关系并列式求解，注重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.65
11题解题思路
(1) 绘制箱线图需先将两家工厂的产量数据从小到大排序，计算最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个统计量，对应绘制即可；再对比两组数据的统计量差异分析生产情况。
(2) ① 求一次函数表达式用待定系数法，设函数为$y=kx+b(k≠0)$，代入两组已知的$x、y$值，解二元一次方程组得到$k、b$即可。
② 平均销售价为加权平均数，用各售价乘以对应频数求和后，除以总频数即可算出。
③ 先梳理利润计算逻辑：减重率50%，因此采购$x$吨蓝莓可产出$0.5x$吨蜜饯，销售额为平均售价×蜜饯产量；总成本包含蓝莓采购成本和加工成本，根据“利润=销售额-总成本”列方程求解，舍去不符合实际的负根即可。
12题解题思路
(1) 中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两数的平均数；众数是出现次数最多的数，对C组数据排序后直接计算即可。
(2) 先根据B组的频数和占比计算抽取的总人数，再计算A组人数，用总人数减去A、B、C组人数得到D组人数，即可补全直方图。
(3) 先统计样本中$x＞9.2$的人数，计算其在样本中的占比，再乘以总观众数800即可得到估计人数。
【解析】
11 (1) 分别对甲、乙两厂产量排序，计算得到对应的5个统计量后绘制箱线图；对比可知两厂产量的第一四分位数、中位数相同，乙厂第三四分位数更高，说明乙厂高产量月份更多，生产力更强。
(2) ① 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(100,1.8)、(200,1.6)$代入得：
$\begin{cases}1.8=100k+b\\1.6=200k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.002\\b=2\end{cases}$，因此函数表达式为$y=-0.002x+2$。
② 平均销售价为：$\frac{15×8+25×10+5×12+5×14}{15+25+5+5}=10$（万元/吨）。
③ 设采购蓝莓质量为$x$吨，根据题意列方程：
$10×\frac{x}{2}-(-0.002x+2)x-1×x=780$
整理得$x^2+1000x-390000=0$，解得$x_1=300$，$x_2=-1300$（采购量不能为负，舍去），因此需要采购蓝莓300吨。
12 (1) 将C组数据排序为9.1、9.2、9.3、9.3、9.3、9.3、9.4、9.4，中位数为第4、5个数的平均数：$\frac{9.3+9.3}{2}=9.3$；9.3出现次数最多，众数为9.3。
(2) 总人数为$1÷5\%=20$人，A组人数为$20×\frac{54}{360}=3$人，D组人数为$20-3-1-8=8$人，按照D组人数8补全直方图。
(3) 样本中$x＞9.2$的共$6+8=14$人，占比为$\frac{14}{20}$，因此800名观众中估计人数为$800×\frac{14}{20}=560$人。
【答案】
11 (1) 箱线图如图所示,据图可知两家工厂的蓝莓蜜饯产量的第1四分位数和中位数都相同,但是乙工厂的第3四分位数大于甲工厂,因此可知乙工厂生产力相对来说更强。(答案不唯一)
(2) ① $y=-0.002x+2$
② 10万元/吨
③ 能，需要采购蓝莓的质量为300吨。
12 (1) C组数据的中位数为9.3，众数为9.3。
(2) 频数分布直方图补全如下:
(3) 估计此次评分调查认为电影特别优秀（$x＞9.2$）的观众人数是560人。
【知识点】
统计图表分析，一次函数应用，用样本估计总体
【点评】
题目结合生产、生活实际场景，综合考察了统计知识与函数、方程的应用，既要求掌握基础统计量计算、统计图表的绘制与解读，也要求能够结合实际梳理数量关系并列式求解，注重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.65
