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1. 语句“$x$的$\frac{1}{6}$与$x$的和不超过5”可以表示为 （）
A.$\frac{1}{6}x + x ≤ 5$
B.$\frac{1}{6}x + x ≥ 5$
C.$\frac{6}{x+5} ≤ 5$
D.$\frac{6}{x}x = 5$
A.$\frac{1}{6}x + x ≤ 5$
B.$\frac{1}{6}x + x ≥ 5$
C.$\frac{6}{x+5} ≤ 5$
D.$\frac{6}{x}x = 5$
答案
A
解析
将语句分步转化：1. x的$\frac{1}{6}$表示为$\frac{1}{6}x$；2. x的$\frac{1}{6}$与x的和表示为$\frac{1}{6}x + x$；3. “不超过5”的含义是小于等于5，因此可列出不等式$\frac{1}{6}x + x ≤5$。
2. 不等式组$\begin{cases}x+1＞2x-2, \\ x＜a\end{cases}$的解集为$x＜3$，则$a$的取值范围为 （ ）
A.$a≤3$
B.$a≥3$
C.$a＞3$
D.$a＜3$
A.$a≤3$
B.$a≥3$
C.$a＞3$
D.$a＜3$
答案
B
解析
先解第一个不等式$x+1＞2x-2$，移项得$x-2x＞-2-1$，合并同类项得$-x＞-3$，系数化为1得$x＜3$。
已知不等式组的解集为$x＜3$，根据“同小取小”的解集规则，可得$a≥3$。
已知不等式组的解集为$x＜3$，根据“同小取小”的解集规则，可得$a≥3$。
3.若关于$x$的不等式$(k+2)x＞k+2$的解集为$x＜1$,则$k$的值可以是 （）
A.1
B.0
C.$-2$
D.$-3$
A.1
B.0
C.$-2$
D.$-3$
答案
D
解析
根据不等式的性质，不等式两边同除以一个数后不等号方向发生改变，说明这个数是负数。由不等式$(k+2)x＞k+2$的解集为$x＜1$，可得$k+2＜0$，解得$k＜-2$，四个选项中只有$-3$满足该条件。
4. 解不等式$\frac{2+x}{3}＞\frac{2x-1}{5}$的过程如下：
①去分母，得$5(2+x)＞3(2x-1)$；②去括号，得$10+5x＞6x-3$；③移项、合并同类项，得$-x＞-13$；④$x$系数化为1，得$x＞13$。
其中错误的一步是（）
A.①
B.②
C.③
D.④
①去分母，得$5(2+x)＞3(2x-1)$；②去括号，得$10+5x＞6x-3$；③移项、合并同类项，得$-x＞-13$；④$x$系数化为1，得$x＞13$。
其中错误的一步是（）
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
解析
逐一检查解不等式的步骤：
①去分母，不等式两边同乘15，得$5(2+x)＞3(2x-1)$，步骤正确；
②去括号，得$10+5x＞6x-3$，步骤正确；
③移项、合并同类项，得$-x＞-13$，步骤正确；
④根据不等式的性质，不等式两边同时除以负数$-1$时，不等号方向需要改变，正确结果应为$x＜13$，此步骤错误。
因此错误的一步是④。
①去分母，不等式两边同乘15，得$5(2+x)＞3(2x-1)$，步骤正确；
②去括号，得$10+5x＞6x-3$，步骤正确；
③移项、合并同类项，得$-x＞-13$，步骤正确；
④根据不等式的性质，不等式两边同时除以负数$-1$时，不等号方向需要改变，正确结果应为$x＜13$，此步骤错误。
因此错误的一步是④。
5. 检测游泳池的水质时，若三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，则水质合格.
已知某游泳池第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次pH检测值$x$的范围是（）
A.$7.2≤ x≤8.1$
B.$7.1≤ x≤8.0$
C.$7.2≤ n≤8.0$
D.$7.1≤ n≤8.1$
已知某游泳池第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次pH检测值$x$的范围是（）
A.$7.2≤ x≤8.1$
B.$7.1≤ x≤8.0$
C.$7.2≤ n≤8.0$
D.$7.1≤ n≤8.1$
答案
A
解析
根据水质合格的要求，三次pH的平均值满足：
$7.2 ≤ \frac{7.4 + y + x}{3} ≤ 7.8$
其中第二次检测值$y$满足$7.0 ≤ y ≤ 7.9$。
不等式两边同乘3得：
$21.6 ≤ 7.4 + y + x ≤ 23.4$
整理得：
$14.2 ≤ y + x ≤ 16$
1. 求$x$的最小值：要保证$y+x≥14.2$对所有$y\in[7.0,7.9]$成立，当$y$取最小值7.0时，$x≥14.2-7.0=7.2$；
2. 求$x$的最大值：要保证$y+x≤16$对所有$y\in[7.0,7.9]$成立，当$y$取最大值7.9时，$x≤16-7.9=8.1$。
因此第三次pH检测值的范围是$7.2≤ x≤8.1$。
$7.2 ≤ \frac{7.4 + y + x}{3} ≤ 7.8$
其中第二次检测值$y$满足$7.0 ≤ y ≤ 7.9$。
不等式两边同乘3得：
$21.6 ≤ 7.4 + y + x ≤ 23.4$
整理得：
$14.2 ≤ y + x ≤ 16$
1. 求$x$的最小值：要保证$y+x≥14.2$对所有$y\in[7.0,7.9]$成立，当$y$取最小值7.0时，$x≥14.2-7.0=7.2$；
2. 求$x$的最大值：要保证$y+x≤16$对所有$y\in[7.0,7.9]$成立，当$y$取最大值7.9时，$x≤16-7.9=8.1$。
因此第三次pH检测值的范围是$7.2≤ x≤8.1$。
6. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}-x+a＞2, \\ x-\dfrac{x-5}{2}≥ -1\end{cases}$的最大整数解和最小整数解互为相反数，则$a$的取值范围是________。
答案
$\boldsymbol{9 ＜ a ≤ 10}$
解析
解：
解不等式$-x + a ＞ 2$，得：
$x ＜ a - 2$
解不等式$x - \dfrac{x-5}{2} ≥ -1$：
两边同乘2得$2x - (x - 5) ≥ -2$，化简得$x + 5 ≥ -2$，即$x ≥ -7$
因此不等式组的解集为$-7 ≤ x ＜ a - 2$
由题意，该不等式组的最小整数解为$-7$，因为最大整数解和最小整数解互为相反数，所以最大整数解为$7$
可得$7 ＜ a - 2 ≤ 8$，解得$9 ＜ a ≤ 10$
最终
解不等式$-x + a ＞ 2$，得：
$x ＜ a - 2$
解不等式$x - \dfrac{x-5}{2} ≥ -1$：
两边同乘2得$2x - (x - 5) ≥ -2$，化简得$x + 5 ≥ -2$，即$x ≥ -7$
因此不等式组的解集为$-7 ≤ x ＜ a - 2$
由题意，该不等式组的最小整数解为$-7$，因为最大整数解和最小整数解互为相反数，所以最大整数解为$7$
可得$7 ＜ a - 2 ≤ 8$，解得$9 ＜ a ≤ 10$
最终
7.某人计划在15天里加工408个零件，最初3天里每天加工24个，以后每天至少要加工个零件才能在规定时间内超额完成任务。
答案
$\boldsymbol{29}$
解析
解：设以后每天加工$ x $个零件，
根据题意列不等式：
$ 3×24 + (15-3)x ＞ 408 $
化简得：
$ 72 + 12x ＞ 408 $
移项计算：
$ 12x ＞ 408 - 72 $
$ 12x ＞ 336 $
系数化为1得：
$ x ＞ 28 $
因为$ x $表示加工零件的个数，为正整数，所以$ x $的最小取值为29。
答：以后每天至少要加工29个零件才能在规定时间内超额完成任务。
最终
根据题意列不等式：
$ 3×24 + (15-3)x ＞ 408 $
化简得：
$ 72 + 12x ＞ 408 $
移项计算：
$ 12x ＞ 408 - 72 $
$ 12x ＞ 336 $
系数化为1得：
$ x ＞ 28 $
因为$ x $表示加工零件的个数，为正整数，所以$ x $的最小取值为29。
答：以后每天至少要加工29个零件才能在规定时间内超额完成任务。
最终
8. 解不等式组$\begin{cases} x+3＞2x \quad ①, \\5+3x≥2 \quad ②.\end{cases}$ 请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得；
(2)解不等式②，得；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为。
(1)解不等式①，得；
(2)解不等式②，得；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为。
答案
解：
(1) 解不等式①：
移项得 $x - 2x ＞ -3$，
合并同类项得 $-x ＞ -3$，
系数化为1，得 $\boldsymbol{x＜3}$；
(2) 解不等式②：
移项得 $3x \ge 2 - 5$，
合并同类项得 $3x \ge -3$，
系数化为1，得 $\boldsymbol{x\ge -1}$；
(3) 在数轴上表示：在刻度-1处画实心圆点，向右延伸；在刻度3处画空心圆圈，向左延伸，两部分的重叠区域即为两个解集的公共部分。
(4) 原不等式组的解集为 $\boldsymbol{-1\le x ＜ 3}$。
(1) 解不等式①：
移项得 $x - 2x ＞ -3$，
合并同类项得 $-x ＞ -3$，
系数化为1，得 $\boldsymbol{x＜3}$；
(2) 解不等式②：
移项得 $3x \ge 2 - 5$，
合并同类项得 $3x \ge -3$，
系数化为1，得 $\boldsymbol{x\ge -1}$；
(3) 在数轴上表示：在刻度-1处画实心圆点，向右延伸；在刻度3处画空心圆圈，向左延伸，两部分的重叠区域即为两个解集的公共部分。
(4) 原不等式组的解集为 $\boldsymbol{-1\le x ＜ 3}$。
