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9.计算：$2\ 026^2 - 2\ 025^2 =$
4 051
.答案
9.4 051
解析
【分析】
观察算式是两个较大数的平方差形式，符合平方差公式的结构特征，若直接计算两个数的平方运算量较大，因此优先考虑运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，先确定公式里的a和b分别为2026和2025，再代入公式计算即可。
【解析】
根据平方差公式可得：
$\begin{aligned}2026^2 - 2025^2&=(2026-2025)×(2026+2025)\\&=1×4051\\&=4051\end{aligned}$
【答案】
4051
【知识点】
平方差公式，有理数运算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查平方差公式的灵活运用，借助公式可以大幅降低计算量，避免大数平方运算易出错的问题，熟练掌握乘法公式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
观察算式是两个较大数的平方差形式，符合平方差公式的结构特征，若直接计算两个数的平方运算量较大，因此优先考虑运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，先确定公式里的a和b分别为2026和2025，再代入公式计算即可。
【解析】
根据平方差公式可得：
$\begin{aligned}2026^2 - 2025^2&=(2026-2025)×(2026+2025)\\&=1×4051\\&=4051\end{aligned}$
【答案】
4051
【知识点】
平方差公式，有理数运算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查平方差公式的灵活运用，借助公式可以大幅降低计算量，避免大数平方运算易出错的问题，熟练掌握乘法公式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
10. 在函数$y=π x,y=3-2x,y=x,y=x^2-2$中，一次函数共有
3
个。答案
10.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一次函数的判定标准：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数是一次函数，其中正比例函数y=kx（k≠0）是特殊的一次函数。判断时需要满足两个条件：①自变量x的最高次数为1；②x的系数不为0。接下来我们将给出的4个函数逐个对照标准判断，统计符合要求的函数个数即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne 0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k\ne 0$）是正比例函数，属于特殊的一次函数。
对四个函数逐一判断：
1. $y=π x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=π \ne 0$，是正比例函数，属于一次函数；
2. $y=3-2x$：可变形为$y=-2x+3$，其中$k=-2\ne 0$，$b=3$，符合一次函数定义，属于一次函数；
3. $y=x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=1\ne 0$，是正比例函数，属于一次函数；
4. $y=x^2-2$：自变量$x$的最高次数为2，不符合一次函数定义，不属于一次函数。
综上，符合要求的一次函数共有3个。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数与一次函数的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一次函数定义的掌握，需要注意不要漏算正比例函数，同时要注意区分一次函数和二次函数，判断时优先看自变量的最高次数，再验证一次项系数是否不为0。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一次函数的判定标准：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数是一次函数，其中正比例函数y=kx（k≠0）是特殊的一次函数。判断时需要满足两个条件：①自变量x的最高次数为1；②x的系数不为0。接下来我们将给出的4个函数逐个对照标准判断，统计符合要求的函数个数即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne 0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k\ne 0$）是正比例函数，属于特殊的一次函数。
对四个函数逐一判断：
1. $y=π x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=π \ne 0$，是正比例函数，属于一次函数；
2. $y=3-2x$：可变形为$y=-2x+3$，其中$k=-2\ne 0$，$b=3$，符合一次函数定义，属于一次函数；
3. $y=x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=1\ne 0$，是正比例函数，属于一次函数；
4. $y=x^2-2$：自变量$x$的最高次数为2，不符合一次函数定义，不属于一次函数。
综上，符合要求的一次函数共有3个。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数与一次函数的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一次函数定义的掌握，需要注意不要漏算正比例函数，同时要注意区分一次函数和二次函数，判断时优先看自变量的最高次数，再验证一次项系数是否不为0。
【难度系数】
0.8
11. 如图,在离水面高度为8m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17m,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10m,则船向岸边移动了
9
m.答案
11.9
解析
【分析】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题思路清晰可寻：首先观察图形可得△CAB和△CAD均为直角三角形，二者有公共直角边AC=8m。第一步先在Rt△CAB中，用勾股定理算出初始时船到岸边的水平距离AB；第二步在Rt△CAD中，用勾股定理算出船到达D点时到岸边的水平距离AD；最后用AB减去AD，得到的差值就是船向岸边移动的距离。
【解析】
由题意得∠A=90°，AC=8m，BC=17m，CD=10m。
在Rt△CAB中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\mathrm{(m)}$
在Rt△CAD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\mathrm{(m)}$
因此船向岸边移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9\mathrm{(m)}$
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，熟练运用勾股定理计算未知边长，结合常见勾股数计算能提升准确率和做题速度。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题思路清晰可寻：首先观察图形可得△CAB和△CAD均为直角三角形，二者有公共直角边AC=8m。第一步先在Rt△CAB中，用勾股定理算出初始时船到岸边的水平距离AB；第二步在Rt△CAD中，用勾股定理算出船到达D点时到岸边的水平距离AD；最后用AB减去AD，得到的差值就是船向岸边移动的距离。
【解析】
由题意得∠A=90°，AC=8m，BC=17m，CD=10m。
在Rt△CAB中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\mathrm{(m)}$
在Rt△CAD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\mathrm{(m)}$
因此船向岸边移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9\mathrm{(m)}$
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，熟练运用勾股定理计算未知边长，结合常见勾股数计算能提升准确率和做题速度。
【难度系数】
0.8
12.如图，在$□ ABCD$中，G是CD上一点，连接BG并延长，交AD的延长线于点E，F是AB上一点，AF=CG，连接DF.若$∠ E=30°$，$∠ C=50°$，则$∠ BFD$的度数为
80°
.答案
12.80°
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对角相等、对边平行且相等。第一步先由平行四边形性质得到∠A=∠C=50°，AB与CD平行且相等；第二步结合AF=CG推导出BF=DG，进而判定四边形BFDG是平行四边形，得到DF//BE的平行关系，推出∠ADF=∠E=30°；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质计算∠BFD的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=50°，AB//CD，AB=CD，
∵AF=CG，
∴AB - AF = CD - CG，即BF=DG，
又
∵BF//DG，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∴DF//BE，
∴∠ADF=∠E=30°，
∵∠BFD是△AFD的外角，
∴∠BFD=∠A + ∠ADF = 50° + 30° = 80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，需要结合平行四边形的判定、性质和三角形外角性质求解，解题的关键是通过已知条件推导平行线关系，完成角的等量转换。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对角相等、对边平行且相等。第一步先由平行四边形性质得到∠A=∠C=50°，AB与CD平行且相等；第二步结合AF=CG推导出BF=DG，进而判定四边形BFDG是平行四边形，得到DF//BE的平行关系，推出∠ADF=∠E=30°；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质计算∠BFD的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=50°，AB//CD，AB=CD，
∵AF=CG，
∴AB - AF = CD - CG，即BF=DG，
又
∵BF//DG，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∴DF//BE，
∴∠ADF=∠E=30°，
∵∠BFD是△AFD的外角，
∴∠BFD=∠A + ∠ADF = 50° + 30° = 80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，需要结合平行四边形的判定、性质和三角形外角性质求解，解题的关键是通过已知条件推导平行线关系，完成角的等量转换。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按要求画图.
(1)在图1中，画线段AB，使AB=$\sqrt{34}$；
(2)在图2中，画△DEF，使三边长均为无理数，且一边长为$\sqrt{13}$，各边都不相等.
(1)在图1中，画线段AB，使AB=$\sqrt{34}$；
(2)在图2中，画△DEF，使三边长均为无理数，且一边长为$\sqrt{13}$，各边都不相等.
答案
13.解:(1)如图1,线段AB即为所求作.
(2)如图2,△DEF即为所求作.
三边长均为无理数,DE为$\sqrt{13}$,DF为$\sqrt{5}$,EF为$\sqrt{10}$,各边都不相等.(答案不唯一)
解析
【分析】
解决网格中的定长线段作图问题，核心是运用勾股定理：直角三角形的斜边长为$\sqrt{直角边\_\_\_\_\_\_1^2+直角边\_\_\_\_\_\_2^2}$。
(1) 要得到长度为$\sqrt{34}$的线段，先将34拆分为两个正整数的平方和：$3^2+5^2=9+25=34$，因此只要找到横向间隔3格、纵向间隔5格的两个格点，连接即可得到所求线段。
(2) 首先确定长度为$\sqrt{13}$的边：$2^2+3^2=4+9=13$，先画出这条边；再另外找两组不同的正整数平方和，得到另外两个互不相等、也不等于$\sqrt{13}$的无理数边长，比如$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，选取对应格点连接成三角形即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 根据勾股定理，取横向相差3个单位、纵向相差5个单位的两个格点A、B，可得$AB=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，线段AB即为所求。
(2) 第一步：先作长度为$\sqrt{13}$的边DE：选取横向相差2、纵向相差3的两个格点D、E，$DE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
第二步：确定第三个顶点F，使得$DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$均为无理数且互不相等，连接D、E、F，得到的△DEF满足要求，符合条件的三角形不唯一。
【答案】
(1)如图1,线段AB即为所求作.
(2)如图2,△DEF即为所求作.
三边长均为无理数,DE为$\sqrt{13}$,DF为$\sqrt{5}$,EF为$\sqrt{10}$,各边都不相等.(答案不唯一)
【知识点】
勾股定理的应用；网格作图；无理数的概念
【点评】
本题属于网格作图的基础题型，重点考查对勾股定理的灵活运用，解题的关键是能将根号下的数拆分为两个正整数的平方和，从而快速找到对应的格点，答案具有开放性，只要满足题目要求均正确。
【难度系数】
0.7
解决网格中的定长线段作图问题，核心是运用勾股定理：直角三角形的斜边长为$\sqrt{直角边\_\_\_\_\_\_1^2+直角边\_\_\_\_\_\_2^2}$。
(1) 要得到长度为$\sqrt{34}$的线段，先将34拆分为两个正整数的平方和：$3^2+5^2=9+25=34$，因此只要找到横向间隔3格、纵向间隔5格的两个格点，连接即可得到所求线段。
(2) 首先确定长度为$\sqrt{13}$的边：$2^2+3^2=4+9=13$，先画出这条边；再另外找两组不同的正整数平方和，得到另外两个互不相等、也不等于$\sqrt{13}$的无理数边长，比如$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，选取对应格点连接成三角形即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 根据勾股定理，取横向相差3个单位、纵向相差5个单位的两个格点A、B，可得$AB=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，线段AB即为所求。
(2) 第一步：先作长度为$\sqrt{13}$的边DE：选取横向相差2、纵向相差3的两个格点D、E，$DE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
第二步：确定第三个顶点F，使得$DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$均为无理数且互不相等，连接D、E、F，得到的△DEF满足要求，符合条件的三角形不唯一。
【答案】
(1)如图1,线段AB即为所求作.
(2)如图2,△DEF即为所求作.
三边长均为无理数,DE为$\sqrt{13}$,DF为$\sqrt{5}$,EF为$\sqrt{10}$,各边都不相等.(答案不唯一)
【知识点】
勾股定理的应用；网格作图；无理数的概念
【点评】
本题属于网格作图的基础题型，重点考查对勾股定理的灵活运用，解题的关键是能将根号下的数拆分为两个正整数的平方和，从而快速找到对应的格点，答案具有开放性，只要满足题目要求均正确。
【难度系数】
0.7
14.已知正比例函数$y=(3k-1)x$的图象经过点$(1,-2)$。
(1)求$k$的值；
(2)判断点$A(3,2)$是否在这个函数的图象上。
(1)求$k$的值；
(2)判断点$A(3,2)$是否在这个函数的图象上。
答案
14.解:(1)$k$的值为$-\dfrac{1}{3}$.
(2)点$A(3,2)$不在这个函数的图象上.
(2)点$A(3,2)$不在这个函数的图象上.
解析
【分析】
(1) 正比例函数图象上的点的坐标满足对应的函数解析式，已知函数图象经过点(1,-2)，只需将点的横、纵坐标代入函数表达式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 判断点是否在函数图象上的核心方法是：将点的横坐标代入已求出的函数解析式，计算对应的y值，若计算出的y值和该点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1)
∵ 正比例函数$y=(3k-1)x$的图象经过点$(1,-2)$
∴ 把$x=1$，$y=-2$代入解析式可得：
$\begin{aligned}-2&=(3k-1)×1\\3k-1&=-2\\3k&=-1\\k&=-\dfrac{1}{3}\end{aligned}$
(2) 将$k=-\dfrac{1}{3}$代入$y=(3k-1)x$，可得该正比例函数的解析式为：
$y=[3×(-\dfrac{1}{3})-1]x=-2x$
把点$A(3,2)$的横坐标$x=3$代入$y=-2x$得：
$y=-2×3=-6$
∵ $-6≠2$，即代入后得到的函数值和点的纵坐标不相等
∴ 点$A(3,2)$不在这个函数的图象上
【答案】
(1)$k$的值为$-\dfrac{1}{3}$；(2)点$A(3,2)$不在这个函数的图象上。
【知识点】
1.正比例函数图象上点的坐标特征 2.待定系数法求参数
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，核心考查函数图象与解析式的对应关系，计算量小，解题逻辑清晰，掌握“图象上的点坐标满足函数解析式”的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 正比例函数图象上的点的坐标满足对应的函数解析式，已知函数图象经过点(1,-2)，只需将点的横、纵坐标代入函数表达式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 判断点是否在函数图象上的核心方法是：将点的横坐标代入已求出的函数解析式，计算对应的y值，若计算出的y值和该点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1)
∵ 正比例函数$y=(3k-1)x$的图象经过点$(1,-2)$
∴ 把$x=1$，$y=-2$代入解析式可得：
$\begin{aligned}-2&=(3k-1)×1\\3k-1&=-2\\3k&=-1\\k&=-\dfrac{1}{3}\end{aligned}$
(2) 将$k=-\dfrac{1}{3}$代入$y=(3k-1)x$，可得该正比例函数的解析式为：
$y=[3×(-\dfrac{1}{3})-1]x=-2x$
把点$A(3,2)$的横坐标$x=3$代入$y=-2x$得：
$y=-2×3=-6$
∵ $-6≠2$，即代入后得到的函数值和点的纵坐标不相等
∴ 点$A(3,2)$不在这个函数的图象上
【答案】
(1)$k$的值为$-\dfrac{1}{3}$；(2)点$A(3,2)$不在这个函数的图象上。
【知识点】
1.正比例函数图象上点的坐标特征 2.待定系数法求参数
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，核心考查函数图象与解析式的对应关系，计算量小，解题逻辑清晰，掌握“图象上的点坐标满足函数解析式”的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
