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知识点 利用公式列代数式并求值
1. 如果正方形的边长为$a$，那么它的周长$C=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$S=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
2. 一个长方形的宽为$b$，长比宽多4，则这个长方形的面积$S=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
3. 一个火炬模型的底座可以近似看作圆锥.如果$V,r,h$分别表示圆锥的体积、底面半径和高，那么$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^3$（$π$取3）.
1. 如果正方形的边长为$a$，那么它的周长$C=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$S=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
2. 一个长方形的宽为$b$，长比宽多4，则这个长方形的面积$S=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
3. 一个火炬模型的底座可以近似看作圆锥.如果$V,r,h$分别表示圆锥的体积、底面半径和高，那么$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^3$（$π$取3）.
答案
1. 4a
2. $a^2$
3. $b(b+4)$
3. $\frac{1}{3}π r^2h$
2. $a^2$
3. $b(b+4)$
3. $\frac{1}{3}π r^2h$
解析
【分析】
这组题目考查常见几何图形的量的公式应用与列代数式的能力，解题思路如下：
1. 解决正方形相关问题：先回忆正方形周长、面积的计算公式，再将边长a直接代入公式即可得到对应代数式；
2. 解决长方形面积问题：先根据“长比宽多4”的数量关系，用含宽b的式子表示出长，再结合长方形面积=长×宽的公式列式；
3. 解决圆锥体积问题：直接回忆圆锥体积的标准计算公式，对应代入V、r、h的字母即可。
【解析】
1. 正方形周长公式为：周长=4×边长，已知边长为a，因此$C=4a\ \mathrm{cm}$；
正方形面积公式为：面积=边长×边长，因此$S=a× a=a^2\ \mathrm{cm}^2$。
2. 已知长方形宽为$b$，长比宽多4，因此长为$(b+4)\mathrm{cm}$；
长方形面积公式为：面积=长×宽，因此$S=b(b+4)\ \mathrm{cm}^2$。
3. 圆锥体积公式为：体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高，底面积为$π r^2$，因此$V=\frac{1}{3}π r^2h\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
1. $4a$；$a^2$
2. $b(b+4)$
3. $\frac{1}{3}π r^2h$
【知识点】
列代数式；正方形周长面积公式；圆锥体积公式
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对常见几何图形相关公式的记忆，以及简单数量关系的梳理能力，熟练掌握基础公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这组题目考查常见几何图形的量的公式应用与列代数式的能力，解题思路如下：
1. 解决正方形相关问题：先回忆正方形周长、面积的计算公式，再将边长a直接代入公式即可得到对应代数式；
2. 解决长方形面积问题：先根据“长比宽多4”的数量关系，用含宽b的式子表示出长，再结合长方形面积=长×宽的公式列式；
3. 解决圆锥体积问题：直接回忆圆锥体积的标准计算公式，对应代入V、r、h的字母即可。
【解析】
1. 正方形周长公式为：周长=4×边长，已知边长为a，因此$C=4a\ \mathrm{cm}$；
正方形面积公式为：面积=边长×边长，因此$S=a× a=a^2\ \mathrm{cm}^2$。
2. 已知长方形宽为$b$，长比宽多4，因此长为$(b+4)\mathrm{cm}$；
长方形面积公式为：面积=长×宽，因此$S=b(b+4)\ \mathrm{cm}^2$。
3. 圆锥体积公式为：体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高，底面积为$π r^2$，因此$V=\frac{1}{3}π r^2h\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
1. $4a$；$a^2$
2. $b(b+4)$
3. $\frac{1}{3}π r^2h$
【知识点】
列代数式；正方形周长面积公式；圆锥体积公式
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对常见几何图形相关公式的记忆，以及简单数量关系的梳理能力，熟练掌握基础公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 如图27-G-1，在长方形中挖去两个三角形.用含$a$，$b$的式子表示图中阴影部分的面积为
$ab$
；当$a=10$，$b=8$时，图中阴影部分的面积为$80$
. 答案
4. $ab$ 80
解析
【分析】
求阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：第一步先计算整个长方形的面积，第二步计算两个空白三角形的面积之和，第三步用长方形面积减去空白部分总面积，即可得到阴影部分面积的代数式；再将a、b的数值代入代数式计算，就能得到具体的面积数值。
【解析】
1. 计算长方形面积：
长方形的长为$2a$，宽为$b$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得长方形面积为：$2a × b = 2ab$。
2. 计算空白部分总面积：
两个空白三角形的底均为$a$，高均等于长方形的宽$b$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
单个空白三角形面积为$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$，
两个空白三角形面积和为$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = ab$。
3. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积 = 长方形面积 - 空白部分面积和 = $2ab - ab = ab$。
4. 代入数值计算：
当$a=10$，$b=8$时，阴影部分面积为$10 × 8 = 80$。
【答案】
$ab$；80
【知识点】
长方形面积计算，三角形面积计算，代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，用整体减空白的割补法可以简化计算过程，也可以直接观察阴影部分所有三角形的底之和为$2a$、高均为$b$，直接用三角形面积公式求和得到结果，两种方法均能快速求解。
【难度系数】
0.75
求阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：第一步先计算整个长方形的面积，第二步计算两个空白三角形的面积之和，第三步用长方形面积减去空白部分总面积，即可得到阴影部分面积的代数式；再将a、b的数值代入代数式计算，就能得到具体的面积数值。
【解析】
1. 计算长方形面积：
长方形的长为$2a$，宽为$b$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得长方形面积为：$2a × b = 2ab$。
2. 计算空白部分总面积：
两个空白三角形的底均为$a$，高均等于长方形的宽$b$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
单个空白三角形面积为$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$，
两个空白三角形面积和为$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = ab$。
3. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积 = 长方形面积 - 空白部分面积和 = $2ab - ab = ab$。
4. 代入数值计算：
当$a=10$，$b=8$时，阴影部分面积为$10 × 8 = 80$。
【答案】
$ab$；80
【知识点】
长方形面积计算，三角形面积计算，代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，用整体减空白的割补法可以简化计算过程，也可以直接观察阴影部分所有三角形的底之和为$2a$、高均为$b$，直接用三角形面积公式求和得到结果，两种方法均能快速求解。
【难度系数】
0.75
5. (教材例4变式)(2025伊州区校级期中)文房四宝中的砚台是中国毛笔书法的必备用具，图27-G-2是某砚台的示意图，该砚台外部的正方形边长为m，内部圆形凹槽半径为n.
(1)用含有m，n的式子表示图中阴影部分的面积为
(2)当m=14，n=6时，求图中阴影部分的面积(π取3).
(1)用含有m，n的式子表示图中阴影部分的面积为
$m^2-π n^2$
；(2)当m=14，n=6时，求图中阴影部分的面积(π取3).
答案
5. 解:(1)因为砚台外部的正方形边长为 m,内部圆形凹槽半径为 n.
所以阴影部分的面积为 $m^2-π n^2$.
故答案为 $m^2-π n^2$.
(2)当 $m=14,n=6$ 时,$m^2-π n^2 \approx 14^2-3 × 6^2=88$.
答:题图中阴影部分的面积约为 88.
所以阴影部分的面积为 $m^2-π n^2$.
故答案为 $m^2-π n^2$.
(2)当 $m=14,n=6$ 时,$m^2-π n^2 \approx 14^2-3 × 6^2=88$.
答:题图中阴影部分的面积约为 88.
解析
【分析】
(1) 求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：观察图形可知，整体是边长为m的正方形，空白部分是半径为n的圆，分别求出两个规则图形的面积后作差，即可得到阴影部分面积的表达式。
(2) 第二问是代数式求值问题，只需将给定的m、n和π的取值代入第一问得到的表达式中，按照先算乘方、再算乘法、最后算减法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 边长为m的正方形面积为：$S_{\mathrm{正方形}}=m^2$
半径为n的圆的面积为：$S_{\mathrm{圆}}=π n^2$
阴影部分面积等于正方形面积减去圆的面积，即$S_{\mathrm{阴影}}=m^2-π n^2$。
(2) 将$m=14$，$n=6$，$π=3$代入$m^2-π n^2$计算：
$\begin{aligned}m^2-π n^2&=14^2 - 3×6^2\\&=196 - 3×36\\&=196 - 108\\&=88\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{m^2-π n^2}$；(2) $\boldsymbol{88}$
【知识点】
正方形面积计算，圆的面积计算，代数式求值
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的转化思路，将不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差是解题关键，代入数值计算时需注意运算顺序，属于基础的面积计算题型。
【难度系数】
0.85
(1) 求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：观察图形可知，整体是边长为m的正方形，空白部分是半径为n的圆，分别求出两个规则图形的面积后作差，即可得到阴影部分面积的表达式。
(2) 第二问是代数式求值问题，只需将给定的m、n和π的取值代入第一问得到的表达式中，按照先算乘方、再算乘法、最后算减法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 边长为m的正方形面积为：$S_{\mathrm{正方形}}=m^2$
半径为n的圆的面积为：$S_{\mathrm{圆}}=π n^2$
阴影部分面积等于正方形面积减去圆的面积，即$S_{\mathrm{阴影}}=m^2-π n^2$。
(2) 将$m=14$，$n=6$，$π=3$代入$m^2-π n^2$计算：
$\begin{aligned}m^2-π n^2&=14^2 - 3×6^2\\&=196 - 3×36\\&=196 - 108\\&=88\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{m^2-π n^2}$；(2) $\boldsymbol{88}$
【知识点】
正方形面积计算，圆的面积计算，代数式求值
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的转化思路，将不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差是解题关键，代入数值计算时需注意运算顺序，属于基础的面积计算题型。
【难度系数】
0.85
