登录
14. 如图,点A,B在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上,点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,连接AC,BC,且AC//x轴,BC//y轴,AC=BC.若点A的横坐标为2,则k的值为
36
.答案
14. 36 解析:当x=2时,y=12/ x=6,则A(2,6).
∵ AC//x轴,
∴ 点C的纵坐标为6.设C(k/6,6).
∵ BC//y轴,
∴ 点B的横坐标为k/6,
∴ B(k/6,72/k).
∵ CA=CB,
∴ k/6 -2=6 -72/k,整理得k²-48k+432=0,解得k₁=36,k₂=12(舍去).经检验,k₁=36是原方程的解,
∴ k=36.
∵ AC//x轴,
∴ 点C的纵坐标为6.设C(k/6,6).
∵ BC//y轴,
∴ 点B的横坐标为k/6,
∴ B(k/6,72/k).
∵ CA=CB,
∴ k/6 -2=6 -72/k,整理得k²-48k+432=0,解得k₁=36,k₂=12(舍去).经检验,k₁=36是原方程的解,
∴ k=36.
15. 如图,将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转,点$C$的对应点$E$恰好落在边$BC$的延长线上,$AD$与$BE$相交于点$F$,若$S_{△ ACF} - S_{△ DEF} = \frac{5}{2}S_{△ ABC}$,则$\frac{BC}{CE} =$
2/7
.答案
15. 2/7 解析:由旋转得S△ADE=S△ABC,
∵ S△ACF - S△DEF=5/2 S△ABC,
∴ S△ACF + S△AEF - S△DEF=5/2 S△ABC + S△AEF,
∴ S△ACE=5/2 S△ABC + S△AEF + S△DEF=5/2 S△ABC + S△ADE,
∴ S△ACE=5/2 S△ABC + S△ABC=7/2 S△ABC,
∴ S△ABC/S△ACE=2/7.设点A到BE的距离为h,
∴ (1/2 BC·h)/(1/2 CE·h)=2/7,
∴ BC/CE=2/7.
∵ S△ACF - S△DEF=5/2 S△ABC,
∴ S△ACF + S△AEF - S△DEF=5/2 S△ABC + S△AEF,
∴ S△ACE=5/2 S△ABC + S△AEF + S△DEF=5/2 S△ABC + S△ADE,
∴ S△ACE=5/2 S△ABC + S△ABC=7/2 S△ABC,
∴ S△ABC/S△ACE=2/7.设点A到BE的距离为h,
∴ (1/2 BC·h)/(1/2 CE·h)=2/7,
∴ BC/CE=2/7.
16. 如图, 在矩形ABCD中, AB=6, BC=8, E是边BC上的动点, 连接AE, 过点E作EF⊥AE, 与边CD交于点F, 连接AF, 则AF的最小值为
26/3
. 答案
16. 26/3 解析:设BE的长为x,CF的长为y,则CE=BC-BE=8-x,
∵ AB⊥BC,EF⊥AE,DC⊥BC,
∴ ∠ABE=∠ECF=∠AEF=90°,
∴ ∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴ ∠BAE=∠CEF,
∴ Rt△ABE∽Rt△ECF,
∴ AB/CE = BE/CF,即6/(8-x)=x/y,
∴ y=-1/6 x² +4/3 x = -1/6 (x-4)² +8/3 (0＜x＜8),
∴ y最大=8/3.当CF=8/3时,DF=6-8/3=10/3,此时AF取得最小值,最小值为√(AD²+DF²)=√(8²+(10/3)²)=√(676/9)=26/3.
∵ AB⊥BC,EF⊥AE,DC⊥BC,
∴ ∠ABE=∠ECF=∠AEF=90°,
∴ ∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴ ∠BAE=∠CEF,
∴ Rt△ABE∽Rt△ECF,
∴ AB/CE = BE/CF,即6/(8-x)=x/y,
∴ y=-1/6 x² +4/3 x = -1/6 (x-4)² +8/3 (0＜x＜8),
∴ y最大=8/3.当CF=8/3时,DF=6-8/3=10/3,此时AF取得最小值,最小值为√(AD²+DF²)=√(8²+(10/3)²)=√(676/9)=26/3.
17. (6分)计算：$( \dfrac{1}{5} )^{-1} - \sqrt{9} + 2\sin 30° - (π - 1)^0.$
答案
17. 原式=5-3+2×1/2 -1=5-3+1-1=2.
18. (7分)解不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 0, \\ \dfrac{x - 1}{4} ＜ \dfrac{x}{3},\end{cases}$并写出它的整数解.
答案
18. $\begin{cases}2x-1＜0, ① \\ \dfrac{x-1}{4} ＜ \dfrac{x}{3}, ②\end{cases}$ 由①得x＜1/2,由②得x＞-3,
∴ 不等式组的解集为-3＜x＜1/2.则原不等式组的整数解是-2,-1,0.
∴ 不等式组的解集为-3＜x＜1/2.则原不等式组的整数解是-2,-1,0.
19. (7分)先化简,再求值: $(\dfrac{1}{a-b}-\dfrac{b}{a^2-b^2})÷\dfrac{a}{a+b}$,
其中 $a=\sqrt{3}+1, b=1$.
其中 $a=\sqrt{3}+1, b=1$.
答案
19. 原式 = $[\dfrac{a+b}{(a+b)(a-b)} - \dfrac{b}{(a+b)(a-b)}] ÷ \dfrac{a}{a+b} = \dfrac{a}{(a+b)(a-b)} · \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{1}{a-b}$,当 $a=\sqrt{3}+1,b=1$ 时,原式= $\dfrac{1}{a-b}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
20. (8分)(2026·沈阳期末)在某次射击训练中,队员甲、乙、丙都进行了12次射击,射击成绩(单位:环)信息统计如下:
信息一:如图①,队员甲的12次射击成绩的统计图;
信息二:队员乙的12次射击成绩的平均数为8环,方差为2.5;
信息三:如图②,根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图;
信息四:队员丙的12次射击成绩记录整理为:6,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,10.
(1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差;
(2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数$m_{25},m_{50},m_{75}$,并在图②中绘制相应的箱线图;
(3)根据上述信息,请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况.
信息一:如图①,队员甲的12次射击成绩的统计图;
信息二:队员乙的12次射击成绩的平均数为8环,方差为2.5;
信息三:如图②,根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图;
信息四:队员丙的12次射击成绩记录整理为:6,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,10.
(1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差;
(2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数$m_{25},m_{50},m_{75}$,并在图②中绘制相应的箱线图;
(3)根据上述信息,请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况.
答案
20. (1)队员甲的12次射击成绩的平均数为 $\dfrac{6×1+7×3+8×4+9×3+10×1}{12}=8$(环)；方差为 $\dfrac{1}{12}×[(6-8)^2+(7-8)^2×3+(8-8)^2×4+(9-8)^2×3+(10-8)^2×1]=\dfrac{7}{6}$.
(2)根据题意,队员丙的12次射击成绩的四分位数 $m_{25}=\dfrac{6+7}{2}=6.5$,$m_{50}=\dfrac{7+8}{2}=7.5$,$m_{75}=\dfrac{9+9}{2}=9$. 如图,箱线图即为所求.
(3)队员丙的12次射击成绩的平均数为 $\dfrac{6×3+7×3+8×2+9×3+10×1}{12}=\dfrac{23}{3}$(环),方差为 $\dfrac{1}{12}×[(6-\dfrac{23}{3})^2+(7-\dfrac{23}{3})^2×3+(8-\dfrac{23}{3})^2×2+(9-\dfrac{23}{3})^2×3+(10-\dfrac{23}{3})^2×1]=\dfrac{31}{18}$.
∵ 队员乙的12次射击成绩的平均数为8环,方差为2.5,队员甲的12次射击成绩的平均数为8环,方差为$\dfrac{7}{6}$,且$\dfrac{23}{3}＜8$,$\dfrac{7}{6}＜\dfrac{31}{18}＜2.5$,
∴ 甲的成绩比较集中且稳定,乙和丙的成绩比较分散.(答案不唯一)
