20. (10分)(1)如图①,已知$CE与AB交于点E$,$AC= BC$,$\angle 1= \angle 2$.求证：$AE= BE$.
(2)如图②,已知$CD的延长线与AB交于点E$,$AD= BC$,$\angle 3= \angle 4$.探究$AE与BE$的数量关系,并说明理由.

​(1)​证明：在​△ACE​和​△BCE​中
$​ \begin {cases}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CE=CE}\end {cases}​$
∴​△ACE≌△ BCE(S AS)​
∴​AE=BE​
​(2)​解：​AE=BE，​理由如下：
在​CE​上截取​CF=DE，​如图
在​△ADE​和​△BCF {中}​
$​\begin {cases}{AD =BC}\\{∠3=∠4}\\{DE=CF}\end {cases}​$
∴​△ADE≌△ BCF(S AS)​
∴​AE=BF，​​∠AED=∠BF C​
∵​∠AED+∠BEF=180°，​​∠BF C+∠EF B=180°​
∴​∠BEF=∠EF B，​∴​BE=BF​
∴​AE=BE​

21. (12分)如图①,$\triangle ABC和\triangle DEF$是两张全等的直角三角形纸片,将它们叠放在一起,其中$\angle ACB= \angle E= 90^{\circ}$,$BC= DE= 6$,$AC= FE= 8$,顶点$D与边AB$的中点重合.
(1)若$DE经过点C$,$DF交AC于点G$,求证：$\angle AGD= 90^{\circ}$.
(2)求图①中重叠部分$\triangle DCG$的面积.
(3)将$\triangle DEF绕点D$旋转,使$DE\perp AB$,垂足为$D$,$DE交AC于点H$,$DF交AC于点G$,如图②,$DH= \frac{15}{4}$,求重叠部分$\triangle DGH$的面积.

​(1)​证明：∵​∠ACB = 90°，​​D​是​AB​的中点，
∴​DC = DB = DA，​∴​∠B = ∠DCB​
∵​∆ABC≌∆F DE，​∴​∠F DE = ∠B​
∴​∠F DE = ∠DCB，​∴​DG//BC​
∴​∠AG D = ∠ACB​
∵​∠ACB = 90°，​∴​∠AG D = 90°​
​(2)​由​(1)​可得，​∠AG D = 90°​
∵​DC = DA，​​G D⊥AC，​∴点​G ​是​AC​的中点
∴$​CG = \frac 12\ \mathrm {A}C=\frac 12×8=4​$
∵点​D​是​AB​的中点，∴​DG ​是​∆ABC​的中位线
∴$​DG = \frac 12BC=\frac 12×6=3​$
∴$​S_{△DCG}=\frac 12CG·DG=\frac 12×4×3=6​$
∴图​1​中重叠部分​(∆DCG)​的面积为​6​
​(3)​连接​BH​
∵​∆ABC≌∆F DE，​∴​∠ABC = ∠F DE​
∵​∠ACB = 90°，​​DE⊥AB​
∴​∠A + ∠ABC = 90°，​​∠A + ∠AHD = 90°​
∴​∠ABC = ∠AHD，​∴​∠A = ∠F DE，​∴​G D = GH​
∵​∠A + ∠AHD = 90°，​​∠ADG + ∠F DE = 90°，​​∠AHD = ∠F DE​
∴​∠A = ∠F DE，​∴​AG = G D，​∴​AG = CG​
∴点​G ​是​AG ​的中点
∴$​S_{△DGH}=\frac 12S_{△ADH}​$
∵$​AB = \sqrt {AC^2+BC^2}，$​​AC = 8，​​BC = 6​
∴​AB = 10​
∴$​AD = \frac 12\ \mathrm {A}B=\frac 12×10=5​$
∴$​S_{△ADH}=\frac 12\ \mathrm {A}D·DH=\frac 12×5×\frac {15}4=\frac {75}8​$
∴$​S_{△DGH}=\frac 12 S_{△ADH}=\frac 12×\frac {75}8=\frac {75}{16}​$
∴重叠部分​(∆DGH)​的面积为$​\frac {75}{16}​$