21. (★★★)【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴,我们发现了许多重要的规律,比如：若数轴上点$A$,$B表示的数分别为a$,$b$,则$A$,$B两点之间的距离AB = |a - b|$,线段$AB的中点表示的数为\frac{a + b}{2}$.
【问题情境】
如图,数轴上点$A表示的数为- 2$,点$B表示的数为8$,点$P从点A$出发,以每秒$3$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点$Q从点B$出发,以每秒$2$个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为$t s(t ＞ 0)$.
【综合运用】
(1)填空：$t s$后,点$P$表示的数为,点$Q$表示的数为______.(用含$t$的代数式表示)
(2)求当$t$为何值时,$P$,$Q$两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
(3)求当$t$为何值时,$PQ= \frac{1}{2}AB$.
(4)若点$M为PA$的中点,点$N为PB$的中点,点$P$在运动过程中,线段$MN$的长度是否发生变化？若变化,请说明理由；若不变,请求出线段$MN$的长.

-2+3t
8-2t
解:(2)根据题意，得-2+3t=8-2t.
解得t=2.
此时-2+3×2=4.
所以当t为2时，P,Q两点相遇，相遇点所
表示的数为4.
(3)因为点A表示的数为-2，点B表示的数为8，
所以AB=|8-(-2)|=10.
因为$PQ=\frac{1}{2}AB,$
所以|-2+3t-(8-2t)|$=\frac{1}{2}×10$
解得t=1或t=3.
所以当t为1或3时$,PQ=\frac{1}{2}AB$
(4)线段MN的长度不发生变化.理由如下:
因为点M为PA的中点，点N为PB的中点，
所以点M表示的数是$\frac{-2-2+3t}{2}=\frac{3t}{2}-2，$
点N表示的数是$\frac{-2+3t+8}{2}=3+\frac{3t}{2}$
所以MN=|$3+\frac{3t}{2}-(\frac{3t}{2}-2) $|=5.
所以线段MN的长度为5,不发生变化