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单项式与单项式相乘
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个。
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个。
答案
系数、相同字母的幂、因式
解析
根据单项式与单项式相乘的法则，直接填写相应内容。
【例 1】计算：
（1）$3a^{2}· 2a^{3}$；（2）$\frac{1}{4}m· 16mn^{2}$；
（3）$(-3a)· 2ab$；（4）$(-8ab)· \frac{3}{4}a^{2}b$。
（1）$3a^{2}· 2a^{3}$；（2）$\frac{1}{4}m· 16mn^{2}$；
（3）$(-3a)· 2ab$；（4）$(-8ab)· \frac{3}{4}a^{2}b$。
答案
（1）
$3a^{2}·2a^{3}=(3×2)·(a^{2}· a^{3}) = 6a^{2 + 3}=6a^{5}$
（2）
$\frac{1}{4}m·16mn^{2}=(\frac{1}{4}×16)·(m· m)· n^{2}=4m^{2}n^{2}$
（3）
$(-3a)·2ab=(-3×2)·(a· a)· b=-6a^{2}b$
（4）
$(-8ab)·\frac{3}{4}a^{2}b=(-8×\frac{3}{4})·(a· a^{2})·(b· b)=-6a^{3}b^{2}$
$3a^{2}·2a^{3}=(3×2)·(a^{2}· a^{3}) = 6a^{2 + 3}=6a^{5}$
（2）
$\frac{1}{4}m·16mn^{2}=(\frac{1}{4}×16)·(m· m)· n^{2}=4m^{2}n^{2}$
（3）
$(-3a)·2ab=(-3×2)·(a· a)· b=-6a^{2}b$
（4）
$(-8ab)·\frac{3}{4}a^{2}b=(-8×\frac{3}{4})·(a· a^{2})·(b· b)=-6a^{3}b^{2}$
【变式 1】计算 $9(xy)^{3}(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{2}+(-x^{2}y)^{2}+(-x^{2}y)^{3}· xy^{2}$。
答案
$x^{4}y^{2}$
解析
$\begin{aligned}&9(xy)^{3}\left(-\frac{1}{3}x^{2}y\right)^{2}+\left(-x^{2}y\right)^{2}+\left(-x^{2}y\right)^{3}· xy^{2}\\=&9(x^{3}y^{3})\left(\frac{1}{9}x^{4}y^{2}\right)+(x^{4}y^{2})+\left(-x^{6}y^{3}\right)· xy^{2}\\=&9×\frac{1}{9}x^{3+4}y^{3+2}+x^{4}y^{2}-x^{6+1}y^{3+2}\\=&x^{7}y^{5}+x^{4}y^{2}-x^{7}y^{5}\\=&x^{4}y^{2}\end{aligned}$
【例 2】若一个长方形的长为 $6x^{2}y$，宽为 $3xy$，则它的面积为()。
A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$
A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$
答案
B
解析
长方形面积=长×宽，即$6x^{2}y × 3xy = (6×3)×(x^{2}×x)×(y×y) = 18x^{3}y^{2}$
【变式 2】已知 $x$，$y$ 满足 $|x - 3|+(y + 1)^{2}=0$，试求式子 $-2xy· 5xy^{3}+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}· 2y^{2}+(2xy^{2})^{2}$ 的值。
答案
-45
解析
因为|x - 3|+(y + 1)²=0，且|x - 3|≥0，(y + 1)²≥0，所以x - 3=0，y + 1=0，解得x=3，y=-1。
原式$=-2xy·5xy³+\frac{1}{2}x²y²·2y²+(2xy²)²$
=-10x²y⁴+x²y⁴+4x²y⁴
=(-10+1+4)x²y⁴
=-5x²y⁴。
当x=3，y=-1时，原式=-5×3²×(-1)⁴=-5×9×1=-45。
原式$=-2xy·5xy³+\frac{1}{2}x²y²·2y²+(2xy²)²$
=-10x²y⁴+x²y⁴+4x²y⁴
=(-10+1+4)x²y⁴
=-5x²y⁴。
当x=3，y=-1时，原式=-5×3²×(-1)⁴=-5×9×1=-45。
1. 计算 $\frac{1}{3}a^{3}b^{2}· (-6a^{2}b)$，结果是()。
A.$-2a^{5}b^{3}$
B.$2a^{5}b^{3}$
C.$-2a^{6}b^{2}$
D.$2a^{6}b^{2}$
A.$-2a^{5}b^{3}$
B.$2a^{5}b^{3}$
C.$-2a^{6}b^{2}$
D.$2a^{6}b^{2}$
答案
A
解析
根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，相同字母的幂相乘。
系数相乘：$\frac{1}{3} × (-6) = -2$，
字母部分相乘：$a^{3} · a^{2} = a^{3+2} = a^{5}$，$b^{2} · b = b^{2+1} = b^{3}$。
所以，$\frac{1}{3}a^{3}b^{2} · (-6a^{2}b) = -2a^{5}b^{3}$。
系数相乘：$\frac{1}{3} × (-6) = -2$，
字母部分相乘：$a^{3} · a^{2} = a^{3+2} = a^{5}$，$b^{2} · b = b^{2+1} = b^{3}$。
所以，$\frac{1}{3}a^{3}b^{2} · (-6a^{2}b) = -2a^{5}b^{3}$。
2. 计算：$6x^{2}y^{3}· (-xy)^{2}$ 等于()。
A.$6x^{4}y^{5}$
B.$-6x^{4}y^{3}$
C.$6x^{4}y^{6}$
D.$-6x^{4}y^{6}$
A.$6x^{4}y^{5}$
B.$-6x^{4}y^{3}$
C.$6x^{4}y^{6}$
D.$-6x^{4}y^{6}$
答案
A
解析
首先计算$(-xy)^{2}$，根据积的乘方运算法则，$(-xy)^{2}=(-1)^{2}x^{2}y^{2}=x^{2}y^{2}$。
则原式$6x^{2}y^{3}·(-xy)^{2}=6x^{2}y^{3}· x^{2}y^{2}$。
根据单项式与单项式相乘的运算法则，系数与系数相乘，同底数幂相乘，可得$6x^{2}y^{3}· x^{2}y^{2}=(6×1)×(x^{2}· x^{2})×(y^{3}· y^{2})$。
再根据同底数幂的乘法法则：$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，可得$(6×1)×(x^{2}· x^{2})×(y^{3}· y^{2})=6x^{2 + 2}y^{3+2}=6x^{4}y^{5}$。
则原式$6x^{2}y^{3}·(-xy)^{2}=6x^{2}y^{3}· x^{2}y^{2}$。
根据单项式与单项式相乘的运算法则，系数与系数相乘，同底数幂相乘，可得$6x^{2}y^{3}· x^{2}y^{2}=(6×1)×(x^{2}· x^{2})×(y^{3}· y^{2})$。
再根据同底数幂的乘法法则：$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，可得$(6×1)×(x^{2}· x^{2})×(y^{3}· y^{2})=6x^{2 + 2}y^{3+2}=6x^{4}y^{5}$。
3. 计算：$(-5a^{4})· (-6ab^{3})=$。
答案
$30a^{5}b^{3}$（或填写在下划线处，由于要求格式，此处以文字表述）。
解析
根据单项式乘单项式的法则，首先计算系数：$(-5) × (-6) = 30$，
然后，对于字母部分，根据同底数幂的乘法规则，有 $a^{4} · a = a^{4+1} = a^{5}$，
再结合另一个单项式中的 $b^{3}$，得到最终的字母部分为 $a^{5}b^{3}$，
所以，$(-5a^{4}) · (-6ab^{3}) = 30a^{5}b^{3}$。
然后，对于字母部分，根据同底数幂的乘法规则，有 $a^{4} · a = a^{4+1} = a^{5}$，
再结合另一个单项式中的 $b^{3}$，得到最终的字母部分为 $a^{5}b^{3}$，
所以，$(-5a^{4}) · (-6ab^{3}) = 30a^{5}b^{3}$。
4. 如果 $x^{n}y^{4}$ 与 $2xy^{m}$ 相乘的结果是 $2x^{5}y^{7}$，那么 $m=$，$n=$。
答案
【解析】：
根据题意，有 $x^{n}y^{4} · 2xy^{m} = 2x^{5}y^{7}$。
根据单项式相乘的规则，系数相乘，字母部分同底数幂相乘，得到：
$2x^{n+1}y^{4+m} = 2x^{5}y^{7}$
由于两侧系数已经相等（均为2），只需考虑字母部分的指数。
对于x的指数，有 $n + 1 = 5$，解得 $n = 4$。
对于y的指数，有 $4 + m = 7$，解得 $m = 3$。
【答案】：
$m=3$，$n=4$（由于需要分别填入$m$和$n$的值，且题目要求格式，故分别给出答案形式）
$m$的答案：3
$n$的答案：4
根据题意，有 $x^{n}y^{4} · 2xy^{m} = 2x^{5}y^{7}$。
根据单项式相乘的规则，系数相乘，字母部分同底数幂相乘，得到：
$2x^{n+1}y^{4+m} = 2x^{5}y^{7}$
由于两侧系数已经相等（均为2），只需考虑字母部分的指数。
对于x的指数，有 $n + 1 = 5$，解得 $n = 4$。
对于y的指数，有 $4 + m = 7$，解得 $m = 3$。
【答案】：
$m=3$，$n=4$（由于需要分别填入$m$和$n$的值，且题目要求格式，故分别给出答案形式）
$m$的答案：3
$n$的答案：4
5. 计算：
（1）$(2x)^{3}(-5xy^{2})$；
（2）$(-3xy^{4})(-\frac{2}{3}x^{2})$。
（1）$(2x)^{3}(-5xy^{2})$；
（2）$(-3xy^{4})(-\frac{2}{3}x^{2})$。
答案
（1）
$(2x)^{3}(-5xy^{2})$
$=(2^{3}· x^{3})·(-5xy^{2})$
$=(8x^{3})·(-5xy^{2})$
$=8×(-5)· x^{3}· x· y^{2}$
$=-40x^{3 + 1}y^{2}$
$=-40x^{4}y^{2}$
（2）
$(-3xy^{4})(-\frac{2}{3}x^{2})$
$=[(-3)×(-\frac{2}{3})]· x· x^{2}· y^{4}$
$=2x^{1 + 2}y^{4}$
$=2x^{3}y^{4}$
$(2x)^{3}(-5xy^{2})$
$=(2^{3}· x^{3})·(-5xy^{2})$
$=(8x^{3})·(-5xy^{2})$
$=8×(-5)· x^{3}· x· y^{2}$
$=-40x^{3 + 1}y^{2}$
$=-40x^{4}y^{2}$
（2）
$(-3xy^{4})(-\frac{2}{3}x^{2})$
$=[(-3)×(-\frac{2}{3})]· x· x^{2}· y^{4}$
$=2x^{1 + 2}y^{4}$
$=2x^{3}y^{4}$
