6. 如图，在四边形ABCD中，AD = 4，BC = 1，∠A = 30°，∠B = 90°，∠ADC = 120°，求CD的长.

2

延长AD、BC交于点E。
在△ABE中，∠A=30°，∠B=90°，∴∠E=60°。
∵∠ADC=120°，A、D、E共线，∴∠EDC=180°-∠ADC=60°。
在△EDC中，∠E=60°，∠EDC=60°，∴∠ECD=60°，△EDC为等边三角形，设CD=ED=EC=x。
∵AD=4，∴AE=AD+DE=4+x。
在Rt△ABE中，∠A=30°，∴BE=AE/2=(4+x)/2。
又BE=BC+CE=1+x，∴(4+x)/2=1+x。
解得x=2，即CD=2。

7. （2025昆明五华区期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE = $\frac{1}{2}$BC.D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于点F.求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE = 2DF.

（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC.
∵D是AC中点，∴AD=DC=1/2AC.
设BC=2a，则CE=1/2BC=a，AC=2a，∴DC=CE=a.
∴△DCE中，DC=CE，∠CDE=∠CED.
∵∠ACB是△DCE的外角，∴∠ACB=∠CDE+∠CED=60°.
∴2∠CDE=60°，∠CDE=30°.
∵∠CDE=∠ADF（对顶角相等），∴∠ADF=30°.
在△ADF中，∠A=60°，∠ADF=30°，
∴∠AFD=180°-60°-30°=90°，即EF⊥AB.
（2）证明：设BC=2a，则AC=2a，AD=DC=a，CE=a.
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，AD=a，
∴AF=1/2AD=1/2a（30°角所对直角边等于斜边一半）.
由勾股定理得DF=√(AD²-AF²)=√(a²-(1/2a)²)=√3/2a.
在△DCE中，DC=CE=a，∠DCE=180°-∠ACB=120°.
过点C作CH⊥DE于H，∵DC=CE，∴DH=HE（三线合一）.
∠CDE=30°，在Rt△DCH中，CH=1/2DC=1/2a（30°角所对直角边等于斜边一半）.
由勾股定理得DH=√(DC²-CH²)=√(a²-(1/2a)²)=√3/2a.
∴DE=2DH=2×√3/2a=√3a.
∵DF=√3/2a，∴DE=2DF.

8. （几何直观）如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t s，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°。
由题意得：AP=t cm，BQ=t cm，
∴PB=AB-AP=(3-t)cm（0≤t≤3）。
情况一：∠BPQ=90°
在Rt△PBQ中，∠BPQ=90°，∠PBQ=60°，
∴∠BQP=30°。
∵30°角所对直角边是斜边一半，
∴BP=½BQ。
即3-t=½t，解得t=2。
情况二：∠BQP=90°
在Rt△PBQ中，∠BQP=90°，∠PBQ=60°，
∴∠BPQ=30°。
∵30°角所对直角边是斜边一半，
∴BQ=½BP。
即t=½(3-t)，解得t=1。
综上，t=1或t=2。
答案：t=1或2。