【例题1】认真观察图中的四个阴影部分构成的图案,回答下列问题.

(1) 请写出这四个图案都具有的两个共同特征.
特征1：
特征2：
(2) 请在下图中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征.

思路导引 对于上图的分析可从对称和面积角度分析,所设计的图案一定要满足条件.
解：(1)都是轴对称图形 都是中心对称图形 这些图形的面积都等于4个单位面积(写出两个即可)
(2) 满足条件的图形有很多,如下图.

【例题2】如图,点$O是矩形ABCD$对角线的交点,将矩形折叠,使点$C与点A$重合. 若$AB = 3$,$BC = 4$,求折痕$EF$的长.

思路导引 由于矩形是中心对称图形,对称中心是点$O$,则$A$,$C两点关于点O$对称. 将矩形折叠,使点$C和点A$重合,折痕为$EF$,那么由轴对称图形的性质可知,$EF是AC$的垂直平分线.

解：如图,连接$AF$.
∵点$C与点A$重合,折痕为$EF$,即$EF垂直平分AC$,
∴$AF = CF$,$AO = CO$,$\angle FOC = 90^\circ$.
又四边形$ABCD$为矩形,则$\angle B = 90^\circ$,$AB = CD = 3$,$AD = BC = 4$.
设$CF = x$,则$AF = x$,$BF = 4 - x$.
由勾股定理,得$AC^2 = BC^2 + AB^2 = 5^2$.
∴$AC = 5$,$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}$.
∵$AB^2 + BF^2 = AF^2$,
∴$3^2 + (4 - x)^2 = x^2$.
解得$x = \frac{25}{8}$.
∵$\angle FOC = 90^\circ$,
∴$OF^2 = FC^2 - OC^2 = \left(\frac{25}{8}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{15}{8}\right)^2$,$OF = \frac{15}{8}$.
同理,$OE = \frac{15}{8}$,即$EF = OE + OF = \frac{15}{4}$.