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1. (★)在Rt△ABC中,∠C = 90°,我们把锐角A的
对边
与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA。答案
对边；邻边
解析
在直角三角形中，正切的定义为锐角的对边与邻边的比。对于∠A，其对边是BC，邻边是AC（∠C为直角），所以∠A的正切是∠A的对边与邻边的比。
2. (★)锐角A的
正弦
、余弦
、正切都是∠A的锐角三角函数。答案
正弦、余弦
解析
根据锐角三角函数的定义，锐角$A$的正弦、余弦以及正切都是$\angle A$的锐角三角函数。
3. (★)在Rt△ABC中,∠C = 90°,若AC = 2BC,则tanA的值是【
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
A
】A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案
A
解析
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C=90^{\circ}$，设$BC=x$，因为$AC = 2BC$，则$AC = 2x$。
根据正切函数的定义，在直角三角形中，$\tan A=\frac{BC}{AC}$（这里的$BC$是$A$的对边，$AC$是$A$的邻边），将$BC=x$，$AC = 2x$代入可得$\tan A=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
根据正切函数的定义，在直角三角形中，$\tan A=\frac{BC}{AC}$（这里的$BC$是$A$的对边，$AC$是$A$的邻边），将$BC=x$，$AC = 2x$代入可得$\tan A=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
4. (★)如图28.1 - 18,在△ABC中,∠C = 90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则【
A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$
B
】A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$
答案
B
解析
已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，设 $\angle A, \angle B, \angle C$ 所对的边分别为 $a, b, c$。
根据三角函数的定义，有：
$\sin B = \frac{b}{c}$，
$\cos B = \frac{a}{c}$，
$\tan B = \frac{b}{a}$。
逐一验证选项：
A. $c = b \sin B$
代入 $\sin B = \frac{b}{c}$，得 $c = b \cdot \frac{b}{c}$，即 $c^2 = b^2$，显然不成立。
B. $b = c \sin B$
代入 $\sin B = \frac{b}{c}$，得 $b = c \cdot \frac{b}{c}$，即 $b = b$，成立。
C. $a = b \tan B$
代入 $\tan B = \frac{b}{a}$，得 $a = b \cdot \frac{b}{a}$，即 $a^2 = b^2$，显然不成立。
D. $b = c \tan B$
代入 $\tan B = \frac{b}{a}$，得 $b = c \cdot \frac{b}{a}$，即 $a = c$，显然不成立。
因此，正确答案是 B。
根据三角函数的定义，有：
$\sin B = \frac{b}{c}$，
$\cos B = \frac{a}{c}$，
$\tan B = \frac{b}{a}$。
逐一验证选项：
A. $c = b \sin B$
代入 $\sin B = \frac{b}{c}$，得 $c = b \cdot \frac{b}{c}$，即 $c^2 = b^2$，显然不成立。
B. $b = c \sin B$
代入 $\sin B = \frac{b}{c}$，得 $b = c \cdot \frac{b}{c}$，即 $b = b$，成立。
C. $a = b \tan B$
代入 $\tan B = \frac{b}{a}$，得 $a = b \cdot \frac{b}{a}$，即 $a^2 = b^2$，显然不成立。
D. $b = c \tan B$
代入 $\tan B = \frac{b}{a}$，得 $b = c \cdot \frac{b}{a}$，即 $a = c$，显然不成立。
因此，正确答案是 B。
5. (★)(2023·常州)如图28.1 - 19,在Rt△ABC中,∠A = 90°,点D在边AB上,连接CD。若BD = CD,$\frac{AD}{BD}= \frac{1}{3}$,则tanB =
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
设$AD=x$，因为$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，所以$BD = 3x$，又因为$BD=CD$，所以$CD = 3x$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理，$AC=\sqrt{CD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}-x^{2}} = 2\sqrt{2}x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{AB}$，$AB=AD + BD=x + 3x=4x$，$AC = 2\sqrt{2}x$，所以$\tan B=\frac{2\sqrt{2}x}{4x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理，$AC=\sqrt{CD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}-x^{2}} = 2\sqrt{2}x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{AB}$，$AB=AD + BD=x + 3x=4x$，$AC = 2\sqrt{2}x$，所以$\tan B=\frac{2\sqrt{2}x}{4x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
6. (★)在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 1,BC = 3,则∠A的正切值为【
A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
A
】A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
答案
A
解析
在直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90°$，根据正切的定义，$\tan A = \frac{对边}{邻边} = \frac{BC}{AC}$。
已知$AC = 1$，$BC = 3$，因此$\tan A = \frac{3}{1} = 3$。
已知$AC = 1$，$BC = 3$，因此$\tan A = \frac{3}{1} = 3$。
7. (★)在△ABC中,∠C = 90°,$\tan A= \frac{1}{3}$,则$\sin B$等于【
A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
D
】A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
答案
D
解析
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\angle C=90{°}$，已知$\tan A=\frac{1}{3}$，设$BC=x$，则$AC=3x$。
根据勾股定理可得：$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{10x^{2}}=\sqrt{10}x$。
因为$\angle A+\angle B = 90{°}$，所以$\sin B=\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3x}{\sqrt{10}x}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
根据勾股定理可得：$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{10x^{2}}=\sqrt{10}x$。
因为$\angle A+\angle B = 90{°}$，所以$\sin B=\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3x}{\sqrt{10}x}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
8. (★★)如图28.1 - 20,点E(0,4),O(0,0),C(5,0)在⊙A上,BE是⊙A的一条弦,则$\tan∠OBE$的值为【
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
B
】A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
B
解析
设圆心$A(x,y)$，由$O(0,0)$，$E(0,4)$，$C(5,0)$在$\odot A$上，得$OA=AE=AC$。
由$OA=AE$：$x^2+y^2=x^2+(y-4)^2$，解得$y=2$；
由$OA=AC$：$x^2+y^2=(x-5)^2+y^2$，解得$x=\frac{5}{2}$，故$A\left(\frac{5}{2},2\right)$。
$EC$为直径（中点为$A$），$\angle EBC=90°$。设直线$BE$斜率为$k$，方程为$y=kx+4$，与圆方程联立得$B\left(\frac{5-4k}{1+k^2},\frac{5k+4}{1+k^2}\right)$。
直线$BO$斜率$k_{BO}=\frac{5k+4}{5-4k}$，直线$BE$斜率为$k$。
由夹角公式：$\tan\angle OBE=\left|\frac{k_{BO}-k}{1+k_{BO}\cdot k}\right|=\left|\frac{\frac{5k+4}{5-4k}-k}{1+\frac{5k+4}{5-4k}\cdot k}\right|=\frac{4}{5}$。
由$OA=AE$：$x^2+y^2=x^2+(y-4)^2$，解得$y=2$；
由$OA=AC$：$x^2+y^2=(x-5)^2+y^2$，解得$x=\frac{5}{2}$，故$A\left(\frac{5}{2},2\right)$。
$EC$为直径（中点为$A$），$\angle EBC=90°$。设直线$BE$斜率为$k$，方程为$y=kx+4$，与圆方程联立得$B\left(\frac{5-4k}{1+k^2},\frac{5k+4}{1+k^2}\right)$。
直线$BO$斜率$k_{BO}=\frac{5k+4}{5-4k}$，直线$BE$斜率为$k$。
由夹角公式：$\tan\angle OBE=\left|\frac{k_{BO}-k}{1+k_{BO}\cdot k}\right|=\left|\frac{\frac{5k+4}{5-4k}-k}{1+\frac{5k+4}{5-4k}\cdot k}\right|=\frac{4}{5}$。
9. (★★)一张直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按图28.1 - 21所示的方法折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则$\tan∠CBE$的值是【
A.$\frac{24}{7}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
C.$\frac{7}{24}$
D.$\frac{1}{3}$
C
】A.$\frac{24}{7}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
C.$\frac{7}{24}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理得AB=√(6²+8²)=10。折叠使A与B重合，折痕DE为AB的垂直平分线，故AE=BE。设AE=BE=x，则EC=AC-AE=8-x。在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+EC²=BE²，即6²+(8-x)²=x²，解得x=25/4，EC=8-25/4=7/4。则tan∠CBE=EC/BC=(7/4)/6=7/24。
