12. (★★)如图28.1 - 12,在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$CD是斜边AB$上的高,$\angle B \neq 45^{\circ}$,则下列比值中不等于$\cos B$的是【】

A.$\dfrac{BD}{BC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$

C

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠B+∠A=90°，∠BCD+∠B=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD。
在Rt△ABC中，cosB=BC/AB；
在Rt△BCD中，cosB=BD/BC；
在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD/AC，
∵∠B=∠ACD，
∴cosB=CD/AC；
在Rt△ACD中，cosA=AD/AC，
∵∠A≠∠B（∠B≠45°），
∴cosA≠cosB，即AD/AC≠cosB。

13. (★★)如图28.1 - 13,以$O$为圆心,任意长为半径画弧,与射线$OM交于点A$,再以$A$为圆心,$AO$的长为半径画弧,两弧交于点$B$,画射线$OB$,则$\cos \angle AOB$的值等于.

1/2

连接AB，由题意得OA=OB=AB，故△AOB为等边三角形，∠AOB=60°，所以cos∠AOB=cos60°=1/2。

14. (★★)如图28.1 - 14,锐角三角形$ABC$中,以$BC为直径的半圆O分别交AB$,$AC于D$,$E$两点,且${S}_{\triangle ADE} : {S}_{四边形BCED} = 1 : 2$,则$\cos \angle BAC$的值是【】

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D

连接CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB。
∵B、C、E、D四点共圆，
∴∠ADE=∠ACB（圆内接四边形外角等于内对角）。
又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB。
∵S△ADE:S四边形BCED=1:2，
∴S△ADE:S△ABC=1:3。
设相似比为k，则k²=1/3，k=√3/3。
在Rt△ADC中，cos∠BAC=AD/AC=k=√3/3。

15.（★★）（2023·内蒙古）图 28.1 - 15 源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。若小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为$\alpha$，则$\cos\alpha$的值为【 】

A. $\dfrac{3}{4}$
B. $\dfrac{4}{3}$
C. $\dfrac{3}{5}$
D. $\dfrac{4}{5}$

D

设大正方形边长为5，角α所在直角三角形两直角边为3和4，斜边为5，cosα=邻边/斜边=4/5

16. (★★★)已知等腰三角形的两边长分别为$4和6$,求等腰三角形的面积和底角的余弦值.

情况一：腰长为4，底边为6
底边一半：$6÷2=3$
高：$h=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
面积：$S=\frac{1}{2}×6×\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
底角余弦值：$\cos\theta=\frac{3}{4}$
情况二：腰长为6，底边为4
底边一半：$4÷2=2$
高：$h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$
面积：$S=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
底角余弦值：$\cos\theta=\frac{1}{3}$

17. (★★)(2022·凉山)如图28.1 - 16,在边长为$1$的正方形网格中,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,点$A$,$B$,$O$在格点上,则$\cos \angle ACB$的值是______.

2√5/5

设网格边长为1，建立坐标系，设A(0,0)，B(-2,4)，O(3,4)。
∵OA、OB为半径，
∴OA=OB=√[(3-0)²+(4-0)²]=5，AB=√[(-2-0)²+(4-0)²]=2√5。
在△AOB中，由余弦定理：cos∠AOB=(OA²+OB²-AB²)/(2·OA·OB)=(5²+5²-(2√5)²)/(2×5×5)=30/50=3/5。
∵∠ACB为圆周角，∠AOB为圆心角，且∠ACB=1/2∠AOB，设θ=∠AOB，则cosθ=3/5。
由半角公式：cos(θ/2)=√[(1+cosθ)/2]=√[(1+3/5)/2]=√(4/5)=2√5/5，即cos∠ACB=2√5/5。

18. (★★)(2022·广元)如图28.1 - 17,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,$A$,$B$,$C$,$D$都在格点处,$AB与CD相交于点P$,则$\cos \angle APC$的值为【】

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

B

设每个小正方形边长为1，建立坐标系。设A(0,2)，B(2,0)，C(0,4)，D(1,1)。
直线AB：斜率为$\frac{0-2}{2-0}=-1$，方程$y=-x+2$。
直线CD：斜率为$\frac{1-4}{1-0}=-3$，方程$y=-3x+4$。
联立得交点P：$\begin{cases}y=-x+2\\y=-3x+4\end{cases}$，解得$x=1$，$y=1$，即P(1,1)。
向量$\overrightarrow{PA}=(-1,1)$，$\overrightarrow{PC}=(-1,3)$。
$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=(-1)(-1)+(1)(3)=4$，$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{PC}|=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$。
$\cos\angle APC=\frac{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PC}|}=\frac{4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。