12. (★★)(2023·朝阳)如图 24.4 - 8,四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $,若 $ \angle C = 120^{\circ} $,$ \odot O $ 的半径为 3,则 $ \overset{\frown}{BD} $ 的长为【】

A.$ \pi $

B.$ 2\pi $
C.$ 3\pi $
D.$ 6\pi $

B

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C=120°，
∴∠A=180°-∠C=60°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠A是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角∠BOD=2∠A=120°（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）。
⊙O的半径为3，
∴$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{120°}{360°}×2π×3=2π$。

13. (★★)如图 24.4 - 9,分别以正三角形的三个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形。若正三角形的边长为 $ 6 \, cm $,则该莱洛三角形的周长为 $ cm $。(结果保留 $ \pi $)

$6\pi$

正三角形的边长为 $6cm$，
每段弧的长度为：$\frac{60\pi × 6}{180} = 2\pi$，
莱洛三角形的周长由三段这样的弧组成，
所以周长为：$3 × 2\pi = 6\pi$。

14. (★★)如图 24.4 - 10,四边形 $ ABCD $ 是正方形,以边 $ AB $ 为直径作 $ \odot O $,点 $ E $ 在 $ BC $ 边上,连接 $ AE $ 交 $ \odot O $ 于点 $ F $,连接 $ BF $ 并延长交 $ CD $ 于点 $ G $。
(1) 求证：$ \triangle ABE \cong \triangle BCG $；
(2) 若 $ \angle AEB = 55^{\circ} $,$ OA = 3 $,求劣弧 $ \overset{\frown}{BF} $ 的长。(结果保留 $ \pi $)

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = BC$，$\angle ABE = \angle BCG = 90°$，且 $\angle BAE + \angle AEB = 90°$。
∵ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $F$ 在 $\odot O$ 上，
∴ $\angle AFB = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ $\angle BFE = 180° - \angle AFB = 90°$，
∴ 在 $\triangle BFE$ 中，$\angle FBE + \angle AEB = 90°$，
∴ $\angle BAE = \angle FBE$（同角的余角相等），即 $\angle BAE = \angle CBG$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle BCG$ 中，
$\begin{cases}\angle BAE = \angle CBG, \\AB = BC, \\\angle ABE = \angle BCG,\end{cases}$
∴ $\triangle ABE \cong \triangle BCG$（ASA）。
(2) 解：
∵ $OA = 3$，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，
∴ $\odot O$ 的半径 $r = OA = 3$。
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$\angle AEB = 55°$，$\angle ABE = 90°$，
∴ $\angle BAE = 90° - \angle AEB = 90° - 55° = 35°$。
∵ $\angle BAE$ 是圆周角，所对弧为 $\overset{\frown}{BF}$，
∴ 圆心角 $\angle BOF = 2\angle BAE = 2 × 35° = 70°$（圆周角定理）。
∴ 劣弧 $\overset{\frown}{BF}$ 的长为：
$l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{70 × \pi × 3}{180} = \frac{7\pi}{6}$

15. (★★)如图 24.4 - 11,正方形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $,$ \odot O $ 的半径为 2,以点 $ A $ 为圆心,以 $ AC $ 长为半径画弧交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $,交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $,则图中阴影部分的面积是【】

A.$ 4\pi - 4 $
B.$ 4\pi - 8 $
C.$ 8\pi - 4 $

D.$ 8\pi - 8 $

B

∵正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$\odot O$ 半径为 2，
∴ $AC$ 为 $\odot O$ 直径（正方形对角线过圆心），$AC = 2 × 2 = 4$。
以 $A$ 为圆心，$AC$ 为半径画弧，半径 $R = 4$，$\angle EAF = 90°$（正方形内角），
扇形 $EAF$ 面积：$\frac{90°}{360°} × \pi × 4^2 = 4\pi$。
正方形边长 $a$：由 $AC = a\sqrt{2} = 4$，得 $a = 2\sqrt{2}$，面积 $a^2 = 8$。
阴影部分面积 = 扇形 $EAF$ 面积 - 正方形 $ABCD$ 面积 = $4\pi - 8$。

16. (★★)运用图形变化的方法研究下面的问题：如图 24.4 - 12,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ CD, EF $ 是 $ \odot O $ 的弦,且 $ AB // CD // EF $,$ AB = 10 $,$ CD = 6 $,$ EF = 8 $,则图中阴影部分的面积是【】

A.$ \dfrac{25}{2}\pi $
B.$ 10\pi $
C.$ 24 + 4\pi $
D.$ 24 + 5\pi $

A

连接OC、OD、OE、OF，圆O半径为5。
由垂径定理，CD弦心距$h_1=\sqrt{5^2-3^2}=4$，EF弦心距$h_2=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设CD、EF所对圆心角分别为α、β，由$\cos(\alpha/2)=h_1/5=4/5$，$\cos(\beta/2)=h_2/5=3/5$，且$(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1$，得$\alpha/2+\beta/2=\frac{\pi}{2}$，即$\alpha+\beta=\pi$。
故扇形OCD与扇形OEF面积之和为$\frac{1}{2}\pi×5^2=\frac{25}{2}\pi$。
通过图形平移，阴影部分面积等于两扇形面积之和，即$\frac{25}{2}\pi$。