登录
5. 如图,$Rt\triangle ABC \backsim Rt\triangle EFG$,$EF = 2AB$,$BD$ 和 $FH$ 分别是它们的中线,那么 $\triangle BDC$ 与 $\triangle FHG$ 是否相似？如果相似,试确定它们的周长比和面积比.
答案
5.$\triangle BDC$与$\triangle FHG$相似,周长比是1:2,面积比是1:4.
解析
证明：
∵ $Rt\triangle ABC \backsim Rt\triangle EFG$，
∴ $\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} = \frac{AC}{EG}$，$\angle C = \angle G$。
∵ $EF = 2AB$，
∴ 相似比为 $\frac{AB}{EF} = \frac{1}{2}$，即 $\frac{BC}{FG} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{EG} = \frac{1}{2}$。
∵ $BD$ 和 $FH$ 分别是中线，
∴ $CD = \frac{1}{2}AC$，$GH = \frac{1}{2}EG$，
∴ $\frac{CD}{GH} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}EG} = \frac{AC}{EG} = \frac{1}{2}$。
∵ $\frac{BC}{FG} = \frac{CD}{GH} = \frac{1}{2}$，且 $\angle C = \angle G$，
∴ $\triangle BDC \backsim \triangle FHG$（两边成比例且夹角相等）。
∴ $\triangle BDC$ 与 $\triangle FHG$ 的周长比为 $\frac{1}{2}$，面积比为 $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
结论：$\triangle BDC$ 与 $\triangle FHG$ 相似，周长比是 $1:2$，面积比是 $1:4$。
∵ $Rt\triangle ABC \backsim Rt\triangle EFG$，
∴ $\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} = \frac{AC}{EG}$，$\angle C = \angle G$。
∵ $EF = 2AB$，
∴ 相似比为 $\frac{AB}{EF} = \frac{1}{2}$，即 $\frac{BC}{FG} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{EG} = \frac{1}{2}$。
∵ $BD$ 和 $FH$ 分别是中线，
∴ $CD = \frac{1}{2}AC$，$GH = \frac{1}{2}EG$，
∴ $\frac{CD}{GH} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}EG} = \frac{AC}{EG} = \frac{1}{2}$。
∵ $\frac{BC}{FG} = \frac{CD}{GH} = \frac{1}{2}$，且 $\angle C = \angle G$，
∴ $\triangle BDC \backsim \triangle FHG$（两边成比例且夹角相等）。
∴ $\triangle BDC$ 与 $\triangle FHG$ 的周长比为 $\frac{1}{2}$，面积比为 $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
结论：$\triangle BDC$ 与 $\triangle FHG$ 相似，周长比是 $1:2$，面积比是 $1:4$。
6. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AB$ 延长线上一点,$DE$ 交 $BC$ 于点 $F$,已知 $BE:AB = 2:3$,$S_{\triangle BEF} = 4$,求 $S_{\triangle CDF}$.
答案
6.$S_{\triangle CDF}=9$
解析
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$\angle CDF=\angle BEF$，$\angle DCF=\angle EBF$，
$\therefore\triangle CDF\sim\triangle BEF$。
$\because BE:AB = 2:3$，$AB = CD$，
$\therefore BE:CD=2:3$。
$\because$相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\therefore\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle CDF}}=\left(\frac{BE}{CD}\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$。
$\because S_{\triangle BEF}=4$，
$\therefore\frac{4}{S_{\triangle CDF}}=\frac{4}{9}$，解得$S_{\triangle CDF}=9$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$\angle CDF=\angle BEF$，$\angle DCF=\angle EBF$，
$\therefore\triangle CDF\sim\triangle BEF$。
$\because BE:AB = 2:3$，$AB = CD$，
$\therefore BE:CD=2:3$。
$\because$相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\therefore\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle CDF}}=\left(\frac{BE}{CD}\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$。
$\because S_{\triangle BEF}=4$，
$\therefore\frac{4}{S_{\triangle CDF}}=\frac{4}{9}$，解得$S_{\triangle CDF}=9$。
7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 14$ cm,$\frac{AD}{BD}= \frac{5}{9}$,$DE // BC$,$CD \perp AB$,$CD = 12$ cm,求 $\triangle ADE$ 的面积和周长.
答案
7.$\triangle ADE$的面积为$\frac{75}{7}\ cm^2$,周长为15 cm.
解析
解：
∵ $\frac{AD}{BD} = \frac{5}{9}$，$AB = 14\ cm$，设$AD = 5k$，$BD = 9k$，则$5k + 9k = 14$，解得$k = 1$，
∴ $AD = 5\ cm$，$BD = 9\ cm$.
∵ $CD \perp AB$，$CD = 12\ cm$，
∴ $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ cm$，
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\ cm$.
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{14}$.
$\triangle ABC$的周长为$AB + BC + AC = 14 + 15 + 13 = 42\ cm$，
$\triangle ADE$的周长为$42 × \frac{5}{14} = 15\ cm$.
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84\ cm^2$，
$\triangle ADE$的面积为$84 × \left(\frac{5}{14}\right)^2 = 84 × \frac{25}{196} = \frac{75}{7}\ cm^2$.
答：$\triangle ADE$的面积为$\frac{75}{7}\ cm^2$，周长为$15\ cm$.
∵ $\frac{AD}{BD} = \frac{5}{9}$，$AB = 14\ cm$，设$AD = 5k$，$BD = 9k$，则$5k + 9k = 14$，解得$k = 1$，
∴ $AD = 5\ cm$，$BD = 9\ cm$.
∵ $CD \perp AB$，$CD = 12\ cm$，
∴ $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ cm$，
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\ cm$.
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{14}$.
$\triangle ABC$的周长为$AB + BC + AC = 14 + 15 + 13 = 42\ cm$，
$\triangle ADE$的周长为$42 × \frac{5}{14} = 15\ cm$.
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84\ cm^2$，
$\triangle ADE$的面积为$84 × \left(\frac{5}{14}\right)^2 = 84 × \frac{25}{196} = \frac{75}{7}\ cm^2$.
答：$\triangle ADE$的面积为$\frac{75}{7}\ cm^2$，周长为$15\ cm$.
