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3. 如图,已知直线AB,CD相交于点O,∠COE= 90°.
(1) 若∠BOE= 54°,求∠AOC的度数;
(2) 若∠BOE,∠BOC的度数之比为2∶5,求∠AOE的度数.
(1) 若∠BOE= 54°,求∠AOC的度数;
(2) 若∠BOE,∠BOC的度数之比为2∶5,求∠AOE的度数.
答案
解: (1)∵∠COE =90°,
∴∠DOE = 90°，
∵∠BOE = 54°。
∴∠BOD= ∠DOE-∠BOE=90°-54°= 36°，
∴∠AOC = ∠BOD= 36°
(2)设∠BOE=2x, ∠BOC=5x, 则∠COE= 3x,
∵∠COE = 90°，
∴3x= 90°，
解得x= 30°,
∴∠BOE = 2×30°=60°，
∴∠AOE= 180°-∠BOE= 180°-60°= 120°.
∴∠DOE = 90°，
∵∠BOE = 54°。
∴∠BOD= ∠DOE-∠BOE=90°-54°= 36°，
∴∠AOC = ∠BOD= 36°
(2)设∠BOE=2x, ∠BOC=5x, 则∠COE= 3x,
∵∠COE = 90°，
∴3x= 90°，
解得x= 30°,
∴∠BOE = 2×30°=60°，
∴∠AOE= 180°-∠BOE= 180°-60°= 120°.
4. 如图,直线AB与CD相交于点O,射线OE在∠AOD的内部,∠AOC= 70°-$\frac{1}{2}$∠AOE.
(1) 如图①,当∠AOE= 40°时,请写出与∠BOD互余的角,并说明理由;
(2) 如图②,若OF平分∠BOE,求∠DOF的度数.
(1) 如图①,当∠AOE= 40°时,请写出与∠BOD互余的角,并说明理由;
(2) 如图②,若OF平分∠BOE,求∠DOF的度数.
答案
解:(1)与∠BOD互余的角为∠AOE,理由如下:
因为$∠AOC=70°-\frac{1}{2}∠AOE,∠AOE=40°,$
所以$∠AOC= 70°-\frac{1}{2}×40°= 50°,$
所以∠BOD =∠AOC= 50°,
所以∠BOD+∠AOE= 50°+40°=90°,
所以与∠BOD互余的角为∠AOE.
(2)因为OF平分∠BOE,
所以∠BOF+∠EOF=∠BOE.
因为∠AOE+2∠BOF= 180°,
所以∠AOE+2∠DOF+2∠BOD= 180°.
因为$∠.AOC=70°-\frac{1}{2}∠AOE=∠BOD,$
所以∠AOE+2∠DOF+140°-∠AOE= 180°
所以∠DOF= 20°.
因为$∠AOC=70°-\frac{1}{2}∠AOE,∠AOE=40°,$
所以$∠AOC= 70°-\frac{1}{2}×40°= 50°,$
所以∠BOD =∠AOC= 50°,
所以∠BOD+∠AOE= 50°+40°=90°,
所以与∠BOD互余的角为∠AOE.
(2)因为OF平分∠BOE,
所以∠BOF+∠EOF=∠BOE.
因为∠AOE+2∠BOF= 180°,
所以∠AOE+2∠DOF+2∠BOD= 180°.
因为$∠.AOC=70°-\frac{1}{2}∠AOE=∠BOD,$
所以∠AOE+2∠DOF+140°-∠AOE= 180°
所以∠DOF= 20°.
解析
(1)
∵∠AOE=40°，∠AOC=70°-$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠AOC=70°-$\frac{1}{2}$×40°=50°.
∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=50°.
∵∠AOE=40°，
∴∠BOD+∠AOE=50°+40°=90°，
∴与∠BOD互余的角是∠AOE.
(2) 设∠AOE=2x，则∠AOC=70°-$\frac{1}{2}$×2x=70°-x.
∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-(70°-x)=110°+x.
∵∠AOE=2x，OE在∠AOD内部，
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=110°+x-2x=110°-x.
∵∠BOE=180°-∠AOE=180°-2x，OF平分∠BOE，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOE=90°-x.
∵∠BOD=∠AOC=70°-x，
∴∠DOF=∠BOF-∠BOD=90°-x-(70°-x)=20°.
5. 如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOF= 90°,OA平分∠EOC.
(1) 如图①,已知∠AOE= 50°,求∠COF和∠EOD.
(2) 如图②,已知∠EOC= ∠COF.
① 求∠AOE的度数;
② 直接写出与∠AOE互补的角:______∠BOE，∠AOD， ∠BOC______.
解: (1)∵∠AOE=50°, OA平分∠EOC,
∴∠AOC=∠AOE=50° ,
∴∠EOD=180°-50°-50°=80°,
∵∠AOF=90°,
∴∠COF=90°-50°=40°.
(2)①∵ OA平分∠EOC，∠EOC=∠COF,
∴∠AOE=∠AOC，
∠COF=∠EOC=2∠AOE=2∠AOC,
∵∠AOC+∠COF=∠AOF=90°,
∴3∠AOE=90°，
∴∠AOE=30°
(1) 如图①,已知∠AOE= 50°,求∠COF和∠EOD.
(2) 如图②,已知∠EOC= ∠COF.
① 求∠AOE的度数;
② 直接写出与∠AOE互补的角:______∠BOE，∠AOD， ∠BOC______.
解: (1)∵∠AOE=50°, OA平分∠EOC,
∴∠AOC=∠AOE=50° ,
∴∠EOD=180°-50°-50°=80°,
∵∠AOF=90°,
∴∠COF=90°-50°=40°.
(2)①∵ OA平分∠EOC，∠EOC=∠COF,
∴∠AOE=∠AOC，
∠COF=∠EOC=2∠AOE=2∠AOC,
∵∠AOC+∠COF=∠AOF=90°,
∴3∠AOE=90°，
∴∠AOE=30°
答案
∠BOE，∠AOD， ∠BOC,
解: (1)∵∠AOE=50°, OA平分∠EOC,
∴∠AOC=∠AOE=50° ,
∴∠EOD=180°-50°-50°=80°,
∵∠AOF=90°,
∴∠COF=90°-50°=40°.
(2)①∵ OA平分∠EOC，∠EOC=∠COF,
∴∠AOE=∠AOC，\
∠COF=∠EOC=2∠AOE=2∠AOC,
∵∠AOC+∠COF=∠AOF=90°,
∴3∠AOE=90°，
∴∠AOE=30°
解: (1)∵∠AOE=50°, OA平分∠EOC,
∴∠AOC=∠AOE=50° ,
∴∠EOD=180°-50°-50°=80°,
∵∠AOF=90°,
∴∠COF=90°-50°=40°.
(2)①∵ OA平分∠EOC，∠EOC=∠COF,
∴∠AOE=∠AOC，\
∠COF=∠EOC=2∠AOE=2∠AOC,
∵∠AOC+∠COF=∠AOF=90°,
∴3∠AOE=90°，
∴∠AOE=30°
