5. 如图,已知 $AB = AC = DC = DE = 3$,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$。若 $BE^{2} = 76$,求 $\triangle ABC$ 与 $\triangle CDE$ 的面积和。

解:如图，过点A作$AH\perp BC$于点H,过点D作$DK\perp CE$于点K。
　　　　　　
　因为$AB=AC=DC=DE=3,AH\perp BC,DK\perp CE$，所以$BH=CH,CK=KE,\angle BAH=\angle CAH,\angle CDK=\angle EDK$。
　因为$\angle BAC+\angle CDE=180^{\circ}$，
　所以$\angle CAH+\angle CDK=90^{\circ}$。
　因为$\angle CAH+\angle ACH=90^{\circ}$，
　所以$\angle ACH=\angle CDK$。
　在$\triangle AHC$和$\triangle CKD$中，
　$\begin{cases} \angle ACH=\angle CDK \\ \angle AHC=\angle CKD=90^{\circ} \\ AC=CD \end{cases}$
　所以$\triangle AHC\cong \triangle CKD(AAS)$，
　所以$AH=CK,CH=DK$。
　设$AH=CK=x,CH=DK=y$，
　在$\triangle AHC$中,$x^{2}+y^{2}=9$，
　所以$BE^{2}=[2(x+y)]^{2}=4(x^{2}+2xy+y^{2})=4(2xy+9)$。
　又因为$BE^{2}=76$，
　所以$4(2xy+9)=76$，
　解得$xy=5$，
　所以$\triangle ABC$和$\triangle CDE$的面积和$S=\frac{1}{2}× x× 2y+\frac{1}{2}× 2x× y=2xy=10$。

6. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB = 5$,$AD = 25$,将此长方形折叠,使点 $D$ 与点 $B$ 重合,折痕为 $EF$,则 $BE$ 的长为()。

A.$12$
B.$8$
C.$10$
D.$13$

D

解：设$BE = x$。
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD = BC = 25$，$AB = CD = 5$，$\angle A = 90°$。
由折叠性质知，$DE = BE = x$，则$AE = AD - DE = 25 - x$。
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，即$5^2 + (25 - x)^2 = x^2$。
展开得：$25 + 625 - 50x + x^2 = x^2$，化简得：$650 - 50x = 0$，解得$x = 13$。
故$BE$的长为$13$。
D

7. 如图,正方形纸片 $ABCD$ 的边长为 $3$,点 $E$,$F$ 分别在边 $BC$,$CD$ 上,将纸片分别沿 $AE$,$AF$ 折叠,点 $B$,$D$ 恰好都落在点 $G$ 处。若 $BE = 1$,则 $EF$ 的长为()。

A.$1.5$
B.$2.5$
C.$2.25$
D.$3$

B

解：设 $DF = x$，则 $FC = 3 - x$。
由折叠性质得：$BE = GE = 1$，$DF = GF = x$，$AG = AB = AD = 3$。
$\because BC = 3$，$\therefore EC = BC - BE = 3 - 1 = 2$。
$\because \angle AGE = \angle B = 90°$，$\angle AGF = \angle D = 90°$，$\therefore \angle EGF = 180°$，即点 $G$ 在 $EF$ 上。
$\therefore EF = EG + GF = 1 + x$。
在 $Rt\triangle ECF$ 中，$EF^2 = EC^2 + FC^2$，即 $(1 + x)^2 = 2^2 + (3 - x)^2$。
展开得：$1 + 2x + x^2 = 4 + 9 - 6x + x^2$，化简得：$8x = 12$，解得 $x = \frac{3}{2}$。
$\therefore EF = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$。
答案：B

8. (1) 如图①,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$,$E$ 是斜边 $BC$ 上两动点,且 $\angle DAE = 45^{\circ}$,将 $\triangle ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后,得到 $\triangle AFC$,连接 $DF$。
① 试说明 $\triangle AED \cong \triangle AFD$；
② 当 $BE = 3$,$CE = 9$ 时,求 $\angle BCF$ 的度数和 $DE$ 的长。
(2) $D$ 是直线 $BC$ 上一点,$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形,$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,$BD = 3$,$BC = 8$。
① 在图②中,当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时,求 $DE^{2}$ 的值；
② 当点 $D$ 不在线段 $BC$ 上时,利用备用图求 $DE^{2}$ 的值。

解:
(1)①因为$\triangle BAE\cong \triangle CAF$，
　所以$AE=AF,\angle BAE=\angle CAF$。
　因为$\angle BAC=90^{\circ},\angle EAD=45^{\circ}$，
　所以$\angle CAD+\angle BAE=\angle CAD+\angle CAF=45^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle DAF$。
　在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，
　$\begin{cases} DA=DA \\ \angle DAE=\angle DAF \\ AE=AF \end{cases}$
　所以$\triangle AED\cong \triangle AFD(SAS)$。
　②设$DE=x$，则$CD=9 - x$。
　因为$AB=AC,\angle BAC=90^{\circ}$，
　所以$\angle B=\angle ACB=45^{\circ}$。
　因为$\angle ABE=\angle ACF=45^{\circ}$，
　所以$\angle BCF=\angle ACB+\angle ACF=90^{\circ}$。
　因为$\triangle AED\cong \triangle AFD$
　所以$DE=DF=x$。
　在$Rt\triangle DCF$中,$DF^{2}=CD^{2}+CF^{2},CF=BE=3$，所以$x^{2}=(9 - x)^{2}+3^{2}$，
　解得$x=5$，
　所以$DE=5$。
(2)①当点D在线段BC上时，如图①，连接BE。
　因为$\angle BAC=\angle EAD=90^{\circ}$，
　所以$\angle EAB=\angle DAC$。
　在$\triangle EAB$和$\triangle DAC$中，
　　　　　　　
　$\begin{cases} AE=AD \\ \angle EAB=\angle DAC \\ AB=AC \end{cases}$
　所以$\triangle EAB\cong \triangle DAC(SAS)$，
所以$\angle ABE=\angle C=\angle ABC=45^{\circ},BE=CD=BC - BD=5$，
所以$\angle EBD=90^{\circ}$，
所以$DE^{2}=BE^{2}+BD^{2}=34$。
②当点D不在线段BC上时，则点D在CB的
延长线上，如图②，连接BE。
　　　　　　
同理可得$\triangle DBE$是直角三角形，且$\angle DBE=90^{\circ},EB=CD=BC + BD=11,DB=3$，
所以$DE^{2}=EB^{2}+BD^{2}=130$。