1. 分解因式 $3x^{3}-12xy^{2}$,结果正确的是()
A.$3x(x - 2y)^{2}$
B.$3x(x + 2y)^{2}$
C.$3x(x^{2}-4y^{2})$
D.$3x(x + 2y)(x - 2y)$

D

原式 $3x^{3} - 12xy^{2}$
首先提取公因式 $3x$，得到：
$3x(x^{2} - 4y^{2})$
观察 $x^{2} - 4y^{2}$，这是一个平方差形式，可以继续分解为：
$x^{2} - 4y^{2} = (x + 2y)(x - 2y)$
代入之前的式子，得到：
$3x(x + 2y)(x - 2y)$
与选项进行对比，确定答案为 D。

2. 多项式 $4a^{2}-2ab$ 与多项式 $4a^{2}-b^{2}$ 的公因式为()
A.$2a - b$
B.$2a$
C.$2a + b$
D.$4a^{2}-b$

A

先对两个多项式分别进行因式分解。
对于多项式$4a^{2}-2ab$，可提取公因式$2a$，得到$4a^{2}-2ab = 2a(2a - b)$。
对于多项式$4a^{2}-b^{2}$，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，其中$m = 2a$，$n = b$，可得$4a^{2}-b^{2}=(2a + b)(2a - b)$。
所以两个多项式$4a^{2}-2ab$与$4a^{2}-b^{2}$的公因式是$2a - b$。

3. 已知 $a,b,c$ 为一个三角形的三边长,则 $(a - b)^{2}-c^{2}$ 的值()
A.一定为负数
B.一定为正数
C.可能为正数,也可能为负数
D.可能为零

A

原式可利用平方差公式分解为：$(a - b)^{2} - c^{2} = (a - b + c)(a - b - c)$。
根据三角形三边关系：
$a+c＞b$，即$a - b + c＞0$；
$a＜b + c$，即$a - b - c＜0$。
两个因式一正一负，所以$(a - b + c)(a - b - c)＜0$，即$(a - b)^{2}-c^{2}$的值一定为负数。

4. 分解因式：
(1) $2m^{2}-2=$；
(2) $x^{3}-x=$；
(3) $-16x^{2}+81y^{2}=$；
(4) $y^{3}-16y=$；
(5) $2ab^{3}-2ab=$；
(6) $8mn - 2mn^{3}=$；
(7) $(x + 3)^{2}-9=$；
(8) $x^{2}(m - 2)+(2 - m)=$。

(1)$2(m+1)(m-1)$；(2)$x(x+1)(x-1)$；(3)$(9y+4x)(9y-4x)$；(4)$y(y+4)(y-4)$；(5)$2ab(b+1)(b-1)$；(6)$2mn(2 + n)(2 - n)$；(7)$x(x + 6)$；(8)$(m - 2)(x + 1)(x - 1)$

(1) $2m^{2}-2=2(m^{2}-1)=2(m+1)(m-1)$
(2) $x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x+1)(x-1)$
(3) $-16x^{2}+81y^{2}=81y^{2}-16x^{2}=(9y+4x)(9y-4x)$
(4) $y^{3}-16y=y(y^{2}-16)=y(y+4)(y-4)$
(5) $2ab^{3}-2ab=2ab(b^{2}-1)=2ab(b+1)(b-1)$
(6) $8mn - 2mn^{3}=2mn(4 - n^{2})=2mn(2 + n)(2 - n)$
(7) $(x + 3)^{2}-9=(x + 3)^{2}-3^{2}=(x + 3 + 3)(x + 3 - 3)=x(x + 6)$
(8) $x^{2}(m - 2)+(2 - m)=x^{2}(m - 2)-(m - 2)=(m - 2)(x^{2}-1)=(m - 2)(x + 1)(x - 1)$

5. $(x + 2y)^{2}-(2x + y)^{2}$ 分解因式的结果是 。

$3(x + y)(y - x)$

原式为两项平方差形式，可应用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a = x + 2y$，$b = 2x + y$。
$\;\;\;(x + 2y)^{2}-(2x + y)^{2}$
$=(x + 2y+2x + y)(x + 2y - 2x - y)$
$=(3x + 3y)(y - x)$
$=3(x + y)(y - x)$

6. 当 $x＞0,y＞0$,且 $x\neq y$ 时,$x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)$ 的值()
A.总是为正
B.总是为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能确定正负

A

$x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)=x^{2}(x - y)-y^{2}(x - y)=(x - y)(x^{2}-y^{2})=(x - y)^{2}(x + y)$，因为$x＞0,y＞0$，所以$x + y＞0$，又因为$x≠y$，所以$(x - y)^{2}＞0$，则$(x - y)^{2}(x + y)＞0$，即原式的值总是为正。

7. 已知 $x - 2y - 4 = 0$,则 $x^{2}-4y^{2}-16y$ 的值为()
A.8
B.16
C.12
D.10

B

因$x - 2y - 4 = 0$，可得$x = 2y + 4$。
代入$x^{2}-4y^{2}-16y$得：
$(2y + 4)^{2}-4y^{2}-16y$
$= 4y^{2} + 16y + 16 - 4y^{2}-16y$
$= 16$

8. 若 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长,且 $a^{2}-b^{2}= c(a - b)$,则 $\triangle ABC$ 一定是()
A.直角三角形
B.三条边都不相等的三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

C

由题意，$a^{2} - b^{2} = c(a - b)$，
根据平方差公式$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，可得：
$(a + b)(a - b) = c(a - b)$
移项得：
$(a + b)(a - b) - c(a - b) = 0$
提取公因式$(a - b)$得：
$(a - b)(a + b - c) = 0$
根据三角形的性质，两边之和大于第三边，即$a + b ＞ c$，所以$a + b - c \gt 0$。
那么，要使$(a - b)(a + b - c) = 0$成立，必须有$a - b = 0$，即$a = b$。
因此，$\triangle ABC$是等腰三角形。

9. 若 $x + y = 1$,则 $x^{2}-y^{2}+2y + 5= $ 。

6（题目要求直接填答案，故此处按要求修改）。

首先，由题目给出的条件 $x + y = 1$，可以解出 $x$ 为 $x = 1 - y$，
然后，将 $x$ 的表达式代入到 $x^{2} - y^{2} + 2y + 5$中，
有：$x^{2} - y^{2} + 2y + 5$
$= (1 - y)^{2} - y^{2} + 2y + 5$
$= 1 - 2y + y^{2} - y^{2} + 2y + 5$
$= 1 + 5 - y^{2} + y^{2} - 2y + 2y$
$= 6$

10. (1) $x^{2}-9y^{2}$ 分解因式的结果是 ；
(2) $4(x + y)^{2}-9y^{2}$ 分解因式的结果是 ；
(3) $4(x + y)^{2}-9(x - y)^{2}$ 分解因式的结果是 。

(1)$(x + 3y)(x - 3y)$；
(2)$(2x + 5y)(2x - y)$；
(3)$(5x - y)(5y - x)$

(1)对于$x^{2} - 9y^{2}$，它符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a = x$，$b = 3y$，则$x^{2}-9y^{2}=(x + 3y)(x - 3y)$。
(2)对于$4(x + y)^{2}-9y^{2}$，可先将$4(x + y)^{2}$变形为$[2(x + y)]^{2}$，此时它符合平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a = 2(x + y)$，$b = 3y$，则$4(x + y)^{2}-9y^{2}=[2(x + y)+3y][2(x + y)-3y]=(2x + 5y)(2x - y)$。
(3)对于$4(x + y)^{2}-9(x - y)^{2}$，把$4(x + y)^{2}$变形为$[2(x + y)]^{2}$，$9(x - y)^{2}$变形为$[3(x - y)]^{2}$，它符合平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a = 2(x + y)$，$b = 3(x - y)$，则：
$\begin{aligned}4(x + y)^{2}-9(x - y)^{2}&=[2(x + y)+3(x - y)][2(x + y)-3(x - y)]\\&=(2x + 2y + 3x - 3y)(2x + 2y - 3x + 3y)\\&=(5x - y)(5y - x)\end{aligned}$