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又∵
∴ ∠EFN = ∠G(
$MG// FN$
⑥(已知)，∴ ∠FNG + ∠G = 180°( 两直线平行，同旁内角互补
⑦).∴ ∠EFN = ∠G(
同角的补角相等
⑧).答案
⑥$MG// FN$
⑦两直线平行，同旁内角互补
⑧同角的补角相等
⑦两直线平行，同旁内角互补
⑧同角的补角相等
解析
【分析】
这是一道几何推理填空题，解题时需结合前后推理逻辑、对应几何定理的条件和结论推导：1. 观察第⑦步的结论为$∠ FNG + ∠ G = 180°$，符合“两直线平行，同旁内角互补”的特征，两个角是直线$MG$、$FN$被直线$DG$所截形成的同旁内角，因此第⑥步的已知条件为两条直线平行；2. 第⑦空是上述结论的依据，对应平行线的性质定理；3. 第⑧步推导$∠ EFN=∠ G$，可推出两个角都是$∠ FNG$的补角，因此依据是同角的补角相等。
【解析】
根据推理逻辑依次填写：
⑥ 由$∠ FNG$和$∠ G$是$MG$、$FN$被截得的同旁内角，且结论为二者互补，可知已知条件为$MG// FN$；
⑦ 由两直线平行的性质可得同旁内角互补，因此依据为“两直线平行，同旁内角互补”；
⑧ 因为$∠ EFN$和$∠ G$都与$∠ FNG$互补，同角的补角相等，因此依据为“同角的补角相等”。
【答案】
⑥$MG// FN$
⑦两直线平行，同旁内角互补
⑧同角的补角相等
【知识点】
平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础的几何逻辑推理类题型，重点考查对几何定理的条件、结论的匹配应用能力，解题时只要结合角的位置关系找准对应直线，熟练掌握平行线性质和补角性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
这是一道几何推理填空题，解题时需结合前后推理逻辑、对应几何定理的条件和结论推导：1. 观察第⑦步的结论为$∠ FNG + ∠ G = 180°$，符合“两直线平行，同旁内角互补”的特征，两个角是直线$MG$、$FN$被直线$DG$所截形成的同旁内角，因此第⑥步的已知条件为两条直线平行；2. 第⑦空是上述结论的依据，对应平行线的性质定理；3. 第⑧步推导$∠ EFN=∠ G$，可推出两个角都是$∠ FNG$的补角，因此依据是同角的补角相等。
【解析】
根据推理逻辑依次填写：
⑥ 由$∠ FNG$和$∠ G$是$MG$、$FN$被截得的同旁内角，且结论为二者互补，可知已知条件为$MG// FN$；
⑦ 由两直线平行的性质可得同旁内角互补，因此依据为“两直线平行，同旁内角互补”；
⑧ 因为$∠ EFN$和$∠ G$都与$∠ FNG$互补，同角的补角相等，因此依据为“同角的补角相等”。
【答案】
⑥$MG// FN$
⑦两直线平行，同旁内角互补
⑧同角的补角相等
【知识点】
平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础的几何逻辑推理类题型，重点考查对几何定理的条件、结论的匹配应用能力，解题时只要结合角的位置关系找准对应直线，熟练掌握平行线性质和补角性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
14. 已知，如图 $CD // AB$，$OF$ 平分 $∠ BOD$，$OF ⊥ OE$，$∠ D = 50°$，求 $∠ DOE$ 的度数.
答案
14. $∠ DOE = 65°$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，看到CD平行AB，优先想到利用平行线的性质求与∠D相关的角的度数；已知OF平分∠BOD，可先算出∠BOD的度数后，根据角平分线定义得到∠DOF的度数；再结合OF垂直OE的条件，利用垂直的性质得到90°的角，通过角的和差关系即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：$\because CD// AB$，$∠ D=50°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ D=50°$（两直线平行，内错角相等），
$\because OF$平分$∠ BOD$，
$\therefore ∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\because OF⊥ OE$，
$\therefore ∠ EOF=90°$，即$∠ DOE+∠ DOF=90°$，
$\therefore ∠ DOE=90°-∠ DOF=90°-25°=65°$。
【答案】
$∠ DOE=65°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要熟练掌握平行线、角平分线、垂直的相关性质，能准确识别图形中角的位置和数量关系即可顺利求解，是平角、相交线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，看到CD平行AB，优先想到利用平行线的性质求与∠D相关的角的度数；已知OF平分∠BOD，可先算出∠BOD的度数后，根据角平分线定义得到∠DOF的度数；再结合OF垂直OE的条件，利用垂直的性质得到90°的角，通过角的和差关系即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：$\because CD// AB$，$∠ D=50°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ D=50°$（两直线平行，内错角相等），
$\because OF$平分$∠ BOD$，
$\therefore ∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\because OF⊥ OE$，
$\therefore ∠ EOF=90°$，即$∠ DOE+∠ DOF=90°$，
$\therefore ∠ DOE=90°-∠ DOF=90°-25°=65°$。
【答案】
$∠ DOE=65°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要熟练掌握平行线、角平分线、垂直的相关性质，能准确识别图形中角的位置和数量关系即可顺利求解，是平角、相交线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
15.（生活应用）老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题：如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外.请问如何利用七年级所学习知识中“与角的数量关系有关的数学定理、基本事实等”设计测量方案？
方案1：学生甲说，我想到了对顶角相等.所以可以构造对顶角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB相等的对顶角∠COD.
方案2：学生乙说：我想到了邻补角互补.所以可以构造邻补角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB互补的邻补角∠AOC或者∠BOD.
方案3：学生丙说：我想到了平行线的性质定理，可以将需要测量的∠AOB转化为与∠AOB有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角.
请你画出适当的示意图，选择恰当的平行线的性质，详细说明方案3的解决办法.
方案1：学生甲说，我想到了对顶角相等.所以可以构造对顶角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB相等的对顶角∠COD.
方案2：学生乙说：我想到了邻补角互补.所以可以构造邻补角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB互补的邻补角∠AOC或者∠BOD.
方案3：学生丙说：我想到了平行线的性质定理，可以将需要测量的∠AOB转化为与∠AOB有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角.
请你画出适当的示意图，选择恰当的平行线的性质，详细说明方案3的解决办法.
答案
解：
示意图说明
在围墙外的可活动区域，在射线OA的墙外段任取一点C，过点C作射线CD平行于OB，CD完全位于围墙外，得到∠ACD。
测量操作步骤
1. 沿射线OA向围墙外侧延伸方向，在围墙外的OA射线上任取一个可到达的点C。
2. 过点C作射线CD，使CD//OB，且CD完全处于围墙外的可测量区域内。
3. 根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得$∠ AOB = ∠ ACD$。
4. 直接测量围墙外的$∠ ACD$的度数，所得的数值就是$∠ AOB$的度数。
示意图说明
在围墙外的可活动区域，在射线OA的墙外段任取一点C，过点C作射线CD平行于OB，CD完全位于围墙外，得到∠ACD。
测量操作步骤
1. 沿射线OA向围墙外侧延伸方向，在围墙外的OA射线上任取一个可到达的点C。
2. 过点C作射线CD，使CD//OB，且CD完全处于围墙外的可测量区域内。
3. 根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得$∠ AOB = ∠ ACD$。
4. 直接测量围墙外的$∠ ACD$的度数，所得的数值就是$∠ AOB$的度数。
解析
【分析】
我们需要测量围墙内部无法直接进入测量的∠AOB的度数，可利用平行线的性质实现角度的转化。思考路径如下：首先要在围墙外构造出和∠AOB有确定数量关系的可测量角，我们可以先把OA或OB延长到围墙外，得到可到达的点，再过该点作另一条围墙边的平行线，就能构造出与∠AOB满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补关系的角，通过测量墙外的这个角，就能推算出∠AOB的度数。
【解析】
1. 示意图绘制：将射线OA向围墙外侧延伸，在围墙外的OA延长线上任取一点C，过点C作射线CD平行于OB，保证CD全部位于围墙外的可测量区域，此时得到∠ACD。
2. 测量步骤：
第一步：沿OA向围墙外的方向延长，在延长线上选取一个可正常到达的点C；
第二步：过点C作射线CD，使得CD//OB，且CD完全处在围墙外可以测量的范围内；
第三步：根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，可推出∠AOB = ∠ACD；
第四步：直接测量出∠ACD的度数，该数值就是∠AOB的度数。
也可采用构造内错角、同旁内角的合理方案，比如构造与∠AOB互补的同旁内角，用180°减去测得的角度即可得到∠AOB的度数。
【答案】
示意图说明：在围墙外的可活动区域，在射线OA的墙外段任取一点C，过点C作射线CD平行于OB，CD完全位于围墙外，得到∠ACD。
测量操作步骤：
1. 沿射线OA向围墙外侧延伸方向，在围墙外的OA射线上任取一个可到达的点C。
2. 过点C作射线CD，使CD//OB，且CD完全处于围墙外的可测量区域内。
3. 根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得$∠ AOB = ∠ ACD$。
4. 直接测量围墙外的$∠ ACD$的度数，所得的数值就是$∠ AOB$的度数。
【知识点】
平行线的性质；角度测量；转化思想
【点评】
本题结合生活中的实际测量场景，将平行线的性质知识融入解决实际问题的过程中，既考查了对基础几何性质的掌握情况，也锻炼了将数学知识应用到实际场景的能力，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
我们需要测量围墙内部无法直接进入测量的∠AOB的度数，可利用平行线的性质实现角度的转化。思考路径如下：首先要在围墙外构造出和∠AOB有确定数量关系的可测量角，我们可以先把OA或OB延长到围墙外，得到可到达的点，再过该点作另一条围墙边的平行线，就能构造出与∠AOB满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补关系的角，通过测量墙外的这个角，就能推算出∠AOB的度数。
【解析】
1. 示意图绘制：将射线OA向围墙外侧延伸，在围墙外的OA延长线上任取一点C，过点C作射线CD平行于OB，保证CD全部位于围墙外的可测量区域，此时得到∠ACD。
2. 测量步骤：
第一步：沿OA向围墙外的方向延长，在延长线上选取一个可正常到达的点C；
第二步：过点C作射线CD，使得CD//OB，且CD完全处在围墙外可以测量的范围内；
第三步：根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，可推出∠AOB = ∠ACD；
第四步：直接测量出∠ACD的度数，该数值就是∠AOB的度数。
也可采用构造内错角、同旁内角的合理方案，比如构造与∠AOB互补的同旁内角，用180°减去测得的角度即可得到∠AOB的度数。
【答案】
示意图说明：在围墙外的可活动区域，在射线OA的墙外段任取一点C，过点C作射线CD平行于OB，CD完全位于围墙外，得到∠ACD。
测量操作步骤：
1. 沿射线OA向围墙外侧延伸方向，在围墙外的OA射线上任取一个可到达的点C。
2. 过点C作射线CD，使CD//OB，且CD完全处于围墙外的可测量区域内。
3. 根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得$∠ AOB = ∠ ACD$。
4. 直接测量围墙外的$∠ ACD$的度数，所得的数值就是$∠ AOB$的度数。
【知识点】
平行线的性质；角度测量；转化思想
【点评】
本题结合生活中的实际测量场景，将平行线的性质知识融入解决实际问题的过程中，既考查了对基础几何性质的掌握情况，也锻炼了将数学知识应用到实际场景的能力，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
