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14 下面是小颖同学解一元一次不等式$\frac{2x+1}{3}-\frac{x+2}{6}＜2$的过程,请认真阅读并完成相应任务.
(1)任务一:①以上运算步骤中,去分母的依据是
②以上运算步骤中,第二步变形所依据的运算律是
③第
(2)任务二:请求出正确的计算结果.
(1)任务一:①以上运算步骤中,去分母的依据是
不等式的基本性质2
;②以上运算步骤中,第二步变形所依据的运算律是
乘法分配律
;③第
二
步开始出现错误,这一步错误的原因是括号前是负号,去括号时,第二项没有变号
.(2)任务二:请求出正确的计算结果.
答案
(1)①不等式的基本性质2.②乘法分配律.③二;括号前是负号,去括号时,第二项没有变号.(2)$x＜4$.
解析
【分析】
任务一考查解一元一次不等式的相关依据和易错点：①去分母是给不等式两边同时乘各分母的最小公倍数，依据是不等式的基本性质2；②去括号时是将括号外的因数乘括号内的每一项，依据的是乘法分配律；③观察第二步的去括号结果，原式中$-(x+2)$去括号后应为$-x-2$，但步骤中写成了$-x+2$，因此第二步出错，原因是括号前是负号时，去括号后括号内的第二项没有变号。任务二按照正确的解一元一次不等式的步骤：去分母、正确去括号、合并同类项、系数化为1，计算出正确结果即可。
【解析】
(1) ①给不等式两边同时乘同一个正数6，不等号方向不变，依据是不等式的基本性质2；
②去括号时将括号外的因数分别乘括号内的各项，依据的运算律是乘法分配律；
③观察运算步骤可知，第二步开始出现错误，$-(x+2)$去括号后应为$-x-2$，错误原因是括号前是负号，去括号时，括号内的第二项没有变号。
(2) 正确求解过程如下：
解不等式$\frac{2x+1}{3}-\frac{x+2}{6}＜2$
去分母，得$2(2x+1)-(x+2)＜12$
去括号，得$4x+2 -x -2 ＜12$
合并同类项，得$3x＜12$
两边同时除以3，得$x＜4$
【答案】
(1)①不等式的基本性质2；②乘法分配律；③二；括号前是负号，去括号时，第二项没有变号
(2)$x＜4$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题围绕一元一次不等式的求解设置问题，重点考查解不等式过程中的运算依据和易错点，提醒学生在去括号时，若括号前为负号，括号内的每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
任务一考查解一元一次不等式的相关依据和易错点：①去分母是给不等式两边同时乘各分母的最小公倍数，依据是不等式的基本性质2；②去括号时是将括号外的因数乘括号内的每一项，依据的是乘法分配律；③观察第二步的去括号结果，原式中$-(x+2)$去括号后应为$-x-2$，但步骤中写成了$-x+2$，因此第二步出错，原因是括号前是负号时，去括号后括号内的第二项没有变号。任务二按照正确的解一元一次不等式的步骤：去分母、正确去括号、合并同类项、系数化为1，计算出正确结果即可。
【解析】
(1) ①给不等式两边同时乘同一个正数6，不等号方向不变，依据是不等式的基本性质2；
②去括号时将括号外的因数分别乘括号内的各项，依据的运算律是乘法分配律；
③观察运算步骤可知，第二步开始出现错误，$-(x+2)$去括号后应为$-x-2$，错误原因是括号前是负号，去括号时，括号内的第二项没有变号。
(2) 正确求解过程如下：
解不等式$\frac{2x+1}{3}-\frac{x+2}{6}＜2$
去分母，得$2(2x+1)-(x+2)＜12$
去括号，得$4x+2 -x -2 ＜12$
合并同类项，得$3x＜12$
两边同时除以3，得$x＜4$
【答案】
(1)①不等式的基本性质2；②乘法分配律；③二；括号前是负号，去括号时，第二项没有变号
(2)$x＜4$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题围绕一元一次不等式的求解设置问题，重点考查解不等式过程中的运算依据和易错点，提醒学生在去括号时，若括号前为负号，括号内的每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
15 为加紧进行潮汕环线高速公路建设，现有大量的沙石需要运输.某工程队有载重为8吨和12吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次能运输124吨沙石.
(1)该工程队载重为8吨和12吨的卡车各有多少辆？
(2)为加快进度，该工程队需要一次运输沙石184吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，则该工程队有几种购买方案？请一一写出来.
(1)该工程队载重为8吨和12吨的卡车各有多少辆？
(2)为加快进度，该工程队需要一次运输沙石184吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，则该工程队有几种购买方案？请一一写出来.
答案
15.解:(1)设该工程队载重为8吨的卡车有$x$辆,载重为12吨的卡车有$y$辆.
根据题意,得$\begin{cases}x+y=12,\\8x+12y=124,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=7.\end{cases}$
答:该工程队载重为8吨的卡车有5辆,载重为12吨的卡车有7辆.
(2)设载重为8吨的卡车增加了$m$辆,则载重为12吨的卡车增加了$(6-m)$辆. 根据题意,得$8(5+m)+12(7+6-m)＞184$,解得$m＜3$. $\because m≥0$且为整数,$\therefore m=0,1,2$. $\therefore$该工程队有3种购买方案:① 载重为8吨的卡车不购买,载重为12吨的卡车购买6辆;②载重为8吨的卡车购买1辆,载重为12吨的卡车购买5辆;③载重为8吨的卡车购买2辆,载重为12吨的卡车购买4辆.
根据题意,得$\begin{cases}x+y=12,\\8x+12y=124,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=7.\end{cases}$
答:该工程队载重为8吨的卡车有5辆,载重为12吨的卡车有7辆.
(2)设载重为8吨的卡车增加了$m$辆,则载重为12吨的卡车增加了$(6-m)$辆. 根据题意,得$8(5+m)+12(7+6-m)＞184$,解得$m＜3$. $\because m≥0$且为整数,$\therefore m=0,1,2$. $\therefore$该工程队有3种购买方案:① 载重为8吨的卡车不购买,载重为12吨的卡车购买6辆;②载重为8吨的卡车购买1辆,载重为12吨的卡车购买5辆;③载重为8吨的卡车购买2辆,载重为12吨的卡车购买4辆.
解析
【分析】
（1）第一问需根据题干给出的两个等量关系列方程组求解：一是两种卡车总数量为12辆，二是全部车辆满载一次运输总重量为124吨。我们可以分别设两种卡车的辆数为未知数，代入等量关系得到二元一次方程组，求解即可得到两种卡车的数量。
（2）第二问属于不等式应用的方案设计类问题，首先设新增载重8吨卡车的数量为m辆，那么新增载重12吨卡车的数量为(6-m)辆，根据“一次运输沙石184吨以上”的要求列出不等式，再结合车辆数为非负整数的隐含条件，求出m的所有符合要求的取值，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1)设该工程队载重为8吨的卡车有$x$辆，载重为12吨的卡车有$y$辆。
根据题意，得$\begin{cases}x+y=12,\\8x+12y=124,\end{cases}$
解方程组：由$x+y=12$得$x=12-y$，代入$8x+12y=124$得$8(12-y)+12y=124$，化简得$96+4y=124$，解得$y=7$，则$x=12-7=5$，即$\begin{cases}x=5,\\y=7.\end{cases}$
答：该工程队载重为8吨的卡车有5辆，载重为12吨的卡车有7辆。
(2)设载重为8吨的卡车增加了$m$辆，则载重为12吨的卡车增加了$(6-m)$辆。
根据题意，得$8(5+m)+12(7+6-m)＞184$，
化简得：$40+8m+156-12m＞184$，整理得$196-4m＞184$，解得$m＜3$。
$\because m≥0$且为整数，$\therefore m=0,1,2$。
对应购买方案：
① 当$m=0$时，$6-m=6$：载重为8吨的卡车不购买，载重为12吨的卡车购买6辆；
② 当$m=1$时，$6-m=5$：载重为8吨的卡车购买1辆，载重为12吨的卡车购买5辆；
③ 当$m=2$时，$6-m=4$：载重为8吨的卡车购买2辆，载重为12吨的卡车购买4辆。
【答案】
(1)载重为8吨的卡车有5辆，载重为12吨的卡车有7辆；
(2)共3种购买方案：①不购买8吨卡车，购买6辆12吨卡车；②购买1辆8吨卡车，购买5辆12吨卡车；③购买2辆8吨卡车，购买4辆12吨卡车。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系建立数学模型，同时要注意结合实际意义判断未知数的取值范围，这类题型能很好地考查学生的逻辑分析能力和数学应用意识，是应用题的常见考查类型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需根据题干给出的两个等量关系列方程组求解：一是两种卡车总数量为12辆，二是全部车辆满载一次运输总重量为124吨。我们可以分别设两种卡车的辆数为未知数，代入等量关系得到二元一次方程组，求解即可得到两种卡车的数量。
（2）第二问属于不等式应用的方案设计类问题，首先设新增载重8吨卡车的数量为m辆，那么新增载重12吨卡车的数量为(6-m)辆，根据“一次运输沙石184吨以上”的要求列出不等式，再结合车辆数为非负整数的隐含条件，求出m的所有符合要求的取值，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1)设该工程队载重为8吨的卡车有$x$辆，载重为12吨的卡车有$y$辆。
根据题意，得$\begin{cases}x+y=12,\\8x+12y=124,\end{cases}$
解方程组：由$x+y=12$得$x=12-y$，代入$8x+12y=124$得$8(12-y)+12y=124$，化简得$96+4y=124$，解得$y=7$，则$x=12-7=5$，即$\begin{cases}x=5,\\y=7.\end{cases}$
答：该工程队载重为8吨的卡车有5辆，载重为12吨的卡车有7辆。
(2)设载重为8吨的卡车增加了$m$辆，则载重为12吨的卡车增加了$(6-m)$辆。
根据题意，得$8(5+m)+12(7+6-m)＞184$，
化简得：$40+8m+156-12m＞184$，整理得$196-4m＞184$，解得$m＜3$。
$\because m≥0$且为整数，$\therefore m=0,1,2$。
对应购买方案：
① 当$m=0$时，$6-m=6$：载重为8吨的卡车不购买，载重为12吨的卡车购买6辆；
② 当$m=1$时，$6-m=5$：载重为8吨的卡车购买1辆，载重为12吨的卡车购买5辆；
③ 当$m=2$时，$6-m=4$：载重为8吨的卡车购买2辆，载重为12吨的卡车购买4辆。
【答案】
(1)载重为8吨的卡车有5辆，载重为12吨的卡车有7辆；
(2)共3种购买方案：①不购买8吨卡车，购买6辆12吨卡车；②购买1辆8吨卡车，购买5辆12吨卡车；③购买2辆8吨卡车，购买4辆12吨卡车。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系建立数学模型，同时要注意结合实际意义判断未知数的取值范围，这类题型能很好地考查学生的逻辑分析能力和数学应用意识，是应用题的常见考查类型。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1 若关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是 （
）
A.$x＜1$
B.$x≤1$
C.$x≤-2$
D.$x＜-2$
1 若关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是 （
）A.$x＜1$
B.$x≤1$
C.$x≤-2$
D.$x＜-2$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确两个核心知识点：一是数轴表示不等式解集的规则：空心圆圈代表不包含该点，对应＜或＞，实心圆点代表包含该点，对应≤或≥，折线向左代表“小于”，向右代表“大于”；二是一元一次不等式组解集的确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。首先根据数轴读出两个不等式的解集，再用“同小取小”的规则找公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
首先根据数轴读取两个不等式的解集：
1. 端点在-2处，为空心圆圈，折线向左，对应解集为$x ＜ -2$；
2. 端点在1处，为实心圆点，折线向左，对应解集为$x ≤ 1$。
两个解集均为“小于”类，根据“同小取小”的原则，两个解集的公共部分为$x ＜ -2$，即该不等式组的解集为$x ＜ -2$。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集；不等式组解集确定
【点评】
本题是不等式组解集的基础考查题，解题的关键是准确区分数轴上空心、实心的含义，结合解集方向正确读出单个不等式的解集，再根据解集取法口诀即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题时先明确两个核心知识点：一是数轴表示不等式解集的规则：空心圆圈代表不包含该点，对应＜或＞，实心圆点代表包含该点，对应≤或≥，折线向左代表“小于”，向右代表“大于”；二是一元一次不等式组解集的确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。首先根据数轴读出两个不等式的解集，再用“同小取小”的规则找公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
首先根据数轴读取两个不等式的解集：
1. 端点在-2处，为空心圆圈，折线向左，对应解集为$x ＜ -2$；
2. 端点在1处，为实心圆点，折线向左，对应解集为$x ≤ 1$。
两个解集均为“小于”类，根据“同小取小”的原则，两个解集的公共部分为$x ＜ -2$，即该不等式组的解集为$x ＜ -2$。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集；不等式组解集确定
【点评】
本题是不等式组解集的基础考查题，解题的关键是准确区分数轴上空心、实心的含义，结合解集方向正确读出单个不等式的解集，再根据解集取法口诀即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
