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三、解答题(共44分)
9.(15分)在《走进几何世界》这一章中,我们认识了三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱,这些棱柱是由点、线和面构成的.
(1)请使用合适的方式统计上述四种棱柱的顶点数、棱数和面数;
(2)若棱柱的顶点数用$V$表示,棱数用$E$表示,面数用$F$表示,观察你的统计数据,写出$V,E,F$三者间的数量关系;
(3)若某几何体满足(2)的数量关系,且有24条棱和10个面,则该几何体有多少个顶点?
9.(15分)在《走进几何世界》这一章中,我们认识了三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱,这些棱柱是由点、线和面构成的.
(1)请使用合适的方式统计上述四种棱柱的顶点数、棱数和面数;
(2)若棱柱的顶点数用$V$表示,棱数用$E$表示,面数用$F$表示,观察你的统计数据,写出$V,E,F$三者间的数量关系;
(3)若某几何体满足(2)的数量关系,且有24条棱和10个面,则该几何体有多少个顶点?
答案
9.解:(1)如下表所示：
| | 顶点数 | 棱数 | 面数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 三棱柱 | 6 | 9 | 5 |
| 四棱柱 | 8 | 12 | 6 |
| 五棱柱 | 10 | 15 | 7 |
| 六棱柱 | 12 | 18 | 8 |
(2)由(1)可得$V+F-E=2$.
(3)因为$E=24,F=10$,
所以$V+10-24=2$,所以$V=16$,
所以该几何体有16个顶点.
| | 顶点数 | 棱数 | 面数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 三棱柱 | 6 | 9 | 5 |
| 四棱柱 | 8 | 12 | 6 |
| 五棱柱 | 10 | 15 | 7 |
| 六棱柱 | 12 | 18 | 8 |
(2)由(1)可得$V+F-E=2$.
(3)因为$E=24,F=10$,
所以$V+10-24=2$,所以$V=16$,
所以该几何体有16个顶点.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确不同棱柱的结构特征，分别统计三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱的顶点数、棱数和面数；接着通过统计的数据归纳出顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）的数量关系；最后利用得出的关系，代入已知的棱数和面数，计算顶点数。具体步骤：
1. 对于（1），根据“n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面（n≥3，n为整数）”的规律，分别代入n=3、4、5、6，即可得到各棱柱的顶点、棱、面数；
2. 对于（2），将（1）中统计的每组V、E、F代入计算，找出三者的等量关系；
3. 对于（3），将已知的E=24、F=10代入（2）得出的关系式，解一元一次方程求出V。
【解析】
(1) 根据棱柱的结构特征，统计四种棱柱的顶点数、棱数和面数，如下表：
| | 顶点数 | 棱数 | 面数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 三棱柱 | 6 | 9 | 5 |
| 四棱柱 | 8 | 12 | 6 |
| 五棱柱 | 10 | 15 | 7 |
| 六棱柱 | 12 | 18 | 8 |
(2) 观察(1)中的数据：
三棱柱：$6 + 5 - 9 = 2$；
四棱柱：$8 + 6 - 12 = 2$；
五棱柱：$10 + 7 - 15 = 2$；
六棱柱：$12 + 8 - 18 = 2$；
因此得出三者的数量关系为：$V + F - E = 2$。
(3) 已知该几何体有24条棱（即$E=24$），10个面（即$F=10$），将其代入$V + F - E = 2$中：
$V + 10 - 24 = 2$，
解得：$V = 2 + 24 - 10 = 16$。
【答案】
(1) 见上述表格；
(2) $V + F - E = 2$；
(3) 16个。
【知识点】
棱柱的结构特征，欧拉公式
【点评】
本题主要考查棱柱的基本结构特征及欧拉公式的应用，难度适中，学生只要掌握n棱柱的顶点、棱、面的计数规律，通过数据归纳出欧拉公式，再代入计算即可解决问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确不同棱柱的结构特征，分别统计三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱的顶点数、棱数和面数；接着通过统计的数据归纳出顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）的数量关系；最后利用得出的关系，代入已知的棱数和面数，计算顶点数。具体步骤：
1. 对于（1），根据“n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面（n≥3，n为整数）”的规律，分别代入n=3、4、5、6，即可得到各棱柱的顶点、棱、面数；
2. 对于（2），将（1）中统计的每组V、E、F代入计算，找出三者的等量关系；
3. 对于（3），将已知的E=24、F=10代入（2）得出的关系式，解一元一次方程求出V。
【解析】
(1) 根据棱柱的结构特征，统计四种棱柱的顶点数、棱数和面数，如下表：
| | 顶点数 | 棱数 | 面数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 三棱柱 | 6 | 9 | 5 |
| 四棱柱 | 8 | 12 | 6 |
| 五棱柱 | 10 | 15 | 7 |
| 六棱柱 | 12 | 18 | 8 |
(2) 观察(1)中的数据：
三棱柱：$6 + 5 - 9 = 2$；
四棱柱：$8 + 6 - 12 = 2$；
五棱柱：$10 + 7 - 15 = 2$；
六棱柱：$12 + 8 - 18 = 2$；
因此得出三者的数量关系为：$V + F - E = 2$。
(3) 已知该几何体有24条棱（即$E=24$），10个面（即$F=10$），将其代入$V + F - E = 2$中：
$V + 10 - 24 = 2$，
解得：$V = 2 + 24 - 10 = 16$。
【答案】
(1) 见上述表格；
(2) $V + F - E = 2$；
(3) 16个。
【知识点】
棱柱的结构特征，欧拉公式
【点评】
本题主要考查棱柱的基本结构特征及欧拉公式的应用，难度适中，学生只要掌握n棱柱的顶点、棱、面的计数规律，通过数据归纳出欧拉公式，再代入计算即可解决问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
10.(14分)(2024·盐都区月考)如图所示的图案是用长度相同的火柴棒按一定的规律拼搭而成,拼第①个图案需8根火柴棒,拼第②个图案需15根火柴棒……
(1)按此规律,拼第⑦个图案需
(2)用2025根火柴棒能按此规律拼搭成一个图案吗?若能,说明是第几个图案;若不可能,请说明理由.
(1)按此规律,拼第⑦个图案需
50
根火柴棒;拼第ⓝ个图案需(7n+1)
根火柴棒.(2)用2025根火柴棒能按此规律拼搭成一个图案吗?若能,说明是第几个图案;若不可能,请说明理由.
答案
10.(1)50 $(7n+1)$
(2)解:不能.理由如下：
令$7n+1=2025$,解得$n=289\frac{1}{7}$,不是整数,
所以用2025根火柴棒不能按此规律拼搭成一个图案.
(2)解:不能.理由如下：
令$7n+1=2025$,解得$n=289\frac{1}{7}$,不是整数,
所以用2025根火柴棒不能按此规律拼搭成一个图案.
解析
【分析】
先观察图案的火柴棒数量变化：第①个图案用8根，第②个用15根，第③个用22根，发现每增加1个八边形，火柴棒数量增加7根，据此推导第n个图案的火柴棒数量规律；再代入n=7计算第⑦个图案的火柴数，最后通过列方程判断2025根火柴能否拼搭成图案。
【解析】
(1) 分析图案的火柴棒数量规律：
第①个图案：$8 = 7×1 + 1$；
第②个图案：$15 = 7×2 + 1$；
第③个图案：$22 = 7×3 + 1$；
……
因此，第n个图案需要的火柴棒数量为：$7n + 1$根。
当$n=7$时，$7×7 +1 = 50$，即第⑦个图案需50根火柴棒。
(2) 假设用2025根火柴棒能拼搭成第n个图案，根据规律列方程：
$7n +1 =2025$，
解得$n=\frac{2025-1}{7}=289\frac{1}{7}$，
因为n不是正整数，不符合图案序号为正整数的要求，所以用2025根火柴棒不能按此规律拼搭成一个图案。
【答案】
(1)50；$7n+1$ (2)不能，理由见解析
【知识点】
图形规律探索；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是图形规律探究类题目，通过观察相邻图案的数量变化推导通项公式，再运用公式解决实际问题，重点考查规律总结能力与方程应用能力，属于基础中档题。
【难度系数】
0.5
先观察图案的火柴棒数量变化：第①个图案用8根，第②个用15根，第③个用22根，发现每增加1个八边形，火柴棒数量增加7根，据此推导第n个图案的火柴棒数量规律；再代入n=7计算第⑦个图案的火柴数，最后通过列方程判断2025根火柴能否拼搭成图案。
【解析】
(1) 分析图案的火柴棒数量规律：
第①个图案：$8 = 7×1 + 1$；
第②个图案：$15 = 7×2 + 1$；
第③个图案：$22 = 7×3 + 1$；
……
因此，第n个图案需要的火柴棒数量为：$7n + 1$根。
当$n=7$时，$7×7 +1 = 50$，即第⑦个图案需50根火柴棒。
(2) 假设用2025根火柴棒能拼搭成第n个图案，根据规律列方程：
$7n +1 =2025$，
解得$n=\frac{2025-1}{7}=289\frac{1}{7}$，
因为n不是正整数，不符合图案序号为正整数的要求，所以用2025根火柴棒不能按此规律拼搭成一个图案。
【答案】
(1)50；$7n+1$ (2)不能，理由见解析
【知识点】
图形规律探索；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是图形规律探究类题目，通过观察相邻图案的数量变化推导通项公式，再运用公式解决实际问题，重点考查规律总结能力与方程应用能力，属于基础中档题。
【难度系数】
0.5
11.(15分)(2024·姜堰区期末)在学习《转化 表达》这一课时,老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后,小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
(1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题.若有多余块,则把图中多余块涂上阴影;若还缺少,则直接在原图中补全;
(2)长方体共有
(3)根据图中的数据,求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积.
(1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题.若有多余块,则把图中多余块涂上阴影;若还缺少,则直接在原图中补全;
(2)长方体共有
12
条棱,若将一个长方体沿某些棱剪开,展开成(1)中修正后的平面图形,需要剪开7
条棱;(3)根据图中的数据,求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积.
答案
11.(1)解:有多余块,如答图.
(2)12 7
(3)解:底面正方形的边长为$12÷4=3(\mathrm{cm})$,
长方体的高为$17-3×3=8(\mathrm{cm})$,
长方体的体积为$3×3×8=72(\mathrm{cm}^3)$.
答:修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为$72\ \mathrm{cm}^3$.
解析
【分析】
首先，长方体的展开图需由6个面组成，先数题图中的面数，发现有7个，存在1个多余块，需按要求涂黑；其次，回忆长方体的棱的数量与展开时剪开的棱数的关系，长方体有12条棱，展开成平面图形时，未剪开的棱有5条，由此可算出剪开的棱数；最后，根据展开图的尺寸，横向12cm对应4个底面正方形的边长，可求出正方形边长，再结合纵向17cm的长度，推导出长方体的高，进而计算体积。
【解析】
(1) 长方体的展开图共需要6个面，题图中共有7个面，存在1个多余块，将第三行最下方的长方形涂黑，修正后的图形如答图所示。
(2) 长方体共有12条棱；将长方体沿棱剪开成平面图形时，未剪开的棱有5条，因此需要剪开的棱数为：12 - 5 = 7条。
(3) 由展开图可知，底面为正方形，横向长度12cm是4个正方形的边长，所以底面正方形的边长为：12÷4 = 3(cm)；
纵向总长度17cm，由3个正方形的边长和长方体的高组成，因此长方体的高为：17 - 3×3 = 8(cm)；
长方体的体积 = 长×宽×高 = 3×3×8 = 72(cm³)。
【答案】
(1) 有多余块，修正后图形如答图；
(2) 12；7；
(3) 72 cm³。
【知识点】
长方体展开图、长方体的棱、长方体体积计算
【点评】
本题结合长方体展开图考查长方体的基本性质与体积计算，需要学生掌握长方体展开图的面数特征，能结合展开图的尺寸推导边长和高，题目难度适中，侧重基础应用。
【难度系数】
0.5
首先，长方体的展开图需由6个面组成，先数题图中的面数，发现有7个，存在1个多余块，需按要求涂黑；其次，回忆长方体的棱的数量与展开时剪开的棱数的关系，长方体有12条棱，展开成平面图形时，未剪开的棱有5条，由此可算出剪开的棱数；最后，根据展开图的尺寸，横向12cm对应4个底面正方形的边长，可求出正方形边长，再结合纵向17cm的长度，推导出长方体的高，进而计算体积。
【解析】
(1) 长方体的展开图共需要6个面，题图中共有7个面，存在1个多余块，将第三行最下方的长方形涂黑，修正后的图形如答图
所示。(2) 长方体共有12条棱；将长方体沿棱剪开成平面图形时，未剪开的棱有5条，因此需要剪开的棱数为：12 - 5 = 7条。
(3) 由展开图可知，底面为正方形，横向长度12cm是4个正方形的边长，所以底面正方形的边长为：12÷4 = 3(cm)；
纵向总长度17cm，由3个正方形的边长和长方体的高组成，因此长方体的高为：17 - 3×3 = 8(cm)；
长方体的体积 = 长×宽×高 = 3×3×8 = 72(cm³)。
【答案】
(1) 有多余块，修正后图形如答图
；(2) 12；7；
(3) 72 cm³。
【知识点】
长方体展开图、长方体的棱、长方体体积计算
【点评】
本题结合长方体展开图考查长方体的基本性质与体积计算，需要学生掌握长方体展开图的面数特征，能结合展开图的尺寸推导边长和高，题目难度适中，侧重基础应用。
【难度系数】
0.5
