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3. 选择适当的方法解下列一元二次方程:
(1) $(x-5)^{2}-36=0$; (2) $2x^{2}-4x+1=0$; (3) $3x(x-1)=2-2x$;
(4) $(x-2)^{2}=4(2x+1)^{2}$; (5) $(x-1)(x+2)=4$; (6) $(x-3)^{2}+2x(x-3)=0$.
(1) $(x-5)^{2}-36=0$; (2) $2x^{2}-4x+1=0$; (3) $3x(x-1)=2-2x$;
(4) $(x-2)^{2}=4(2x+1)^{2}$; (5) $(x-1)(x+2)=4$; (6) $(x-3)^{2}+2x(x-3)=0$.
答案
(1) $x_{1}=11, x_{2}=-1$. (2) $x_{1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{2}{3}$. (4) $x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=0$.
(5) $x_{1}=-3, x_{2}=2$. (6) $x_{1}=3, x_{2}=1$.
(3) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{2}{3}$. (4) $x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=0$.
(5) $x_{1}=-3, x_{2}=2$. (6) $x_{1}=3, x_{2}=1$.
解析
【分析】解一元二次方程需根据方程特点选择合适的方法，常用方法有直接开平方法、因式分解法、公式法等：(1)方程移项后为平方形式，适合直接开平方法；(2)二次项系数非1且不易因式分解，适合公式法；(3)移项后可提取公因式，适合因式分解法；(4)两边为平方形式，适合直接开平方法；(5)先整理为一般式再因式分解；(6)含公因式，适合因式分解法。
【解析】
(1) 移项得：$(x-5)^2=36$，开平方得：$x-5=\pm6$，
解得：$x_1=11$，$x_2=-1$；
(2) 方程为$2x^2-4x+1=0$，其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×2×1=8$，
由求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) 移项得：$3x(x-1)+2(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(3x+2)=0$，
则$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$；
(4) 开平方得：$x-2=\pm2(2x+1)$，
分两种情况：
① $x-2=2(2x+1)$，解得$x=-\frac{4}{3}$；
② $x-2=-2(2x+1)$，解得$x=0$；
故$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=0$；
(5) 展开左边得：$x^2+x-2=4$，整理为一般式：$x^2+x-6=0$，
因式分解得：$(x+3)(x-2)=0$，
则$x+3=0$或$x-2=0$，
解得：$x_1=-3$，$x_2=2$；
(6) 提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3+2x)=0$，即$(x-3)(3x-3)=0$，
则$x-3=0$或$3x-3=0$，
解得：$x_1=3$，$x_2=1$；
【答案】(1) $x_{1}=11, x_{2}=-1$；(2) $x_{1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$；(3) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{2}{3}$；(4) $x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=0$；(5) $x_{1}=-3, x_{2}=2$；(6) $x_{1}=3, x_{2}=1$
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基本解法，需根据方程结构选择最优方法，熟练掌握各类解法是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 移项得：$(x-5)^2=36$，开平方得：$x-5=\pm6$，
解得：$x_1=11$，$x_2=-1$；
(2) 方程为$2x^2-4x+1=0$，其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×2×1=8$，
由求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) 移项得：$3x(x-1)+2(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(3x+2)=0$，
则$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$；
(4) 开平方得：$x-2=\pm2(2x+1)$，
分两种情况：
① $x-2=2(2x+1)$，解得$x=-\frac{4}{3}$；
② $x-2=-2(2x+1)$，解得$x=0$；
故$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=0$；
(5) 展开左边得：$x^2+x-2=4$，整理为一般式：$x^2+x-6=0$，
因式分解得：$(x+3)(x-2)=0$，
则$x+3=0$或$x-2=0$，
解得：$x_1=-3$，$x_2=2$；
(6) 提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3+2x)=0$，即$(x-3)(3x-3)=0$，
则$x-3=0$或$3x-3=0$，
解得：$x_1=3$，$x_2=1$；
【答案】(1) $x_{1}=11, x_{2}=-1$；(2) $x_{1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$；(3) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{2}{3}$；(4) $x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=0$；(5) $x_{1}=-3, x_{2}=2$；(6) $x_{1}=3, x_{2}=1$
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基本解法，需根据方程结构选择最优方法，熟练掌握各类解法是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【例4】关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-4x+3=0$有两个不相等的实数根,则$a$的取值范围是
$a＜\frac{4}{3}$ 且 $a ≠ 0$
.答案
$a＜\frac{4}{3}$ 且 $a ≠ 0$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：首先，题目明确是关于$x$的一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式大于0求解，最后结合两个条件确定$a$的取值范围。
【解析】
1. 满足一元二次方程的条件：因为方程$ax^2 -4x +3=0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$。
2. 利用根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有两个不相等实数根时，判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞0$。本题中$b=-4$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4× a×3 =16 -12a$
令$\Delta＞0$，即$16 -12a ＞0$，解不等式：
$-12a ＞ -16$，两边除以$-12$（不等号方向改变），得$a ＜ \frac{4}{3}$。
3. 结合两个条件：$a ＜ \frac{4}{3}$且$a≠0$。
【答案】
$a＜\frac{4}{3}$ 且 $a ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题关键是同时满足“一元二次方程二次项系数不为0”和“有两个不相等实数根时判别式大于0”，需避免遗漏二次项系数不为0的易错点。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步思考：首先，题目明确是关于$x$的一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式大于0求解，最后结合两个条件确定$a$的取值范围。
【解析】
1. 满足一元二次方程的条件：因为方程$ax^2 -4x +3=0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$。
2. 利用根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有两个不相等实数根时，判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞0$。本题中$b=-4$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4× a×3 =16 -12a$
令$\Delta＞0$，即$16 -12a ＞0$，解不等式：
$-12a ＞ -16$，两边除以$-12$（不等号方向改变），得$a ＜ \frac{4}{3}$。
3. 结合两个条件：$a ＜ \frac{4}{3}$且$a≠0$。
【答案】
$a＜\frac{4}{3}$ 且 $a ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题关键是同时满足“一元二次方程二次项系数不为0”和“有两个不相等实数根时判别式大于0”，需避免遗漏二次项系数不为0的易错点。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{2}-4x+1=0$有实数根,则$m$的取值范围是
$m ≤ 3$ 且 $m ≠-1$
.答案
4. $m ≤ 3$ 且 $m ≠-1$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合两个关键条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是方程有实数根时判别式需满足非负。先分别根据这两个条件列出不等式，再求解并取公共部分即可。
【解析】
因为方程$(m+1)x^2 -4x +1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$；
又因为该方程有实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，这里$a=m+1$，$b=-4$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(m+1)×1 =16 -4(m+1) ≥0$，
解这个不等式：
$16 -4m -4 ≥0$
$12 -4m ≥0$
$-4m ≥ -12$
$m ≤3$；
结合前面$m≠-1$，所以m的取值范围是$m≤3$且$m≠-1$。
【答案】
$m ≤ 3$ 且 $m ≠-1$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程有实根的条件，核心是需同时满足“二次项系数不为0”和“判别式非负”，学生易忽略二次项系数不为0的限制，属于基础易错题型。
【难度系数】
0.5
要确定m的取值范围，需结合两个关键条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是方程有实数根时判别式需满足非负。先分别根据这两个条件列出不等式，再求解并取公共部分即可。
【解析】
因为方程$(m+1)x^2 -4x +1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$；
又因为该方程有实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，这里$a=m+1$，$b=-4$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(m+1)×1 =16 -4(m+1) ≥0$，
解这个不等式：
$16 -4m -4 ≥0$
$12 -4m ≥0$
$-4m ≥ -12$
$m ≤3$；
结合前面$m≠-1$，所以m的取值范围是$m≤3$且$m≠-1$。
【答案】
$m ≤ 3$ 且 $m ≠-1$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程有实根的条件，核心是需同时满足“二次项系数不为0”和“判别式非负”，学生易忽略二次项系数不为0的限制，属于基础易错题型。
【难度系数】
0.5
5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k+3)x+2k+2=0$.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.
答案
(1) 证明略. (2) $k＜0$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问要证明一元二次方程总有两个实数根，需利用根的判别式，计算判别式的值并证明其非负；第(2)问先通过因式分解法求出方程的两个根，再根据“有一个根小于1”的条件，筛选出符合要求的根，进而列出关于k的不等式求解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。在方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$中，$a=1$，$b=-(k+3)$，$c=2k+2$，则：
$\Delta = [-(k+3)]^2 - 4×1×(2k+2) = k^2 + 6k + 9 - 8k - 8 = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2$
因为任何数的平方都为非负数，所以$\Delta=(k-1)^2≥0$，因此方程总有两个实数根。
(2) 对方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$进行因式分解：
$x^2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-(k+1))=0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=k+1$。
已知方程有一个根小于1，而$x_1=2＞1$，所以需满足$x_2=k+1＜1$，解得$k＜0$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $k＜0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心考查根的判别式的意义及因式分解解方程的方法，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应熟练掌握的常规题目。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问要证明一元二次方程总有两个实数根，需利用根的判别式，计算判别式的值并证明其非负；第(2)问先通过因式分解法求出方程的两个根，再根据“有一个根小于1”的条件，筛选出符合要求的根，进而列出关于k的不等式求解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。在方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$中，$a=1$，$b=-(k+3)$，$c=2k+2$，则：
$\Delta = [-(k+3)]^2 - 4×1×(2k+2) = k^2 + 6k + 9 - 8k - 8 = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2$
因为任何数的平方都为非负数，所以$\Delta=(k-1)^2≥0$，因此方程总有两个实数根。
(2) 对方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$进行因式分解：
$x^2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-(k+1))=0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=k+1$。
已知方程有一个根小于1，而$x_1=2＞1$，所以需满足$x_2=k+1＜1$，解得$k＜0$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $k＜0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心考查根的判别式的意义及因式分解解方程的方法，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应熟练掌握的常规题目。
【难度系数】
0.6
【例5】已知关于$x$的方程$x^{2}+2(k-1)x+k^{2}=0$有两个实数根$m$、$n$,且$m+n=mn-1$,则$k$的值为
-3
.答案
-3
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将已知的$m+n=mn-1$转化为关于$k$的方程；第二步，因为方程有两个实数根，需结合根的判别式确定$k$的取值范围，舍去不符合条件的解，最终得到正确的$k$值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 2(k-1)x + k^2 = 0$，
因为方程有两个实数根$m$、$n$，所以根的判别式$\Delta ≥ 0$，
计算判别式：
$\Delta = [2(k-1)]^2 - 4 × 1 × k^2 = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 = -8k + 4$，
令$\Delta ≥ 0$，即$-8k + 4 ≥ 0$，解得$k ≤ 0.5$。
根据韦达定理，两根之和$m + n = -2(k-1)$，两根之积$mn = k^2$，
已知$m + n = mn - 1$，代入得：
$-2(k - 1) = k^2 - 1$，
整理方程：$k^2 + 2k - 3 = 0$，
因式分解得$(k + 3)(k - 1) = 0$，
解得$k = -3$或$k = 1$。
结合之前得到的$k ≤ 0.5$，舍去$k = 1$，故$k = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是先利用判别式确定参数的取值范围，避免因忽略“方程有两个实数根”的条件而产生增根，是一元二次方程相关题型的常见考法。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分两步思考：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将已知的$m+n=mn-1$转化为关于$k$的方程；第二步，因为方程有两个实数根，需结合根的判别式确定$k$的取值范围，舍去不符合条件的解，最终得到正确的$k$值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 2(k-1)x + k^2 = 0$，
因为方程有两个实数根$m$、$n$，所以根的判别式$\Delta ≥ 0$，
计算判别式：
$\Delta = [2(k-1)]^2 - 4 × 1 × k^2 = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 = -8k + 4$，
令$\Delta ≥ 0$，即$-8k + 4 ≥ 0$，解得$k ≤ 0.5$。
根据韦达定理，两根之和$m + n = -2(k-1)$，两根之积$mn = k^2$，
已知$m + n = mn - 1$，代入得：
$-2(k - 1) = k^2 - 1$，
整理方程：$k^2 + 2k - 3 = 0$，
因式分解得$(k + 3)(k - 1) = 0$，
解得$k = -3$或$k = 1$。
结合之前得到的$k ≤ 0.5$，舍去$k = 1$，故$k = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是先利用判别式确定参数的取值范围，避免因忽略“方程有两个实数根”的条件而产生增根，是一元二次方程相关题型的常见考法。
【难度系数】
0.5
6. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(2m+2)x+(m+1)=0$有两个实数根.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 若方程的两个实数根分别为$α$、$β$,且$α^{2}+β^{2}=1$,求$m$的值.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 若方程的两个实数根分别为$α$、$β$,且$α^{2}+β^{2}=1$,求$m$的值.
答案
(1) $m ≥-1$ 且 $m ≠ 0$.
(2) $-3+\sqrt{5}$.
(2) $-3+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需分两小问逐步分析：
1. 第(1)问：一元二次方程有两个实数根，需满足两个核心条件：①二次项系数不为0（保证是一元二次方程）；②判别式Δ≥0（保证存在两个实根）。先计算判别式，解不等式，结合二次项系数的限制，即可得到m的取值范围。
2. 第(2)问：利用韦达定理（根与系数的关系），先写出两根之和与两根之积，再将α²+β²转化为(α+β)² - 2αβ的形式，代入已知条件得到关于m的方程，解方程后，结合第(1)问的m的取值范围，舍去不符合的解，即可得到m的值。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数m≠0。
方程有两个实数根，故判别式Δ≥0：
Δ = [-(2m+2)]² - 4·m·(m+1) = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 4m = 4m + 4
令Δ≥0，即4m + 4 ≥ 0，解得m ≥ -1。
结合m≠0，得m的取值范围为：m ≥ -1且m ≠ 0。
(2) 由韦达定理，方程的两根α、β满足：
α + β = (2m + 2)/m，αβ = (m + 1)/m
已知α² + β² = 1，将其变形为：
α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 1
代入韦达定理的结果：
[(2m + 2)/m]² - 2·(m + 1)/m = 1
两边同乘m²（m≠0）消去分母：
4(m + 1)² - 2m(m + 1) = m²
展开并整理：
4(m² + 2m + 1) - 2m² - 2m = m²
4m² + 8m + 4 - 2m² - 2m - m² = 0
m² + 6m + 4 = 0
解此一元二次方程，得：
m = [-6 ± √(6² - 4×1×4)]/2 = [-6 ± √20]/2 = -3 ± √5
结合第(1)问中m ≥ -1且m≠0，检验两个解：
-3 + √5 ≈ -0.764，满足条件；-3 - √5 ≈ -5.236，小于-1，舍去。
故m的值为-3 + √5。
【答案】
(1) m ≥ -1且m ≠ 0；(2) -3 + √5
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题考查一元二次方程的基本性质，需注意隐含条件：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是易失分点；第二问利用韦达定理转化代数式时，计算需仔细，解出参数后要结合取值范围取舍，避免错解。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分两小问逐步分析：
1. 第(1)问：一元二次方程有两个实数根，需满足两个核心条件：①二次项系数不为0（保证是一元二次方程）；②判别式Δ≥0（保证存在两个实根）。先计算判别式，解不等式，结合二次项系数的限制，即可得到m的取值范围。
2. 第(2)问：利用韦达定理（根与系数的关系），先写出两根之和与两根之积，再将α²+β²转化为(α+β)² - 2αβ的形式，代入已知条件得到关于m的方程，解方程后，结合第(1)问的m的取值范围，舍去不符合的解，即可得到m的值。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数m≠0。
方程有两个实数根，故判别式Δ≥0：
Δ = [-(2m+2)]² - 4·m·(m+1) = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 4m = 4m + 4
令Δ≥0，即4m + 4 ≥ 0，解得m ≥ -1。
结合m≠0，得m的取值范围为：m ≥ -1且m ≠ 0。
(2) 由韦达定理，方程的两根α、β满足：
α + β = (2m + 2)/m，αβ = (m + 1)/m
已知α² + β² = 1，将其变形为：
α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 1
代入韦达定理的结果：
[(2m + 2)/m]² - 2·(m + 1)/m = 1
两边同乘m²（m≠0）消去分母：
4(m + 1)² - 2m(m + 1) = m²
展开并整理：
4(m² + 2m + 1) - 2m² - 2m = m²
4m² + 8m + 4 - 2m² - 2m - m² = 0
m² + 6m + 4 = 0
解此一元二次方程，得：
m = [-6 ± √(6² - 4×1×4)]/2 = [-6 ± √20]/2 = -3 ± √5
结合第(1)问中m ≥ -1且m≠0，检验两个解：
-3 + √5 ≈ -0.764，满足条件；-3 - √5 ≈ -5.236，小于-1，舍去。
故m的值为-3 + √5。
【答案】
(1) m ≥ -1且m ≠ 0；(2) -3 + √5
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题考查一元二次方程的基本性质，需注意隐含条件：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是易失分点；第二问利用韦达定理转化代数式时，计算需仔细，解出参数后要结合取值范围取舍，避免错解。
【难度系数】
0.5
1. 端午节期间,某超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话.小王:"这种水果的进价是每千克22元."小李:"当售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若售价每千克每降低3元,则每天的销售量将增加120千克."根据他们的对话,若该超市每天销售这种水果要获得利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的售价为每千克
29
元.答案
1. 29
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系，先设出水果的售价，再分别表示出每千克的利润和对应的销售量，据此列出一元二次方程求解；最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的条件，选择合适的售价。
【解析】
设这种水果的售价为每千克$ x $元。
1. 每千克利润：$ (x - 22) $元；
2. 销售量：当售价为38元时，每天售160千克；售价每降低3元，销量增加120千克，因此售价为$ x $元时，售价降低了$ (38 - x) $元，销量增加$ \frac{38 - x}{3} × 120 = 40(38 - x) $千克，总销售量为$ 160 + 40(38 - x) = 1680 - 40x $千克；
3. 列方程：总利润为3640元，可得：
$ (x - 22)(1680 - 40x) = 3640 $
整理方程：
$ -40x^2 + 2560x - 36960 = 3640 $
$ x^2 - 64x + 1015 = 0 $
因式分解得：$ (x - 29)(x - 35) = 0 $
解得：$ x_1 = 29 $，$ x_2 = 35 $；
4. 结合“尽可能让顾客得到实惠”的条件，选择较低售价，即$ x = 29 $。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的典型应用，核心是找准利润与销售量的等量关系，需注意题目中“尽可能让顾客得到实惠”的隐含条件，避免选错解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系，先设出水果的售价，再分别表示出每千克的利润和对应的销售量，据此列出一元二次方程求解；最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的条件，选择合适的售价。
【解析】
设这种水果的售价为每千克$ x $元。
1. 每千克利润：$ (x - 22) $元；
2. 销售量：当售价为38元时，每天售160千克；售价每降低3元，销量增加120千克，因此售价为$ x $元时，售价降低了$ (38 - x) $元，销量增加$ \frac{38 - x}{3} × 120 = 40(38 - x) $千克，总销售量为$ 160 + 40(38 - x) = 1680 - 40x $千克；
3. 列方程：总利润为3640元，可得：
$ (x - 22)(1680 - 40x) = 3640 $
整理方程：
$ -40x^2 + 2560x - 36960 = 3640 $
$ x^2 - 64x + 1015 = 0 $
因式分解得：$ (x - 29)(x - 35) = 0 $
解得：$ x_1 = 29 $，$ x_2 = 35 $；
4. 结合“尽可能让顾客得到实惠”的条件，选择较低售价，即$ x = 29 $。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的典型应用，核心是找准利润与销售量的等量关系，需注意题目中“尽可能让顾客得到实惠”的隐含条件，避免选错解。
【难度系数】
0.6
