登录
1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=5，∠DAB的角平分线AE交DC于点E，则EC的值为()
A.6
B.5
C.4
D.3
第1题图
A.6
B.5
C.4
D.3
第1题图答案
D
解析
在平行四边形ABCD中，DC//AB，DC=AB=8，AD=BC=5。
∵AE是∠DAB的角平分线，∴∠DAE=∠EAB。
由DC//AB可得∠DEA=∠EAB，因此∠DAE=∠DEA，即△ADE为等腰三角形，DE=AD=5。
∴EC=DC-DE=8-5=3。
∵AE是∠DAB的角平分线，∴∠DAE=∠EAB。
由DC//AB可得∠DEA=∠EAB，因此∠DAE=∠DEA，即△ADE为等腰三角形，DE=AD=5。
∴EC=DC-DE=8-5=3。
2. 在$□ ABCD$中,连接$BD$,过点$A$作$AE ⊥ BD$交$BD$于点$E$.若$AE=BE$且$∠ DBC=30°$,则$∠ ADC=(\quad)$
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
答案
B
解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，由两直线平行内错角相等得∠ADB=∠DBC=30°。
∵ AE⊥BD，AE=BE，∴ △ABE是等腰直角三角形，∠ABE=45°。
∴ ∠ABC=∠ABE + ∠DBC=45°+30°=75°。
由平行四边形对角相等可得∠ADC=∠ABC=75°。
∵ AE⊥BD，AE=BE，∴ △ABE是等腰直角三角形，∠ABE=45°。
∴ ∠ABC=∠ABE + ∠DBC=45°+30°=75°。
由平行四边形对角相等可得∠ADC=∠ABC=75°。
3. 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过平行四边形ABCO的顶点A,OC在x轴上.若点B的坐标为$(-1,4)$,$S_{□ ABCO}=4$,则实数k的值为()
A.-4
B.-6
C.-7
D.-8
A.-4
B.-6
C.-7
D.-8
答案
D
解析
1. 由平行四边形ABCO中OC在x轴上，可得AB//x轴，因此点A的纵坐标与点B(-1,4)的纵坐标相等，均为4。
2. 平行四边形面积公式为底×高，此处高等于点B的纵坐标4，已知$S_{□ABCO}=4$，因此底$OC = 4÷4=1$，得点C坐标为$(1,0)$。
3. 根据平行四边形顶点性质：若O为原点，邻边为OA、OC，则点B满足$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$，代入已知坐标得：$(-1,4) = (x_A,y_A)+(1,0)$，解得$x_A=-2$，即点A坐标为$(-2,4)$。
4. 将点A代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k = x_A · y_A = (-2)×4=-8$。
2. 平行四边形面积公式为底×高，此处高等于点B的纵坐标4，已知$S_{□ABCO}=4$，因此底$OC = 4÷4=1$，得点C坐标为$(1,0)$。
3. 根据平行四边形顶点性质：若O为原点，邻边为OA、OC，则点B满足$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$，代入已知坐标得：$(-1,4) = (x_A,y_A)+(1,0)$，解得$x_A=-2$，即点A坐标为$(-2,4)$。
4. 将点A代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k = x_A · y_A = (-2)×4=-8$。
4. 下列命题中,其逆命题不成立的是()
A.全等三角形的对应角相等
B.等腰三角形的两个底角相等
C.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D.平行四边形的对角线互相平分
A.全等三角形的对应角相等
B.等腰三角形的两个底角相等
C.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D.平行四边形的对角线互相平分
答案
A
解析
分别写出各选项的逆命题并判断：
1. 选项A的逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形。对应角相等的三角形只能判定相似，不一定全等，该逆命题不成立。
2. 选项B的逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，符合等腰三角形的判定定理，逆命题成立。
3. 选项C的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是线段垂直平分线的判定定理，逆命题成立。
4. 选项D的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，逆命题成立。
综上，逆命题不成立的是A。
1. 选项A的逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形。对应角相等的三角形只能判定相似，不一定全等，该逆命题不成立。
2. 选项B的逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，符合等腰三角形的判定定理，逆命题成立。
3. 选项C的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是线段垂直平分线的判定定理，逆命题成立。
4. 选项D的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，逆命题成立。
综上，逆命题不成立的是A。
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$F$,过点$F$作$DE// BC$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$.若$S_{△ BDF}=9$,$S_{△ CEF}=6$,$BD=6$,则$DE$的长为()
A.4
B.6
C.8
D.10
A.4
B.6
C.8
D.10
答案
D
解析
1. 由角平分线和平行线性质推导等腰三角形：
BF平分∠ABC，得∠DBF=∠CBF，又DE//BC，得∠DFB=∠CBF，因此∠DBF=∠DFB，故DF=BD=6。
2. 计算F到AB的距离：
过F作FG⊥AB于G，由$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}· BD· FG=9$，代入BD=6，解得FG=3。
3. 利用内心性质求F到AC的距离：
F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点（即△ABC的内心），根据角平分线性质，F到AC的距离FH=FG=3。
4. 同理推导△CEF为等腰三角形：
CF平分∠ACB，得∠ECF=∠BCF，又DE//BC，得∠EFC=∠BCF，因此∠ECF=∠EFC，故EF=EC。
5. 计算EC的长度：
由$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· EC· FH=6$，代入FH=3，解得EC=4，因此EF=4。
6. 计算DE的长度：
DE=DF+EF=6+4=10。
BF平分∠ABC，得∠DBF=∠CBF，又DE//BC，得∠DFB=∠CBF，因此∠DBF=∠DFB，故DF=BD=6。
2. 计算F到AB的距离：
过F作FG⊥AB于G，由$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}· BD· FG=9$，代入BD=6，解得FG=3。
3. 利用内心性质求F到AC的距离：
F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点（即△ABC的内心），根据角平分线性质，F到AC的距离FH=FG=3。
4. 同理推导△CEF为等腰三角形：
CF平分∠ACB，得∠ECF=∠BCF，又DE//BC，得∠EFC=∠BCF，因此∠ECF=∠EFC，故EF=EC。
5. 计算EC的长度：
由$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· EC· FH=6$，代入FH=3，解得EC=4，因此EF=4。
6. 计算DE的长度：
DE=DF+EF=6+4=10。
6.如图,在△ABC中,AB=2,AC=5,DE为△ABC的中位线,过点E作EF//AB交AC于点F,则四边形ADEF的周长为()
A.$\frac{7}{2}$
B.7
C.9
D.12
A.$\frac{7}{2}$
B.7
C.9
D.12
答案
B
解析
已知DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质：可得$DE// AC$，$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，且D是AB中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=1$。
又因为$EF// AB$，所以四边形ADEF是平行四边形，得$EF=AD=1$，$AF=DE=\frac{5}{2}$。
因此四边形ADEF的周长为$2×(AD+DE)=2×(1+\frac{5}{2})=7$。
又因为$EF// AB$，所以四边形ADEF是平行四边形，得$EF=AD=1$，$AF=DE=\frac{5}{2}$。
因此四边形ADEF的周长为$2×(AD+DE)=2×(1+\frac{5}{2})=7$。
