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1. 下列方程中,属于一元二次方程的是
(
A.$(x+1)(x-2)=x^2-3$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$3x+y=2$
D.$3y^2=2y-1$
(
D
)A.$(x+1)(x-2)=x^2-3$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$3x+y=2$
D.$3y^2=2y-1$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判断标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③化简后未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们可以先对每个选项的方程逐一化简，再对照三个标准排除错误选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。我们逐个分析选项：
A选项：先展开左边得$(x+1)(x-2)=x^2 - x - 2$，和右边$x^2 - 3$整理合并：$x^2 - x - 2 = x^2 - 3$，移项消去$x^2$后得到$-x + 1 = 0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
B选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，是分式，不属于整式方程，不符合要求。
C选项：方程中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求。
D选项：方程只含有$y$一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式方程的概念
3.整式的化简
【点评】
本题是方程分类的基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程的判断标准，注意要先将方程化简后再判断，不能只看原始形式的次数，还要注意区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判断标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③化简后未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们可以先对每个选项的方程逐一化简，再对照三个标准排除错误选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。我们逐个分析选项：
A选项：先展开左边得$(x+1)(x-2)=x^2 - x - 2$，和右边$x^2 - 3$整理合并：$x^2 - x - 2 = x^2 - 3$，移项消去$x^2$后得到$-x + 1 = 0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
B选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，是分式，不属于整式方程，不符合要求。
C选项：方程中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求。
D选项：方程只含有$y$一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式方程的概念
3.整式的化简
【点评】
本题是方程分类的基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程的判断标准，注意要先将方程化简后再判断，不能只看原始形式的次数，还要注意区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.8
2. 下列图形中,属于中心对称图形的有
(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. C
解析
【分析】
解题前先明确中心对称图形的判定规则：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，若旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。我们只需按照该规则逐一验证四个图形即可：首先找每个图形的对称中心，再想象图形旋转180°后的状态，判断是否和原图一致，最后统计符合要求的图形数量。
【解析】
我们逐个判断四个图形：
1. 第一个图形：对称中心为圆心，将图形绕圆心旋转180°后，圆环、斜杠都与原图形完全重合，属于中心对称图形；
2. 第二个图形：对称中心为正方形对角线的交点，将图形绕该点旋转180°后，所有线条的位置都和原图形一致，属于中心对称图形；
3. 第三个图形：对称中心为两个圆圆心连线的中点，将图形绕该点旋转180°后，两个圆及内部的正方形都与原图形重合，属于中心对称图形；
4. 第四个五角星图形：将其绕任意点旋转180°后，原来朝上的角会朝下，图形和原图不一致，不属于中心对称图形。
综上，共有3个中心对称图形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形的判定、图形旋转的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记中心对称图形的判定标准，解题时注意不要将中心对称图形和轴对称图形混淆，通过旋转180°后是否重合的规则即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解题前先明确中心对称图形的判定规则：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，若旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。我们只需按照该规则逐一验证四个图形即可：首先找每个图形的对称中心，再想象图形旋转180°后的状态，判断是否和原图一致，最后统计符合要求的图形数量。
【解析】
我们逐个判断四个图形：
1. 第一个图形：对称中心为圆心，将图形绕圆心旋转180°后，圆环、斜杠都与原图形完全重合，属于中心对称图形；
2. 第二个图形：对称中心为正方形对角线的交点，将图形绕该点旋转180°后，所有线条的位置都和原图形一致，属于中心对称图形；
3. 第三个图形：对称中心为两个圆圆心连线的中点，将图形绕该点旋转180°后，两个圆及内部的正方形都与原图形重合，属于中心对称图形；
4. 第四个五角星图形：将其绕任意点旋转180°后，原来朝上的角会朝下，图形和原图不一致，不属于中心对称图形。
综上，共有3个中心对称图形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形的判定、图形旋转的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记中心对称图形的判定标准，解题时注意不要将中心对称图形和轴对称图形混淆，通过旋转180°后是否重合的规则即可快速判断。
【难度系数】
0.7
3. 下列关于方程$x^2 - 2 = 0$的理解中,错误的是 （
A.这个方程是一元二次方程
B.方程的解是$x = \sqrt{2}$
C.这个方程是一元二次方程的一般形式
D.这个方程可以用公式法求解
B
）A.这个方程是一元二次方程
B.方程的解是$x = \sqrt{2}$
C.这个方程是一元二次方程的一般形式
D.这个方程可以用公式法求解
答案
3. B
解析
【分析】
这道题要求选出关于方程$x^2-2=0$的错误表述，解题时需结合一元二次方程的相关基础知识点逐一判断各选项：第一步先根据一元二次方程的定义判断A选项是否正确；第二步求解该方程的所有解，判断B选项的表述是否完整；第三步结合一元二次方程一般形式的要求判断C选项；第四步根据一元二次方程解法的适用范围判断D选项，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：方程$x^2-2=0$只含有1个未知数$x$，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，表述正确，不符合题意。
2. 选项B：对方程$x^2-2=0$移项得$x^2=2$，开平方可得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，即方程有两个解，选项只写出了其中一个解，表述错误，符合题意。
3. 选项C：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），该方程中$a=1$，$b=0$，$c=-2$，满足一般形式的要求，表述正确，不符合题意。
4. 选项D：公式法适用于所有一元二次方程的求解，因此该方程可以用公式法求解，表述正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的概念，一元二次方程的解，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，属于基础题型，解题时要注意求解一元二次方程时不要漏掉负根，熟练掌握相关定义和解法是得分的关键。
【难度系数】
0.8
这道题要求选出关于方程$x^2-2=0$的错误表述，解题时需结合一元二次方程的相关基础知识点逐一判断各选项：第一步先根据一元二次方程的定义判断A选项是否正确；第二步求解该方程的所有解，判断B选项的表述是否完整；第三步结合一元二次方程一般形式的要求判断C选项；第四步根据一元二次方程解法的适用范围判断D选项，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：方程$x^2-2=0$只含有1个未知数$x$，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，表述正确，不符合题意。
2. 选项B：对方程$x^2-2=0$移项得$x^2=2$，开平方可得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，即方程有两个解，选项只写出了其中一个解，表述错误，符合题意。
3. 选项C：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），该方程中$a=1$，$b=0$，$c=-2$，满足一般形式的要求，表述正确，不符合题意。
4. 选项D：公式法适用于所有一元二次方程的求解，因此该方程可以用公式法求解，表述正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的概念，一元二次方程的解，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，属于基础题型，解题时要注意求解一元二次方程时不要漏掉负根，熟练掌握相关定义和解法是得分的关键。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系中,点$P(1,-4)$关于原点对称的点的坐标是（
A.$(-1,-4)$
B.$(-1,4)$
C.$(1,4)$
D.$(1,-4)$
B
）A.$(-1,-4)$
B.$(-1,4)$
C.$(1,4)$
D.$(1,-4)$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来提取已知点P的横、纵坐标，分别求出它们的相反数，即可得到对称点的坐标，最后匹配选项得出答案。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：若点的坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(1,-4)$，则其横坐标$1$的相反数为$-1$，纵坐标$-4$的相反数为$4$，因此点$P$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标变换的基础规律，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化特点即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来提取已知点P的横、纵坐标，分别求出它们的相反数，即可得到对称点的坐标，最后匹配选项得出答案。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：若点的坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(1,-4)$，则其横坐标$1$的相反数为$-1$，纵坐标$-4$的相反数为$4$，因此点$P$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标变换的基础规律，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化特点即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
5. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $(m - 3)x^2 + m^2x = 9x + 5$ 化为一般形式后不含一次项，则 $ m $ 的值为（
A.0
B.$\pm 3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm 3$
C.3
D.$-3$
答案
5. D
解析
【分析】
首先我们要先把给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路分为两点：第一，题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是核心前提；第二，题目要求不含一次项，说明一次项的系数等于0。我们先整理方程，再结合这两个条件列式求解$m$的值即可。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式
原方程为$(m - 3)x^2 + m^2x = 9x + 5$，将等号右侧的项全部移到左侧：
$(m - 3)x^2 + m^2x - 9x - 5 = 0$
合并同类项，把含$x$的一次项合并：
$(m - 3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
第二步：结合限定条件列等式求解
① 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
② 因为方程不含一次项，所以一次项系数为0：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
第三步：结合两个条件确定最终结果
同时满足$m ≠ 3$和$m = \pm3$，可得$m = -3$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、多项式的系数
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，直接根据一次项系数为0误选$m=\pm3$，做题时要注意审题，优先考虑定义类的限定条件。
【难度系数】
0.6
首先我们要先把给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路分为两点：第一，题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是核心前提；第二，题目要求不含一次项，说明一次项的系数等于0。我们先整理方程，再结合这两个条件列式求解$m$的值即可。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式
原方程为$(m - 3)x^2 + m^2x = 9x + 5$，将等号右侧的项全部移到左侧：
$(m - 3)x^2 + m^2x - 9x - 5 = 0$
合并同类项，把含$x$的一次项合并：
$(m - 3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
第二步：结合限定条件列等式求解
① 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
② 因为方程不含一次项，所以一次项系数为0：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
第三步：结合两个条件确定最终结果
同时满足$m ≠ 3$和$m = \pm3$，可得$m = -3$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、多项式的系数
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，直接根据一次项系数为0误选$m=\pm3$，做题时要注意审题，优先考虑定义类的限定条件。
【难度系数】
0.6
6. 已知某三角形的两边长是一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的两个根，则该三角形第三边的长可能是（
A.8
B.7
C.6
D.5
D
）A.8
B.7
C.6
D.5
答案
6. D
解析
【分析】
解题需要分两步走：第一步先求解一元二次方程，得到三角形已知两边的长度；第二步根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$：
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
则$x-2=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的两条边长为2和4。
设第三边长为$c$，根据三角形三边关系可得：
$4-2 ＜ c ＜ 4+2$，即$2 ＜ c ＜ 6$。
对照选项：
A. $8＞6$，不符合；B.$7＞6$，不符合；C.$6$不满足小于6，不符合；D.$2＜5＜6$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解和三角形三边关系结合考查，解题的核心是先准确求出方程的根，再利用三边关系确定第三边的取值范围，注意第三边不能等于两边之和或两边之差。
【难度系数】
0.8
解题需要分两步走：第一步先求解一元二次方程，得到三角形已知两边的长度；第二步根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$：
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
则$x-2=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的两条边长为2和4。
设第三边长为$c$，根据三角形三边关系可得：
$4-2 ＜ c ＜ 4+2$，即$2 ＜ c ＜ 6$。
对照选项：
A. $8＞6$，不符合；B.$7＞6$，不符合；C.$6$不满足小于6，不符合；D.$2＜5＜6$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解和三角形三边关系结合考查，解题的核心是先准确求出方程的根，再利用三边关系确定第三边的取值范围，注意第三边不能等于两边之和或两边之差。
【难度系数】
0.8
7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x + p = 0 $ 的两根为 $ x_1, x_2 $，且 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3 $，则 $ p $ 的值为（
A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ -6 $
D.$ 6 $
A
）A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ -6 $
D.$ 6 $
答案
7. A
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两根满足倒数和的条件，解题时优先用根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步先对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；第二步根据给定方程写出两根之和、两根之积的表达式；第三步代入已知等式求解p，最后验证判别式确保方程有两个实根即可。
【解析】
首先对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
对于一元二次方程$x^2+2x+p=0$，$a=1$，$b=2$，$c=p$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=p$
将上述结果代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$得：
$\frac{-2}{p}=3$
解得$p=-\frac{2}{3}$
验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=4-4×1×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题，解题核心是将所求的两根代数式转化为两根和、两根积的形式，再代入韦达定理结论计算即可，解题时注意不要遗漏判别式的验证步骤。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程的两根满足倒数和的条件，解题时优先用根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步先对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；第二步根据给定方程写出两根之和、两根之积的表达式；第三步代入已知等式求解p，最后验证判别式确保方程有两个实根即可。
【解析】
首先对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
对于一元二次方程$x^2+2x+p=0$，$a=1$，$b=2$，$c=p$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=p$
将上述结果代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$得：
$\frac{-2}{p}=3$
解得$p=-\frac{2}{3}$
验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=4-4×1×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题，解题核心是将所求的两根代数式转化为两根和、两根积的形式，再代入韦达定理结论计算即可，解题时注意不要遗漏判别式的验证步骤。
【难度系数】
0.7
8. 已知 $ x $ 为实数，且 $ (x^2 + 3x)^2 - (x^2 + 3x) = 12 $，则 $ x^2 + 3x $ 的值为 （
A.4
B.4或－3
C.－3
D.－4或3
A
）A.4
B.4或－3
C.－3
D.－4或3
答案
8. A
解析
【分析】
观察原方程的结构，发现代数式$x^2+3x$整体重复出现，因此可采用换元法简化方程：设$y=x^2+3x$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程求解。求出$y$的候选值后，结合题目中“$x$为实数”的条件，通过一元二次方程根的判别式验证候选值是否合理，排除无实根的情况即可得到最终结果。
【解析】
设$y = x^2 + 3x$，则原方程可转化为：
$y^2 - y = 12$
移项整理得一元二次方程：
$y^2 - y - 12 = 0$
因式分解得：
$(y - 4)(y + 3) = 0$
解得$y_1 = 4$，$y_2 = -3$。
接下来验证两个解是否符合$x$为实数的条件：
1. 当$y = 4$时，$x^2 + 3x = 4$，整理得$x^2 + 3x - 4 = 0$，根的判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，方程有实根，符合条件；
2. 当$y = -3$时，$x^2 + 3x = -3$，整理得$x^2 + 3x + 3 = 0$，根的判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×3 = 9 - 12 = -3 ＜ 0$，方程无实根，不符合条件，舍去。
因此$x^2 + 3x$的值为4。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题核心考查换元法的灵活应用，易错点是求出$y$的两个候选值后，忽略“$x$为实数”的隐含条件，未验证方程是否有实根就直接选择，解题时要注意对结果合理性的检验。
【难度系数】
0.6
观察原方程的结构，发现代数式$x^2+3x$整体重复出现，因此可采用换元法简化方程：设$y=x^2+3x$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程求解。求出$y$的候选值后，结合题目中“$x$为实数”的条件，通过一元二次方程根的判别式验证候选值是否合理，排除无实根的情况即可得到最终结果。
【解析】
设$y = x^2 + 3x$，则原方程可转化为：
$y^2 - y = 12$
移项整理得一元二次方程：
$y^2 - y - 12 = 0$
因式分解得：
$(y - 4)(y + 3) = 0$
解得$y_1 = 4$，$y_2 = -3$。
接下来验证两个解是否符合$x$为实数的条件：
1. 当$y = 4$时，$x^2 + 3x = 4$，整理得$x^2 + 3x - 4 = 0$，根的判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，方程有实根，符合条件；
2. 当$y = -3$时，$x^2 + 3x = -3$，整理得$x^2 + 3x + 3 = 0$，根的判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×3 = 9 - 12 = -3 ＜ 0$，方程无实根，不符合条件，舍去。
因此$x^2 + 3x$的值为4。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题核心考查换元法的灵活应用，易错点是求出$y$的两个候选值后，忽略“$x$为实数”的隐含条件，未验证方程是否有实根就直接选择，解题时要注意对结果合理性的检验。
【难度系数】
0.6
9. 探求多项式 $x^2 + 2x - 4$ 的最小值时，我们可以这样处理:解:原式 $= x^2 + 2x + 1 - 1 - 4 = (x + 1)^2 - 5.\because$ 无论 $x$ 取什么数，$(x + 1)^2$ 的值都为非负数，$\therefore (x + 1)^2$ 的最小值为 $0$，此时 $x = -1.\therefore (x + 1)^2 - 5$ 的最小值是 $0 - 5 = -5$，即当 $x = -1$ 时，原多项式有最小值 $-5$.根据上面的解题思路，多项式 $-3x^2 - 12x + 12$ 的最值情况为
（
A.有最小值 22
B.有最小值 24
C.有最大值 22
D.有最大值 24
（
D
）A.有最小值 22
B.有最小值 24
C.有最大值 22
D.有最大值 24
答案
9. D
解析
【分析】
要确定多项式的最值，可模仿题中给出的配方法思路解题：首先将多项式的二次项和一次项提取公因式，把二次项系数化为正，再对括号内的式子配方，转化为“常数±完全平方式”的形式，最后根据平方的非负性判断最值情况，注意完全平方式前面的系数符号会影响是最大值还是最小值。
【解析】
对多项式$-3x^2 - 12x + 12$进行配方：
第一步，提取二次项和一次项的公因式$-3$，得：
$\begin{aligned}原式&=-3(x^2 + 4x) + 12\\\end{aligned}$
第二步，对括号内的$x^2+4x$配方，加上一次项系数一半的平方$4$，再减去$4$保证值不变：
$\begin{aligned}原式&=-3[(x^2 + 4x + 4) - 4] + 12\\&=-3[(x+2)^2 - 4] + 12\\&=-3(x+2)^2 + 12 + 12\\&=-3(x+2)^2 + 24\end{aligned}$
第三步，根据平方的非负性分析最值：
$\because$ 无论$x$取何值，$(x+2)^2 ≥ 0$，
$\therefore -3(x+2)^2 ≤ 0$，
当$(x+2)^2$取最小值$0$（即$x=-2$）时，$-3(x+2)^2$取得最大值$0$，
此时原式的最大值为$0 + 24 = 24$，即多项式有最大值$24$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；二次式求最值
【点评】
本题是材料阅读类题型，解题核心是读懂材料中的配方法思路，灵活运用到二次项系数为负的多项式中，注意完全平方式前带负号时，原式的最值类型和系数为正时相反，避免混淆符号导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要确定多项式的最值，可模仿题中给出的配方法思路解题：首先将多项式的二次项和一次项提取公因式，把二次项系数化为正，再对括号内的式子配方，转化为“常数±完全平方式”的形式，最后根据平方的非负性判断最值情况，注意完全平方式前面的系数符号会影响是最大值还是最小值。
【解析】
对多项式$-3x^2 - 12x + 12$进行配方：
第一步，提取二次项和一次项的公因式$-3$，得：
$\begin{aligned}原式&=-3(x^2 + 4x) + 12\\\end{aligned}$
第二步，对括号内的$x^2+4x$配方，加上一次项系数一半的平方$4$，再减去$4$保证值不变：
$\begin{aligned}原式&=-3[(x^2 + 4x + 4) - 4] + 12\\&=-3[(x+2)^2 - 4] + 12\\&=-3(x+2)^2 + 12 + 12\\&=-3(x+2)^2 + 24\end{aligned}$
第三步，根据平方的非负性分析最值：
$\because$ 无论$x$取何值，$(x+2)^2 ≥ 0$，
$\therefore -3(x+2)^2 ≤ 0$，
当$(x+2)^2$取最小值$0$（即$x=-2$）时，$-3(x+2)^2$取得最大值$0$，
此时原式的最大值为$0 + 24 = 24$，即多项式有最大值$24$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；二次式求最值
【点评】
本题是材料阅读类题型，解题核心是读懂材料中的配方法思路，灵活运用到二次项系数为负的多项式中，注意完全平方式前带负号时，原式的最值类型和系数为正时相反，避免混淆符号导致判断错误。
【难度系数】
0.7
