15. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是$(0,3)$,点 B 在 x 轴上,将$△ AOB$绕点 A 逆时针旋转$90°$得到$△ AEF$,点 O,B 的对应点分别是点 E,F.
(1) 若点 B 的坐标是$(-4,0)$,请在图中画出$△ AEF$,并写出点 E,F 的坐标.
(2) 当点 F 落在 x 轴的上方时,试写出一个符合条件的点 B 的坐标.

15. (1) 图略 $E(3,3),F(3,-1)$ (2) 答案不唯一,如 $B(-2,0)$

【分析】
(1) 要解决画图和求坐标的问题，首先依据旋转的性质：旋转前后对应边长度相等、旋转角为90°。先找AO旋转后的对应边AE：AO是从A向下长为3的线段，绕A逆时针转90°后变为向右长为3的线段，即可确定E点坐标；再结合AB的平移规律，旋转90°后横纵移动量交换调整符号，就能确定F点坐标，最后顺次连接三点即可画出图形。
(2) 设点B横坐标为t，先推导旋转后F点的纵坐标表达式，结合“F在x轴上方即纵坐标大于0”的要求，求出t的取值范围，在范围内任取一个符合要求的值即可得到B的坐标。
【解析】
(1) ①求E点坐标：已知A(0,3)，O(0,0)，AO长度为3，方向为沿y轴负方向，绕A逆时针旋转90°后，AE方向变为沿x轴正方向，长度仍为3，因此E点横坐标为$0+3=3$，纵坐标与A点相同为3，即$E(3,3)$。
②求F点坐标：已知$B(-4,0)$，从A到B需向左移动4个单位、向下移动3个单位，绕A逆时针旋转90°后，移动规律变为向右移动3个单位、向下移动4个单位，因此F点横坐标为$0+3=3$，纵坐标为$3-4=-1$，即$F(3,-1)$。
③顺次连接A、E、F三点，即可画出$△ AEF$。
(2) 设点B的坐标为$(t,0)$，根据旋转的坐标变化规律，旋转后F点的坐标为$(3,3+t)$。
要使F落在x轴上方，需满足纵坐标大于0，即$3+t＞0$，解得$t＞-3$。
又因为点B在x轴负半轴，因此$-3＜t＜0$，取$t=-2$，即可得符合条件的B点坐标$(-2,0)$（答案不唯一）。
【答案】
(1) 画图略，$E(3,3)$，$F(3,-1)$；(2) 答案不唯一，如$B(-2,0)$
【知识点】
旋转的性质；平面直角坐标系；一元一次不等式应用
【点评】
本题围绕旋转的性质设题，既考查了图形旋转的作图能力，也考查了坐标系下坐标变化的计算能力，第二问为开放类题型，只要符合取值范围即可，解题核心是抓住旋转前后线段长度、夹角不变的特点。
【难度系数】
0.7

16. 如图,将正$a$边形绕点$A$顺时针旋转$60°$后,发现旋转前后两图形有另一交点$O$,连接$AO$,我们称$AO$为“叠弦”;再将“叠弦”$AO$所在的直线绕点$A$逆时针旋转$60°$后,交旋转前的图形于点$P$,连接$PO$,称$∠ OAB$为“叠弦角”,$△ AOP$为“叠弦三角形”.
【探究证明】
(1) 请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”($△ AOP$)是等边三角形.
(2) 如图2,求证:$∠ OAB = ∠ OAE'$.
【归纳猜想】
(3) 图1和图2中的“叠弦角”的大小分别为________,________.
(4) 图$n$中,“叠弦三角形”______(填“是”或“不是”)等边三角形.
(5) 图$n$中,“叠弦角”的大小为________(用含$n$的式子表示).

16. (1) 答案不唯一,如选择图1证明.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,由旋转知:$AD=AD',∠D=∠D'=90°,∠DAD'=∠OAP=60°, \therefore ∠DAP=∠D'AO. \therefore △APD ≌ △AOD'. \therefore AP=AO.$
$\because ∠OAP=60°, \therefore △AOP$ 是等边三角形.
(2) 过点 $A$ 作 $AM ⊥ DE$ 交 $DE$ 的延长线于点 $M$,作 $AN ⊥ CB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $N. \because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形,由旋转知:$AE=AE',∠AED=∠E'=108°,∠EAE'=∠OAP=60°$,
$\therefore ∠EAP=∠E'AO. \therefore △APE ≌ △AOE'(ASA). \therefore AP=AO.$ 在 $\mathrm{Rt}△AEM$ 和 $\mathrm{Rt}△ABN$ 中,
$\because ∠M=∠N=90°,∠AEM=∠ABN=72°,AE=AB, \therefore \mathrm{Rt}△AEM ≌ \mathrm{Rt}△ABN(AAS).$
$\therefore ∠EAM=∠BAN,AM=AN.$ 在 $\mathrm{Rt}△APM$ 和 $\mathrm{Rt}△AON$ 中, $\because AP=AO,AM=AN,$
$\therefore \mathrm{Rt}△APM ≌ \mathrm{Rt}△AON(HL). \therefore ∠PAM=∠OAN. \therefore ∠PAE=∠OAB. \therefore ∠OAE'=∠OAB.$
(3) $15°$ $24°$ (4) 是 (5) $60°-\dfrac{180°}{n+3}$

【分析】
（1）要证△AOP是等边三角形，已知∠OAP=60°，只需证明AP=AO即可。结合旋转的性质找对应边、对应角相等，证明三角形全等即可得到边相等的结论。
（2）要证∠OAB=∠OAE'，先通过旋转性质证△APE≌△AOE'得到AP=AO，再作两条辅助高，利用正五边形的内角性质证明两组直角三角形全等，逐步推导角的等量关系即可。
（3）图1为正四边形（正方形）、图2为正五边形，结合各自内角的度数和旋转60°的条件，通过角的和差计算即可得到叠弦角的度数。
（4）类比（1）的证明思路，无论正几边形，都可通过旋转性质证得AP=AO，结合∠OAP=60°，即可判断△AOP的形状。
（5）根据正多边形内角公式，结合前面特殊图形的计算规律，归纳得出含n的通用表达式即可。
【解析】
(1) 选择图1证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，由旋转的性质可得：$AD=AD'$，$∠D=∠D'=90°$，$∠DAD'=∠OAP=60°$，
∴ $∠DAD' - ∠PAD' = ∠OAP - ∠PAD'$，即$∠DAP=∠D'AO$，
∴ $△APD ≌ △AOD'(ASA)$，
∴ $AP=AO$，
又
∵ $∠OAP=60°$，
∴ $△AOP$是等边三角形。
(2) 证明：过点$A$作$AM ⊥ DE$交$DE$的延长线于点$M$，作$AN ⊥ CB$交$CB$的延长线于点$N$。
∵ 五边形ABCDE是正五边形，由旋转的性质可得：$AE=AE'$，$∠AED=∠E'=108°$，$∠EAE'=∠OAP=60°$，
∴ $∠EAE' - ∠PAE' = ∠OAP - ∠PAE'$，即$∠EAP=∠E'AO$，
∴ $△APE ≌ △AOE'(ASA)$，
∴ $AP=AO$。
在$\mathrm{Rt}△AEM$和$\mathrm{Rt}△ABN$中，
∵ $∠M=∠N=90°$，$∠AEM=∠ABN=180°-108°=72°$，$AE=AB$，
∴ $\mathrm{Rt}△AEM ≌ \mathrm{Rt}△ABN(AAS)$，
∴ $∠EAM=∠BAN$，$AM=AN$。
在$\mathrm{Rt}△APM$和$\mathrm{Rt}△AON$中，
∵ $AP=AO$，$AM=AN$，
∴ $\mathrm{Rt}△APM ≌ \mathrm{Rt}△AON(HL)$，
∴ $∠PAM=∠OAN$，
∴ $∠PAM - ∠EAM = ∠OAN - ∠BAN$，即$∠PAE=∠OAB$，
又
∵ $∠PAE=∠OAE'$，
∴ $∠OAB = ∠OAE'$。
(3) 图1为正方形，内角为$90°$，可得叠弦角$∠OAB=(90°-60°)÷2=15°$；
图2为正五边形，内角为$108°$，可得叠弦角$∠OAB=(108°-60°)÷2=24°$。
(4) 对任意正多边形，旋转后均可证得$AP=AO$，且$∠OAP=60°$，故$△AOP$是等边三角形。
(5) 图$n$对应正$(n+3)$边形，其内角为$\frac{(n+1)×180°}{n+3}$，则叠弦角为$( \frac{(n+1)×180°}{n+3} -60° )÷2 = 60°-\frac{180°}{n+3}$。
【答案】
(1) 选择图1证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,由旋转知:$AD=AD',∠D=∠D'=90°,∠DAD'=∠OAP=60°, \therefore ∠DAP=∠D'AO. \therefore △APD ≌ △AOD'. \therefore AP=AO.$$\because ∠OAP=60°, \therefore △AOP$ 是等边三角形（答案不唯一）
(2) 过点 $A$ 作 $AM ⊥ DE$ 交 $DE$ 的延长线于点 $M$,作 $AN ⊥ CB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $N. \because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形,由旋转知:$AE=AE',∠AED=∠E'=108°,∠EAE'=∠OAP=60°$,$\therefore ∠EAP=∠E'AO. \therefore △APE ≌ △AOE'(ASA). \therefore AP=AO.$ 在 $\mathrm{Rt}△AEM$ 和 $\mathrm{Rt}△ABN$ 中,$\because ∠M=∠N=90°,∠AEM=∠ABN=72°,AE=AB, \therefore \mathrm{Rt}△AEM ≌ \mathrm{Rt}△ABN(AAS).$$\therefore ∠EAM=∠BAN,AM=AN.$ 在 $\mathrm{Rt}△APM$ 和 $\mathrm{Rt}△AON$ 中, $\because AP=AO,AM=AN,$$\therefore \mathrm{Rt}△APM ≌ \mathrm{Rt}△AON(HL). \therefore ∠PAM=∠OAN. \therefore ∠PAE=∠OAB. \therefore ∠OAE'=∠OAB.$
(3) $15°$，$24°$
(4) 是
(5) $60°-\dfrac{180°}{n+3}$
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.等边三角形的判定
【点评】
本题为新定义类探究题，融合了正多边形、旋转、全等三角形、等边三角形等核心知识，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是抓住旋转前后图形的对应关系，通过全等三角形建立边和角的等量关系。
【难度系数】
0.6