10. [2025·安徽中考]某兴趣小组要测量一实心圆柱体(不吸水且不溶于水)的密度,进行了如下操作:用一根不可伸长的细线将圆柱体竖直悬挂在铁架台上并保持静止,将一盛有水的柱形容器放在水平升降台上,容器和升降台整体安放在圆柱体的正下方,使容器内的水面与圆柱体下表面恰好不接触,测得容器内水的深度$h_1=10\ \mathrm{cm}$,如图所示;缓慢调节升降台使细线恰好伸直且无拉力,测得容器上升的高度$h_2=8\ \mathrm{cm}$,整个过程没有水溢出,圆柱体始终处于竖直状态。已知圆柱体的高$H=20\ \mathrm{cm}$,圆柱体与容器的底面积之比$S_1:S_2=1:3$,$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$,不计容器壁的厚度。求:
(1)调节升降台前水对容器底部的压强$p$;
(2)调节升降台后圆柱体浸入水中的深度$h$;
(3)圆柱体的密度$\rho$。

10. 解:(1)调节升降台前水对容器底部的压强 $p=\rho_{\mathrm{水}} g h_1=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$
(2)缓慢调节升降台后细线恰好伸直且无拉力,故圆柱体的位置始终不变
由水的体积不变可得 $S_2 h_2=(S_2-S_1)h$
所以圆柱体浸入水中的深度 $h=12\ \mathrm{cm}$
(3)圆柱体处于漂浮状态,所以 $F_{\mathrm{浮}}=G$
由阿基米德原理得 $F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}} g S_1 h$
因为 $G=mg$,$V=S_1 H$
所以圆柱体的密度 $\rho=\frac{m}{V}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$

【分析】
本题是力学综合题，分三小问逐步求解：(1) 利用液体压强公式直接计算调节前水对容器底的压强；(2) 调节升降台后，根据水的体积不变，结合容器与圆柱体的底面积关系，推导圆柱体浸入水中的深度；(3) 利用圆柱体漂浮时浮力等于重力，结合阿基米德原理和密度公式，联立求解圆柱体的密度。
【解析】
(1) 调节升降台前，水的深度 $ h_1=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m} $，根据液体压强公式：
$ p=\rho_{\mathrm{水}}gh_1=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa} $。
(2) 调节升降台后，细线恰好伸直且无拉力，圆柱体位置不变，水的体积不变。已知 $ S_1:S_2=1:3 $，即 $ S_2=3S_1 $，升降台上升 $ h_2=8\ \mathrm{cm} $，由水的体积变化关系：$ S_2 h_2=(S_2 - S_1)h $，代入 $ S_2=3S_1 $：
$ 3S_1×8\ \mathrm{cm}=(3S_1 - S_1)h $，约去 $ S_1 $，解得 $ h=12\ \mathrm{cm} $。
(3) 细线伸直无拉力时，圆柱体漂浮，浮力等于重力，即 $ F_{\mathrm{浮}}=G $。根据阿基米德原理 $ F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gS_1h $，圆柱体重力 $ G=\rho S_1 H g $，联立得：
$ \rho_{\mathrm{水}}gS_1h=\rho S_1 H g $，约去 $ gS_1 $，代入 $ H=20\ \mathrm{cm} $：
$ \rho=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×\frac{12\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{cm}}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $。
【答案】
(1) $ 1.0×10^3\ \mathrm{Pa} $；(2) $ 12\ \mathrm{cm} $；(3) $ 0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $
【知识点】
液体压强计算、阿基米德原理、密度计算
【点评】
本题结合浮力、体积变化和密度知识，需理解调节过程中水的体积不变的核心关系，利用漂浮条件建立等式，考查学生的综合分析与公式应用能力，是典型的力学综合题。
【难度系数】
0.5