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21.有大、小两个转盘,其中黑色区域都是圆心角为$90°$的扇形,为了探究指针落在黑色区域的百分比,甲、乙两人分别转动两个转盘,记录如下表(A:指针落在大转盘的黑色区域的频数;B:指针落在大转盘的黑色区域的百分比;C:指针落在小转盘的黑色区域的频数;D:指针落在小转盘的黑色区域的百分比):
| 次数 | 25 | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 8 | 15 | 21 | 26 | 32 | 36 | 44 | 51 | 57 |
| B | | | |
| | | | | |
| C | 8 | 13 | 21 | 26 | 32 | 37 | 43 | 49 | 55 |
| D | | | | | | | | | |
(1)将表格填写完整.
(2)分别绘出指针落在大、小转盘中黑色区域的百分比分布折线图.
(3)从折线统计图中的变化趋势,你能总结出什么规律?
| 次数 | 25 | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 8 | 15 | 21 | 26 | 32 | 36 | 44 | 51 | 57 |
| B | | | |
| | | | | || C | 8 | 13 | 21 | 26 | 32 | 37 | 43 | 49 | 55 |
| D | | | | | | | | | |
(1)将表格填写完整.
(2)分别绘出指针落在大、小转盘中黑色区域的百分比分布折线图.
(3)从折线统计图中的变化趋势,你能总结出什么规律?
答案
21.解:(1)32% 30% 28% 26% 25.6% 24% 25.1% 25.5% 25.3%
32% 26% 28% 26% 25.6% 24.7%
24.6% 24.5% 24.4%
(2)折线统计图如下：
(3)随着次数的增多,指针落在大、小转盘的黑色区域的百分比都逐渐稳定在25%左右.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 第一问求指针落在黑色区域的百分比，本质是计算对应频数的频率，公式为：频率=频数÷总试验次数×100%，代入表格中对应频数和次数逐一计算即可。2. 第二问绘制折线统计图，以横轴为试验次数、纵轴为百分比，分别将大、小转盘对应次数的百分比描点，再用实线连接大转盘的点、虚线连接小转盘的点即可（题目已给出完成的折线图）。3. 第三问分析折线趋势，先观察折线的波动变化：试验次数少时波动大，次数增多后波动变小，逐渐稳定，再结合转盘黑色区域的理论占比（90°÷360°=25%）总结规律。
【解析】
(1) 计算大转盘黑色区域百分比（B行）：
25次：$\frac{8}{25}×100\%=32\%$；50次：$\frac{15}{50}×100\%=30\%$；75次：$\frac{21}{75}×100\%=28\%$；
100次：$\frac{26}{100}×100\%=26\%$；125次：$\frac{32}{125}×100\%=25.6\%$；150次：$\frac{36}{150}×100\%=24\%$；
175次：$\frac{44}{175}×100\%\approx25.1\%$；200次：$\frac{51}{200}×100\%=25.5\%$；225次：$\frac{57}{225}×100\%=25.3\%$。
计算小转盘黑色区域百分比（D行）：
25次：$\frac{8}{25}×100\%=32\%$；50次：$\frac{13}{50}×100\%=26\%$；75次：$\frac{21}{75}×100\%=28\%$；
100次：$\frac{26}{100}×100\%=26\%$；125次：$\frac{32}{125}×100\%=25.6\%$；150次：$\frac{37}{150}×100\%\approx24.7\%$；
175次：$\frac{43}{175}×100\%\approx24.6\%$；200次：$\frac{49}{200}×100\%=24.5\%$；225次：$\frac{55}{225}×100\%\approx24.4\%$。
(2) 按照计算出的百分比描点连线，得到折线统计图如下：
(3) 观察折线变化：试验次数较少时，百分比波动较大，随着转动次数的不断增多，指针落在大、小转盘黑色区域的百分比波动越来越小，逐渐稳定在25%附近，和转盘黑色区域的理论占比（$\frac{90°}{360°}=25\%$）一致。
【答案】
(1) 大转盘百分比依次为：32%、30%、28%、26%、25.6%、24%、25.1%、25.5%、25.3%；
小转盘百分比依次为：32%、26%、28%、26%、25.6%、24.7%、24.6%、24.5%、24.4%；
(2) 折线统计图如下：
(3) 随着次数的增多,指针落在大、小转盘的黑色区域的百分比都逐渐稳定在25%左右。
【知识点】
频率的计算；频率与概率的关系；折线统计图的应用
【点评】
本题结合实际试验场景，考察数据处理能力和统计规律的总结能力，需要掌握频率的基本计算方法，理解大量重复试验下频率趋近于理论概率的规律，贴近生活，难度较低，侧重对基础统计概念的应用考察。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 第一问求指针落在黑色区域的百分比，本质是计算对应频数的频率，公式为：频率=频数÷总试验次数×100%，代入表格中对应频数和次数逐一计算即可。2. 第二问绘制折线统计图，以横轴为试验次数、纵轴为百分比，分别将大、小转盘对应次数的百分比描点，再用实线连接大转盘的点、虚线连接小转盘的点即可（题目已给出完成的折线图）。3. 第三问分析折线趋势，先观察折线的波动变化：试验次数少时波动大，次数增多后波动变小，逐渐稳定，再结合转盘黑色区域的理论占比（90°÷360°=25%）总结规律。
【解析】
(1) 计算大转盘黑色区域百分比（B行）：
25次：$\frac{8}{25}×100\%=32\%$；50次：$\frac{15}{50}×100\%=30\%$；75次：$\frac{21}{75}×100\%=28\%$；
100次：$\frac{26}{100}×100\%=26\%$；125次：$\frac{32}{125}×100\%=25.6\%$；150次：$\frac{36}{150}×100\%=24\%$；
175次：$\frac{44}{175}×100\%\approx25.1\%$；200次：$\frac{51}{200}×100\%=25.5\%$；225次：$\frac{57}{225}×100\%=25.3\%$。
计算小转盘黑色区域百分比（D行）：
25次：$\frac{8}{25}×100\%=32\%$；50次：$\frac{13}{50}×100\%=26\%$；75次：$\frac{21}{75}×100\%=28\%$；
100次：$\frac{26}{100}×100\%=26\%$；125次：$\frac{32}{125}×100\%=25.6\%$；150次：$\frac{37}{150}×100\%\approx24.7\%$；
175次：$\frac{43}{175}×100\%\approx24.6\%$；200次：$\frac{49}{200}×100\%=24.5\%$；225次：$\frac{55}{225}×100\%\approx24.4\%$。
(2) 按照计算出的百分比描点连线，得到折线统计图如下：
(3) 观察折线变化：试验次数较少时，百分比波动较大，随着转动次数的不断增多，指针落在大、小转盘黑色区域的百分比波动越来越小，逐渐稳定在25%附近，和转盘黑色区域的理论占比（$\frac{90°}{360°}=25\%$）一致。
【答案】
(1) 大转盘百分比依次为：32%、30%、28%、26%、25.6%、24%、25.1%、25.5%、25.3%；
小转盘百分比依次为：32%、26%、28%、26%、25.6%、24.7%、24.6%、24.5%、24.4%；
(2) 折线统计图如下：
(3) 随着次数的增多,指针落在大、小转盘的黑色区域的百分比都逐渐稳定在25%左右。
【知识点】
频率的计算；频率与概率的关系；折线统计图的应用
【点评】
本题结合实际试验场景，考察数据处理能力和统计规律的总结能力，需要掌握频率的基本计算方法，理解大量重复试验下频率趋近于理论概率的规律，贴近生活，难度较低，侧重对基础统计概念的应用考察。
【难度系数】
0.7
