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五、小优喝了一杯纯牛奶的$\frac{1}{6}$后，加满水，又喝了一杯的$\frac{1}{3}$，再加满水，又喝了$\frac{1}{2}$杯后，继续加满水，最后把一杯喝完了，小优一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
答案
1杯纯牛奶,1杯水。
解析
【分析】
解题时先抓不变量：整个过程中没有额外添加纯牛奶，最开始的纯牛奶总量是1杯，最后全部喝完，所以喝的纯牛奶总量就是初始的1杯，不用逐次计算每次喝的牛奶量。再计算喝水的量：每次喝掉部分液体后加的都是水，所以总共加的水的总量就是喝的水的总量，把三次加的水量相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算纯牛奶的量：
初始有1杯纯牛奶，饮用全程没有添加纯牛奶，最后全部喝完，因此喝的纯牛奶总量为1杯。
2. 计算水的量：
第一次喝了$\frac{1}{6}$杯液体后加满水，加水量为$\frac{1}{6}$杯；
第二次喝了$\frac{1}{3}$杯液体后加满水，加水量为$\frac{1}{3}$杯；
第三次喝了$\frac{1}{2}$杯液体后加满水，加水量为$\frac{1}{2}$杯；
总加水量为：$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=1$（杯），最后全部喝完，所以喝的水量就是1杯。
【答案】
1杯纯牛奶，1杯水。
【知识点】
分数加减计算、不变量分析、实际问题解决
【点评】
这道题不要陷入逐次计算每次喝的牛奶和水占比的误区，只要抓住纯牛奶总量不变、喝的水量等于总加水量这两个关键点，就能快速得出答案，大大简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先抓不变量：整个过程中没有额外添加纯牛奶，最开始的纯牛奶总量是1杯，最后全部喝完，所以喝的纯牛奶总量就是初始的1杯，不用逐次计算每次喝的牛奶量。再计算喝水的量：每次喝掉部分液体后加的都是水，所以总共加的水的总量就是喝的水的总量，把三次加的水量相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算纯牛奶的量：
初始有1杯纯牛奶，饮用全程没有添加纯牛奶，最后全部喝完，因此喝的纯牛奶总量为1杯。
2. 计算水的量：
第一次喝了$\frac{1}{6}$杯液体后加满水，加水量为$\frac{1}{6}$杯；
第二次喝了$\frac{1}{3}$杯液体后加满水，加水量为$\frac{1}{3}$杯；
第三次喝了$\frac{1}{2}$杯液体后加满水，加水量为$\frac{1}{2}$杯；
总加水量为：$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=1$（杯），最后全部喝完，所以喝的水量就是1杯。
【答案】
1杯纯牛奶，1杯水。
【知识点】
分数加减计算、不变量分析、实际问题解决
【点评】
这道题不要陷入逐次计算每次喝的牛奶和水占比的误区，只要抓住纯牛奶总量不变、喝的水量等于总加水量这两个关键点，就能快速得出答案，大大简化计算过程。
【难度系数】
0.7
六、实验小学组织的外出实践活动提前了。教务室的王老师要尽快通知到每一位学生，通知必须一对一进行传达，每分钟通知1人，每人接到通知后立即通知其他不知道这一消息的学生，用这种方式，6分钟最多可以通知多少人？
答案
63人
解析
【分析】
这是典型的最优通知问题，我们可以逐分钟梳理通知的人数变化规律：最开始只有王老师1人知道消息，每分钟里所有已经知道消息的人都能各通知1个未知消息的人，因此每过1分钟，知道消息的总人数是前一分钟的2倍，最后计算通知的学生总数时，要去掉王老师本人，我们可以从第1分钟开始逐步推导到第6分钟的结果即可。
【解析】
我们按分钟逐步计算：
第1分钟结束：知道消息的总人数（含王老师）是2人，通知到的学生人数：2-1=1人
第2分钟结束：知道消息的总人数是2×2=4人，通知到的学生人数：4-1=3人
第3分钟结束：知道消息的总人数是4×2=8人，通知到的学生人数：8-1=7人
第4分钟结束：知道消息的总人数是8×2=16人，通知到的学生人数：16-1=15人
第5分钟结束：知道消息的总人数是16×2=32人，通知到的学生人数：32-1=31人
第6分钟结束：知道消息的总人数是32×2=64人，通知到的学生人数：64-1=63人
【答案】
63人
【知识点】
找规律、最优通知策略、倍数问题
【点评】
本题的核心是理解最优通知的规则，即已经接到通知的学生也会参与到后续的通知中，不要误以为只有老师一人通知，只要理清人数的倍增规律，逐步推导就能得到正确结果。
【难度系数】
0.6
这是典型的最优通知问题，我们可以逐分钟梳理通知的人数变化规律：最开始只有王老师1人知道消息，每分钟里所有已经知道消息的人都能各通知1个未知消息的人，因此每过1分钟，知道消息的总人数是前一分钟的2倍，最后计算通知的学生总数时，要去掉王老师本人，我们可以从第1分钟开始逐步推导到第6分钟的结果即可。
【解析】
我们按分钟逐步计算：
第1分钟结束：知道消息的总人数（含王老师）是2人，通知到的学生人数：2-1=1人
第2分钟结束：知道消息的总人数是2×2=4人，通知到的学生人数：4-1=3人
第3分钟结束：知道消息的总人数是4×2=8人，通知到的学生人数：8-1=7人
第4分钟结束：知道消息的总人数是8×2=16人，通知到的学生人数：16-1=15人
第5分钟结束：知道消息的总人数是16×2=32人，通知到的学生人数：32-1=31人
第6分钟结束：知道消息的总人数是32×2=64人，通知到的学生人数：64-1=63人
【答案】
63人
【知识点】
找规律、最优通知策略、倍数问题
【点评】
本题的核心是理解最优通知的规则，即已经接到通知的学生也会参与到后续的通知中，不要误以为只有老师一人通知，只要理清人数的倍增规律，逐步推导就能得到正确结果。
【难度系数】
0.6
暑假的一天,骄阳似火,天气好热!小培和小优热得满头大汗,于是两人分别买了一瓶同样的冰镇芒果汁,一瓶芒果汁原来有多少升?
答案
$\frac{5}{3}$ L
解析
【分析】
我们先梳理题目中的数量关系：喝掉原来芒果汁的一半后，往瓶中倒入$\frac{3}{4}$L芒果汁，此时瓶中果汁比原来少$\frac{1}{12}$L。由此可知，喝掉的一半果汁量，等于倒入的$\frac{3}{4}$L加上比原来少的$\frac{1}{12}$L（如果倒入的量和喝掉的一半相等，果汁总量就和原来一样，现在还少$\frac{1}{12}$L，所以喝掉的一半就是两个数的和）。先算出一半果汁的量，再乘2就能得到原来一瓶芒果汁的总量。
【解析】
1. 计算一半芒果汁的容量：
$\frac{3}{4} + \frac{1}{12}$
$=\frac{9}{12} + \frac{1}{12}$
$=\frac{10}{12}$
$=\frac{5}{6}$（L）
2. 计算整瓶芒果汁原来的容量：
$\frac{5}{6} × 2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$（L）
【答案】
$\frac{5}{3}$ L
【知识点】
分数加减混合运算、分数应用题、分数乘整数计算
【点评】
解题核心是理清数量逻辑，明确喝掉的半瓶果汁量、倒入的果汁量、最终比原来少的果汁量三者的关系，不要混淆加减运算，理清逻辑后就能快速求解。
【难度系数】
0.6
我们先梳理题目中的数量关系：喝掉原来芒果汁的一半后，往瓶中倒入$\frac{3}{4}$L芒果汁，此时瓶中果汁比原来少$\frac{1}{12}$L。由此可知，喝掉的一半果汁量，等于倒入的$\frac{3}{4}$L加上比原来少的$\frac{1}{12}$L（如果倒入的量和喝掉的一半相等，果汁总量就和原来一样，现在还少$\frac{1}{12}$L，所以喝掉的一半就是两个数的和）。先算出一半果汁的量，再乘2就能得到原来一瓶芒果汁的总量。
【解析】
1. 计算一半芒果汁的容量：
$\frac{3}{4} + \frac{1}{12}$
$=\frac{9}{12} + \frac{1}{12}$
$=\frac{10}{12}$
$=\frac{5}{6}$（L）
2. 计算整瓶芒果汁原来的容量：
$\frac{5}{6} × 2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$（L）
【答案】
$\frac{5}{3}$ L
【知识点】
分数加减混合运算、分数应用题、分数乘整数计算
【点评】
解题核心是理清数量逻辑，明确喝掉的半瓶果汁量、倒入的果汁量、最终比原来少的果汁量三者的关系，不要混淆加减运算，理清逻辑后就能快速求解。
【难度系数】
0.6
