登录
15. 公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图方式铺设.
(1)每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加
(2)若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为
(3)为了增加道路的趣味性，计划将所有正方形地砖换成创意地砖，已知每块正方形地砖的边长为80 cm，若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，求创意地砖的总面积为多少？若a=25，且每平方米创意地砖的价格为120元，则需要多少元？
(1)每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加
5
块，正三角形地砖会增加 4
块；(2)若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为
5a+1
块，正三角形地砖的数量为 4a+2
块；(用含a的代数式表示)(3)为了增加道路的趣味性，计划将所有正方形地砖换成创意地砖，已知每块正方形地砖的边长为80 cm，若铺设这条小路用去a块正六边形地砖，求创意地砖的总面积为多少？若a=25，且每平方米创意地砖的价格为120元，则需要多少元？
答案
(1)5 4
(2)$(5a+1)$ $(4a+2)$
(3)创意地砖的总面积为$(3.2a+0.64)\mathrm{m}^2$；若$a=25$，且每平方米创意地砖的价格为120元，则需要9676.8元.
(2)$(5a+1)$ $(4a+2)$
(3)创意地砖的总面积为$(3.2a+0.64)\mathrm{m}^2$；若$a=25$，且每平方米创意地砖的价格为120元，则需要9676.8元.
解析
【分析】
解答这道题我们按照从特殊到一般的思路逐步推导：
1. 解决第(1)问：先分别数出1块、2块正六边形对应的正方形、正三角形数量，计算差值即可得到每增加1块正六边形时两种地砖的增加量。
2. 解决第(2)问：根据第(1)问得到的增量规律，结合1块正六边形对应的地砖数量，推导a块正六边形时两种地砖的数量表达式。
3. 解决第(3)问：先换算单位计算单块正方形创意地砖的面积，再乘第(2)问得到的正方形数量得到总面积，最后代入a=25计算总面积，再乘单价得到总费用，注意单位要统一。
【解析】
(1) 当有1块正六边形地砖时，正方形地砖有6块，正三角形地砖有6块；当有2块正六边形地砖时，正方形地砖有11块，正三角形地砖有10块。
因此每增加1块正六边形地砖，正方形地砖增加$11-6=5$块，正三角形地砖增加$10-6=4$块。
(2) 由(1)的规律可知：
a块正六边形时，正方形地砖数量为初始6块加上后续每增加1块多的5块，即$6+5(a-1)=5a+1$块；
正三角形地砖数量为初始6块加上后续每增加1块多的4块，即$6+4(a-1)=4a+2$块。
(3) 先换算单位：$80\mathrm{cm}=0.8\mathrm{m}$，
单块正方形创意地砖的面积为：$0.8×0.8=0.64(\mathrm{m}^2)$
正方形地砖共有$(5a+1)$块，因此总面积为：$0.64×(5a+1)=(3.2a+0.64)\mathrm{m}^2$
当$a=25$时，总面积$=3.2×25 + 0.64=80.64(\mathrm{m}^2)$
总费用为：$80.64×120=9676.8$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{(5a+1)}$；$\boldsymbol{(4a+2)}$
(3) 创意地砖的总面积为$\boldsymbol{(3.2a+0.64)\mathrm{m}^2}$；需要$\boldsymbol{9676.8}$元。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的地砖铺设场景考查规律探究能力，解题核心是从特殊情况出发找到数量变化的规律，再推导一般表达式，计算时要注意单位统一，避免因单位换算出错。
【难度系数】
0.7
解答这道题我们按照从特殊到一般的思路逐步推导：
1. 解决第(1)问：先分别数出1块、2块正六边形对应的正方形、正三角形数量，计算差值即可得到每增加1块正六边形时两种地砖的增加量。
2. 解决第(2)问：根据第(1)问得到的增量规律，结合1块正六边形对应的地砖数量，推导a块正六边形时两种地砖的数量表达式。
3. 解决第(3)问：先换算单位计算单块正方形创意地砖的面积，再乘第(2)问得到的正方形数量得到总面积，最后代入a=25计算总面积，再乘单价得到总费用，注意单位要统一。
【解析】
(1) 当有1块正六边形地砖时，正方形地砖有6块，正三角形地砖有6块；当有2块正六边形地砖时，正方形地砖有11块，正三角形地砖有10块。
因此每增加1块正六边形地砖，正方形地砖增加$11-6=5$块，正三角形地砖增加$10-6=4$块。
(2) 由(1)的规律可知：
a块正六边形时，正方形地砖数量为初始6块加上后续每增加1块多的5块，即$6+5(a-1)=5a+1$块；
正三角形地砖数量为初始6块加上后续每增加1块多的4块，即$6+4(a-1)=4a+2$块。
(3) 先换算单位：$80\mathrm{cm}=0.8\mathrm{m}$，
单块正方形创意地砖的面积为：$0.8×0.8=0.64(\mathrm{m}^2)$
正方形地砖共有$(5a+1)$块，因此总面积为：$0.64×(5a+1)=(3.2a+0.64)\mathrm{m}^2$
当$a=25$时，总面积$=3.2×25 + 0.64=80.64(\mathrm{m}^2)$
总费用为：$80.64×120=9676.8$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{(5a+1)}$；$\boldsymbol{(4a+2)}$
(3) 创意地砖的总面积为$\boldsymbol{(3.2a+0.64)\mathrm{m}^2}$；需要$\boldsymbol{9676.8}$元。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的地砖铺设场景考查规律探究能力，解题核心是从特殊情况出发找到数量变化的规律，再推导一般表达式，计算时要注意单位统一，避免因单位换算出错。
【难度系数】
0.7
16. 阅读下列材料，并完成相应任务.
平面镶嵌是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片. 一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖.
任务一：探究同一种正多边形的镶嵌.
如图①，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行镶嵌，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角.
问题①：镶嵌的条件为：当公共顶点处所有角的和为
问题②：你认为正五边形可以进行镶嵌吗？并说明理由.
任务二：探究同一种一般多边形的镶嵌
同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图②.
问题③：观察图②，可以发现任意
经过研究，发现三对对边平行的六边形可以单独镶嵌，人们借助六边形的镶嵌，发现虽然正五边形不能进行镶嵌，但有些特殊五边形可以进行镶嵌，从此展开了对一般五边形的镶嵌探究.
目前可以镶嵌的凸五边形共有15种，如图③为其中一种五边形的镶嵌图.
问题④：图④为图③中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数为
问题⑤：继续研究发现，多种不同的正多边形也可以进行镶嵌
现有如下若干种正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等.
若从中选用两种不同的正多边形进行镶嵌，写出三种组合是
问题⑥：已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（镶嵌），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的$\frac{3}{2}$.
（1）试分别确定A，B是什么正多边形；
（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌的图形.
平面镶嵌是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片. 一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖.
任务一：探究同一种正多边形的镶嵌.
如图①，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行镶嵌，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角.
问题①：镶嵌的条件为：当公共顶点处所有角的和为
360
°，并使相等的边重合时，该图形就可以进行镶嵌.问题②：你认为正五边形可以进行镶嵌吗？并说明理由.
任务二：探究同一种一般多边形的镶嵌
同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图②.
问题③：观察图②，可以发现任意
三角形
和任意四边形
都可以单独镶嵌.经过研究，发现三对对边平行的六边形可以单独镶嵌，人们借助六边形的镶嵌，发现虽然正五边形不能进行镶嵌，但有些特殊五边形可以进行镶嵌，从此展开了对一般五边形的镶嵌探究.
目前可以镶嵌的凸五边形共有15种，如图③为其中一种五边形的镶嵌图.
问题④：图④为图③中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数为
120°
.问题⑤：继续研究发现，多种不同的正多边形也可以进行镶嵌
现有如下若干种正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等.
若从中选用两种不同的正多边形进行镶嵌，写出三种组合是
①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥(写三个即可)
；若选用三种不同的正多边形可以进行镶嵌，写出所有的组合是①②④，②④⑦，①②⑦
.（填数字序号即可）问题⑥：已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（镶嵌），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的$\frac{3}{2}$.
（1）试分别确定A，B是什么正多边形；
（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌的图形.
答案
任务一：360
问题②：正五边形不可以进行镶嵌，理由略；
任务二：三角形 四边形
问题④：$120°$
问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥(写三个即可)；①②④，②④⑦，①②⑦；
问题⑥：(1)A为正四边形，B为正三边形；
(2)答案不唯一，所画图形如下：
解析
【分析】
1. 任务一问题①：平面镶嵌要求拼接后公共顶点处无空隙、不重叠，因此该位置所有角的和需等于周角，即可得到对应数值。
2. 问题②：先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数，再判断该角度的整数倍能否等于360°，即可判断是否能单独镶嵌。
3. 任务二问题③：观察图②的拼接结果，可直接得出能单独镶嵌的一般多边形种类。
4. 问题④：先根据五边形内角和公式计算五边形内角总和，减去已知的两个直角，再除以3即可得到∠A的度数。
5. 问题⑤：先计算所有正多边形的内角度数，再根据镶嵌条件（公共顶点处内角和为360°），分别寻找两种、三种正多边形内角的正整数倍和为360°的组合即可。
6. 问题⑥(1)：设B的内角为未知数，根据A、B内角的数量关系和镶嵌的内角和要求列方程求解，再根据内角反推正多边形的种类；(2)按照所得的正多边形种类，画出公共顶点处2个正方形和3个正三角形拼接的图形即可。
【解析】
任务一
问题①：平面镶嵌时公共顶点处不留空隙、不重叠，因此所有角的和为周角$\boxed{360°}$。
问题②：正五边形不可以进行镶嵌。理由：正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°$的结果不是整数，不存在正整数$k$使得$k×108°=360°$，因此正五边形无法单独镶嵌。
任务二
问题③：观察图②的拼接示例，可知任意三角形和任意四边形都可以单独镶嵌。
问题④：五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，已知$∠ C=∠ E=90°$，$∠ A=∠ B=∠ D$，因此$∠ A=\frac{540°-90°×2}{3}=120°$。
问题⑤：各正多边形内角度数：①正三角形$60°$、②正方形$90°$、③正五边形$108°$、④正六边形$120°$、⑤正八边形$135°$、⑥正十边形$144°$、⑦正十二边形$150°$。
两种正多边形镶嵌需满足两种内角的正整数倍和为$360°$，比如$3×60°+2×90°=360°$（①②组合）、$2×60°+2×120°=360°$（①④组合）、$90°+2×135°=360°$（②⑤组合）；三种正多边形镶嵌同理，可得出所有符合要求的组合。
问题⑥(1)设正多边形B的一个内角为$x$，则A的一个内角为$\frac{3}{2}x$，根据镶嵌条件列方程：
$2×\frac{3}{2}x+3x=360°$
化简得$6x=360°$，解得$x=60°$，因此B是内角为$60°$的正三角形，A是内角为$90°$的正四边形。
(2)拼接图形如下：
【答案】
任务一：360
问题②：正五边形不可以进行镶嵌，理由略；
任务二：三角形 四边形
问题④：$120°$
问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥(写三个即可)；①②④，②④⑦，①②⑦；
问题⑥：(1)A为正四边形，B为正三边形；
(2)答案不唯一，所画图形如下：
【知识点】
平面镶嵌条件，多边形内角和，正多边形性质
【点评】
本题围绕平面镶嵌知识点层层递进设置问题，既考查了多边形内角和公式的基础运用，也考查了对镶嵌条件的理解和逻辑推理能力，题目结合探究情境，贴近生活实际，能有效锻炼学生的知识应用和组合分析能力。
【难度系数】
0.65
1. 任务一问题①：平面镶嵌要求拼接后公共顶点处无空隙、不重叠，因此该位置所有角的和需等于周角，即可得到对应数值。
2. 问题②：先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数，再判断该角度的整数倍能否等于360°，即可判断是否能单独镶嵌。
3. 任务二问题③：观察图②的拼接结果，可直接得出能单独镶嵌的一般多边形种类。
4. 问题④：先根据五边形内角和公式计算五边形内角总和，减去已知的两个直角，再除以3即可得到∠A的度数。
5. 问题⑤：先计算所有正多边形的内角度数，再根据镶嵌条件（公共顶点处内角和为360°），分别寻找两种、三种正多边形内角的正整数倍和为360°的组合即可。
6. 问题⑥(1)：设B的内角为未知数，根据A、B内角的数量关系和镶嵌的内角和要求列方程求解，再根据内角反推正多边形的种类；(2)按照所得的正多边形种类，画出公共顶点处2个正方形和3个正三角形拼接的图形即可。
【解析】
任务一
问题①：平面镶嵌时公共顶点处不留空隙、不重叠，因此所有角的和为周角$\boxed{360°}$。
问题②：正五边形不可以进行镶嵌。理由：正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°$的结果不是整数，不存在正整数$k$使得$k×108°=360°$，因此正五边形无法单独镶嵌。
任务二
问题③：观察图②的拼接示例，可知任意三角形和任意四边形都可以单独镶嵌。
问题④：五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，已知$∠ C=∠ E=90°$，$∠ A=∠ B=∠ D$，因此$∠ A=\frac{540°-90°×2}{3}=120°$。
问题⑤：各正多边形内角度数：①正三角形$60°$、②正方形$90°$、③正五边形$108°$、④正六边形$120°$、⑤正八边形$135°$、⑥正十边形$144°$、⑦正十二边形$150°$。
两种正多边形镶嵌需满足两种内角的正整数倍和为$360°$，比如$3×60°+2×90°=360°$（①②组合）、$2×60°+2×120°=360°$（①④组合）、$90°+2×135°=360°$（②⑤组合）；三种正多边形镶嵌同理，可得出所有符合要求的组合。
问题⑥(1)设正多边形B的一个内角为$x$，则A的一个内角为$\frac{3}{2}x$，根据镶嵌条件列方程：
$2×\frac{3}{2}x+3x=360°$
化简得$6x=360°$，解得$x=60°$，因此B是内角为$60°$的正三角形，A是内角为$90°$的正四边形。
(2)拼接图形如下：
【答案】
任务一：360
问题②：正五边形不可以进行镶嵌，理由略；
任务二：三角形 四边形
问题④：$120°$
问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥(写三个即可)；①②④，②④⑦，①②⑦；
问题⑥：(1)A为正四边形，B为正三边形；
(2)答案不唯一，所画图形如下：
【知识点】
平面镶嵌条件，多边形内角和，正多边形性质
【点评】
本题围绕平面镶嵌知识点层层递进设置问题，既考查了多边形内角和公式的基础运用，也考查了对镶嵌条件的理解和逻辑推理能力，题目结合探究情境，贴近生活实际，能有效锻炼学生的知识应用和组合分析能力。
【难度系数】
0.65
